Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднвнного движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остается справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства 456 (гл, хн туувулвнтное движение напряжения ди диу — р+ 2р —, р = — р+ 2(с — ', дх ' УУ ду* ' — — , ди, Рю Р+ 2р 3' (3.13) Составляя разности соответственных равенств (3,12) и (3.13), получим выражения для компонент пульсаций напряжения ди',, до' — р'+ 2и —, р' = — р'+ 2р —, дх' УУ ду' дю' )дг + дх)' (3,14) г р иу р (' — + и — и+ и -+ и — ) = ди ди, ди ди з (де хдх "ду 'дх,) др дРУ дР дР =рр — — +рди + — "и+ — мя+ — ", дх дх ду дс сдив дия дие див х др дРуи др„„дру, =рР— — +иди + — + + У ду дх ду де др дРие др,„дР„ = рр,— — +(сои + — + — + —, с дх ду дг дие диу ди, — '+ — + — = О, дх ду дх (3.
15) где Р, Р н т. д,— компоненты пульсзционных напряжений, представленные в явной форме в таблице (3,11). Если спроектировать левую и правую части первого уравнения (3.8) на оси координат, а затем подставить значения компонент осреднаннога напряжения из (3.13), то получим следующие дифференииильные уравнения осреднднного движения несжимаемой жидкости: й 3) дия ьвгянцилльныв зглвнвния осгвднен, движения жидкости 457 Дифференциальные уравнения осреднйнного движения (3.15) содержат десять неизвестных функций, к которым, помимо трех компонент вектора скорости и давления, относятся и шесть компонент тензора пульсационных напряжений.
Чтобы систему уравнений (3.15) сделать замкнутой, необходимо присоединить лополнительные соотношения, связывающие неизвестные функции. Такие дополнительные соотношения можно, конечно, составить только с помощью тех или нных гипотез, правильность которых в ограниченных пределах может быть установлена только косвенным путя>>, например с помощью сравнения результатов расчета для частных задач с результатами соответственных измерений.
Последним обстоятельством и следует объяснить тот факт, что первые попытки введения дополнительных соотношений между неизвестными функциями в уравнениях (3.16) относятся как раз к наиболее простейшему случаю осрелнднного движения, каковым является прямолинейное движение между неподвижными параллельными стенками. Законов>ериости установившегося турбулентного движения в цилиндрической трубе, как уже было указано выше, хорошо были изучены экспериментально. Ииеется много косвенных оснований к тому, чтобы считать законол>ерности установившегося турбулентного движения между неподвижными стенками достаточно близкими к закономерностям турбулентного движения в трубе.
А раз это так, то естественно было вяачале ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинал>и для прямолинейного осреднднного лвижения между параллельными стенками, провести соответственные расчйть> и затем сравнить результаты этих расчдтов с результатами измерений. По этому пути н развивалнсь некоторые теории, которые получили название лолуэжлирических теорий ту)>- булекткогти. Компоненты тензора пуяьсационных напра>кеннй (3.11) составлены из проекций вектора скорости пульсации в одной точке потока.
Если ввести в рассмотрение проекции двух векторов скоростей пульсации в двух точках потока, то можно образовать из них ~руину парных произведений и затем их осреднить по времени. Таким путем иы получим новый тензор, который получил название текзора яояектов связи второго порядка Ф>) = о>юу, тле о>', ов' и о'„— проекции вектора скорости пульсации в одной точке, а о,", о,," и ов — проекции вектора скорости пульсации во второй точке. Аналогичным путям можно составить группу моментов связи между пульсанионными скоростями третьего порядка > е П>уд = осо>соа. Дифференциальные уравнения турбулентного движения с использованием моментов связи различных порядков были предложены 453 туги лвнтнок движвнии рл. хп впервые А.
А. Фридманом и Л. В. Келлером г), С введением моментов свяаи увеличивается количество неизвестных функций, и количество соответственных уравнений и выравнивание числа уравнений с числом неизвестных функций могут быть произведены с помощью отбрасывания моментов высших порядков, как это, например, сделано в работе М. Д. Миллионщикова э). Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова з), А.
М. Обухова '), Л. Г. Лойцянского з) и др, В статьях В. Г. Невзглядова з) была сделана попытка ввести дополнительные соотношения по аналогии с (3.13) между тензором пульсационных напряжений и тензором скоростей деформаций от осреднанного движения с той лишь разницей, что вместо постоянного коэффициента вязкости вводится переменный коаффициенщ турбулентного обвела, зависящий в общем случае от инвариантов тензора скоростей деформации. В 4. Теоремы о рассеянии энергии для турбулентного движения Внутри области, занятой жидкостью в турбулентном движении, возьмем конечный объем -. с ограничивающей поверхностью 8.
Для кинетических энергий полного движения, осреднбнного движения и пульсационного движения жидкости в конечном объбме т будем иметь выражения 2Т= р ~ ) ~ Ъ'~п'т, (4.!) (4.2) (4.3) Подставляя в правую часть (4.1) выражение квадрата скорости в виде Ъ' =(и. + и')з+((/в+ ')в+((I,+ш')э г) К ел пер Л. и Ф рид м а и А., Ргос.!. 1пгегп. Сопйг. Аррйеб МесЬ., Эей!, 1924. з) Миллион шиков М. Л., Известия АН СССР, сер, геогр. н геол., № 4 — 5, 1941, з) Кол мог оров А. Н., ХАН СССР, т. ХХХИ, М 1, 1941; т.
