Задачи от А.С. Мищенко (1124102), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказать, что двумерный тор T 2 , заданный как поверхность вращениявокруг оси Oz окружности, лежащей в плоскости Oxy и не пересекающейся с осью Oz, является гладким многообразием.а) Построить атлас карт.б) Построить атлас карт из минимального числа карт.в) Построить атлас из 4-х карт при условии, что каждая карта гомеоморфна диску.г) Построить атлас из 6-ти карт, при условии, что все карты и всевозможные непустые пересечения карт гомеоморфны дискам.46. Доказать, что n–мерное проективное пространство RPn является гладким (и вещественно-аналитическим) многообразием.747.
Доказать, что n–мерное комплексное проективное пространство СPnявляется гладким (и комплексно-аналитическим) многообразием.48. Введите структуру гладкого многообразия на множестве всех прямыхв R2 . Доказать, что полученное многообразие гомеоморфно листу Мёбиуса.49. Доказать гомеоморфность мноообразий S2 и СP1 .Лекция 7 (19 октября 2004 г.)1. Cпоcобы задания многообразия.2. Теорема Уитни о вложении многообразия в евклидово проcтранcтво.3. Риманова метрика на многообразии, линейная связность на многообразии. Индуцированная симметрическая римановап связность на подмногообразии.Задачи:50. Доказать, что матрица Якоби композиции двух гладких отображенийявляется композицией матриц Якоби сомножителей.51.
Доказать, что ранг матрицы Якоби не зависит от выбора локальнойсистемы координат.52. Вычислить ранг матрицы Якоби отображенияf (x, y) = (x, 0) : R2 −→R2 .(7)53. Доказать, что группа SO(2) диффеоморфна окружности. Какому многообразию диффеоморфна группа O(2)?54. Доказать, что группа SO(3) гомеоморфна проективному пространствуRP3 .55. Доказать, что система уравненийP 2ziP|zi |2= 0,(8)= 2в комплексном пространстве Сn задает гладкое многообазие, которое диффеоморфно пространству единичных касательных векторов ксфере Sn−1 ⊂ Rn .56. Доказать, чо группа SU(2) гомеоморфна сфере S3857.
Доказать, что уравнениеz12 + z22 = 1(9)в комплексном пространстве С2 определяет многообразие, гомеоморфное цилиндру.58. Доказать, что объединение двух координатных осей в R2 не являетсямногообразием.59. Являются ли гладкими многообразиями следующие кривые на плоскости:а) треугольник;б) объединение двух треугольников, имеющих только одну общую точку — вершину?60. Показать. что свере Sn нельзя вести атлас, состоящий из одной карты.61. Показать, что при n 6= m пространства Rn и Rm не диффеоморфны.62. Привести пример гладкого гомеоморфизма, не являющегося диффеоморфизмом.63. Показать, что на плоскости R2 можно вести такую структуру гладкогомногообразия, что кривая y = x2 перестает быть гладкой.64.
Показать, что декартово произведение гладких многообазий допускает структуру гладкого многообазия, причем проекции являются гладкими отображениями.65. Доказать, что n–мерное комплексное многообразие яляется гладкимориентируемым мноообразием размерности 2n.66. Показать, что окружность S1 , сфера Sn , тор T2 являются ориентируемыми многообразиями.67. Доказать, что лист Мёбиуса, проетивная плоскось RP2 , бутылка Клейна суть неориентируемые многообразия.68. Доказать существование римановой метрики на любом (компактном)гладком многообразииа) с помощью разбиения единицы;б) с помощью теоремы Уитни.69.
Пусть N ⊂ M подмногообразие риманова многообразия M . Пусть∇, ∇0 — симметрические римановы связности на многообразии M иподмногообразии N (с индуцированой римановой метрикой на нем).Пусть xi — векторное поле на M , касательное к подмногообразию N .Доказать формулу∇0η ξ = pr (∇η ξ)(10)9для любого вектора η, касательного к подмноообразию N , где pr —ортогональная проекция на касательное пространство к подмногообразию N .70.
Описать все линейные связности на окружности. Написать формулу для параллельного перенесения для произвольной связности наокружности.Лекция 8 (26 октября 2004 г.)1. Геодезические линии, уранение геодезической.2. Теорема о том, что достаточно близкие точки соединяются единственной геодезической.3.
Изометрия. Теорема о сохранении гедезических при изометрии.4. Геодезические на плоскости и сфере. Группы движений прямой, плоскости и сферы.Задачи:71. Показать, что геодезическая линия на двумерной поверхности в евклидовом пространстве R3 вполне характеризуется свойством: в каждой точке, где ее кривизна отлична от нуля, нормаль к поврехностиколлинеарна с нормалью к кривой.72.
Пусть прямая линия лежит на поверхности в R3 . Доказать, что этапрямая является геодезической линией на поверхности.73. Пусть две пверхности соприкасаются по некоторой линии, которая являются геодезической на одной поверхности. Показать, что эта линияявляется геодезической и на другой поверхности.74. На поверхности r(u, v) ∈ R3 задана кривая линия u = u(s), v = v(s).Показать, что геодезическая линия задается уравнениемd2d(11)m(u(s), v(s)), r, 2 r = 0,ds dsгде m — вектор нормали поверхности.75. Доказать, что в евклидовом пространстве геодезическими линиямиявляются прямые и только они.76.
Доказать, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями.77. Доказать, что парллель поверхности вращения является геодезической тогда и только тогда, когда касательная к меридиану в ееточкахпараллельна оси вращения.1078. Найти все геодезические линии двумерной сферы.79.
Покзать, что геодезические линии поврехности с первой квадратичнойформойds2 = v du2 + dv 2(12)изображаются на плоскости (u, v) параболами.80. Пусть две поврехности трансверсально пересекаются по линии,которяявляется геодезической на каждой из этих поврехностей. Доказать,что эта линия является прямой.Лекция 9 (2 ноября 2004 г.)1. Псевдосфера. Геодезические на псевдосфере.2.
Тензор кривизны риманового многообразия, формулы тензора кривизны.3. Свойства симметрии и косой симметрии тензора кривизны.4. Тензор Риччи и скалярная кривизна. Связь с Гауссовой кривизнойповерхности.Задачи:81. Вычислить тензор кривизны на двумерной сфере S2 в сфериескихкоординатах.82. Доказать, что риманова етрика двумерного многообразия являетс ялокально эвклидвой тогда и только тогда, когда ее тензор кривизны равен тождественно нулю.83. Вычисляить калярную кривизну следующих римановых многообразий:а) сферы S2 ⊂ R3 ,б) тора T2 , вложенного в R3 как поверхность вращения,в) тора T2 , вложенного в С2 , задаваемого уравнениями|z|2 + |w|2 =|z| =1,|w|;(13)г) прямого кругового конуса;д) цилндра;е) сферы Sn ⊂ Rn+1 .84.
Показать, что у двумерной поврехности тензор РИччи пропорционален метрическому тензору. Найти коэффициент пропорциональности.1185. Доказать тождество1∇i Rij − Rgij = 0.2(14)86. Доказать, если связность в n–мерном многообразии допускает n линейно независимых в каждой точке ковариантно постоянных векторных полей, то тензор кривизны равен нулю.Лекция 10 (9 ноября 2004 г.)1. Теорема о независимости параллельного перенесения от кривой принулевом тензоре кривизны.2.
Теорема о приведении метрического тензора к единичной матрице вслучае нулевогоо тензора кривизны поверхноости.3. Дифференциальный формы и алгебраические операции над ними.4. Внешний дифференциал и его свойства.5. Представление дифференциальных форм в локальных координатах.6. Прообраз диффренциальной формы при гладком отображении.Задачи:87.
Доказать, что если диффернциальная форма ω имеет порядок p, т.е.ω ∈ Λp (V ∗ ), а вектора v1 , v2 , . . . , vp линейно зависимы, тоV (v1 , v2 , . . . , vp ) = 0.(15)88. Доказать, что если формы ω1 , ω2 , . . . , ωp линейно зависимы, тоω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωp = 0.(16)89. Пусть ω1 , ω2 , . . . , ωp ∈ V ∗ ; v1 , v2 , . . . , vp ∈ V . Доказать, что(ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωp ) (v1 , v2 , . . .
, vp ) = det kωi (vj )kni,j=1 .(17)Лекция 11 (16 ноября 2004 г.)1. Понятие когомологий гладкого многообразия. Связь с решениями уравнения dT = S.2. Вычисление когомологий окружности.3. Независимость прообраза класса когомологий от деформации отображения.124. Лемма Пуанкаре.5. Группы когомологий евклидвого пространства.Лекция 12 (23 ноября 2004 г.)1. Понятие ориентированного многообразия с краем. Ориентация краягладкого ориетированного многообразия.2. Ориетируемость многообразия S 1 , S 2 , S n , T 2 .3. Ориетируемость комплексно-аналитических многообразий.4. Понятие интеграла дифференциальной формы по ориентированномумногообразию.
Независимость интеграла от выбора локальной системы координат.Лекция 13 (30 ноября 2004 г.)1. Общая формула Стокса.2. Формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.3. Интегралы первого и второго рода в векторном анализе.4. Объем риманового ориентированного компактного многообразия.Лекция 14 (7 декабря 2004 г.)1. Регулярные точки отображений. Лемма Сарда.2.
Теорема Уитни о вложении компактного многообразия в евклидовопространство.3. Степень отображения и ее свойства.4. Группа гомеоморфизмов, порожденная векторным полем5. Выражение интеграла дифференциальной формы через степень отображения.6. Гауссово сферическое отображение.7. Теорема Гаусса-Боне.Лекция 15 (14 декабря 2004 г.)1. Уравнение Эйлера для вариационной задачи.2.
Уравнение экстремалей для функционала действия на римановом многообразии.3. Уравнение экстремалей для функционала длины.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