ХХХ1, М б, 1941; т. ХХХ, М 4, 1941; т. 52, М 8, 1946 и др. !) О б у х о в А. М„Прикл. матем. и мех., т. Ч1, вып. 2--3, 1942; Механика в СССР за тридцать лет, Гостехнздат, 1950. Там же приведена библиография советских работ по турбулентности. з) Л о и ця н с к и й Л. Г., Труды МАГИ, вып. 440, 1939.
з) Н е з з г л к до в В. Г., ДАН СССР, т. 57, М 3, 1945. 9 4! теогемы о глссвянии энвггии для ттгзтлвнтного движвния 459 и проводя затем осреднение по времени, получим: т=т +т„, (4,4) т. е. осреднвнное значение кинетической энергии полного движения жидкости в конечном объвме равно сумме кинетической энергии осрелненного движения жидкости и осреднвнного значения кинетической энергии пульсационного движения жидкости в том же объеме. Элементарная работа массовых сил на перемещениях полного и осреднанного движения жидкости будет представляться соответственно в виде (4.5) для элементарных работ векторов напряжений, распределенных па поверхности о, получим следующие выражения: дА, —.
~ ~ 7з„° У~Ыдт, (г(А )„= ~ ~ )т„. (7НЯМ, дАз =- ~ ~ Р„и дбд(. (4.6) В ф 2 главы 1!! была доказана теорема о рассеянии энергии у — — дг~дАз+дАв — ~ ~ ~ Ентдг1 (4.7) Разлагая векторы напряжений и скорости в (4.8) на осреднвнные и пульсацнонные значения и вводя обозначения Е = д17 Ю дЯ " =1з*'дх+агя 'ду+Р 'д, д~" ~ дУ' ~ дУ' ' ~ дх +Рв ' ду + 7 ' ' дх ' (4.9) (4.10) где Š— энергия, которая рассеивается в единице объЕма в единицу времени и выражается через напряжения в виде дх+' В ду +' ' дх ' дУ дУ дУ (4.8) 460 (гл, хп ттгвтлвптиов движение после осредиепия по времени (4.8) получим; (4.1 1) Е = — Е,в+Е„, т.
е. осрелианиое значение энергии, рассеиваемой от напряжений в полном движении жидкости, составляется из энергии, рассеиваемой от осреднанных напряжений в осреднепном движении, и осредпвиного значения энергии, рассеиваемой от пульсапий напряжений в пульсапионном лвижении. Докажем теперь теорему о рассеянии энергии для осреднйнного движения жидкости. Для этого первое дифференпиальное уравнение (3.8) представим в виде Р ' .+' "э+' " +' 412 где производная по времени в девой части равна (4.13) Обе части равеяства (4.12) умиожим скалярно иа (Где дт и проведЕм интегрирование по объему ~'(у ~д(Рв+Р )+ д(Ра+Ра) +д(Р,+Рл)]д Ж.
(4.14) дх ду дл Если считать, что объем т будет перемешаться вместе с частипами жидкости, то в левой части (4.14) знзк дифференцирования можио вынести за знак интеграла и воспользоваться обозначением (4.2). Представляя векторы напряжений па площадке с нормалью п в зиле р„—. рл1 + раж + р,л, Р„= Р„( + Рэги + Р,л и используя формулу преобразования поверхяостного интеграла в объемный, получим из (4.6) выражения для элементарных работ й 41 твогсмы о гассвянии энвггии для ттгвтлвнтного движения ног Сопоставляя эти выражения с правой частью (4.14) и используя обо- значения (4.5), (4.9), получим: иТ, 1г — = — ~~(г)А ), +(г)А~), +(гтАг)„р— — ~ ~ ~ Егггттгтт — ~ ~ ~(Р„'рх+Рв ау+Рг Ог)гт.')Г!.
(4.15) Ои , Ои ди 4=Р. — +Р ° — +Р в дк а ду г дг' (4.16) Введем в рассмотрение элементарную работу. пульсаций напряжений нз перемещениях в пульсационном движении жидкости, т, е. ДА, = бс ~ ~ р.' У' б5' = = гтт ~ ~ ~ [~ — (р' У')+ — (р„' У')+ — (р,' У')~огт. (4.17) Если в правой части первого равенства (4.6) провести разложение вектора напряжения и вектора скорости на осреднвнные и пульсациопные значения и затем провести осреднение по времени, то получим; 2 ( я)с +гг о (4.18) Проведем теперь осрелнение обеих частей равенства (4,7) и при этом унтам (4.4), (4.18), (4.11) и то, что ЙАг = (гГА,)„,„. В результате полу.~им следующее равенство: б(уьг+ 7п) = фАг)с +(с)Аэ)с +г)Аг — ~ ~ ~ (Еег+Ев)ггтсгт. (4.19) Равенство (4.15) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии осредненного движения жидкости, содержащейся в конечном объеме. г(а основании этого равенства мы приходим к заключению, что не вся работа напряжений, распределенных на поверхности Я, идет ца изменение кинетической энергии осредненного движения жидкости внутри этой поверхности; часть этой работы переходит в энергию пульсационпого движения и в теплоту.
Выражение под знаком интеграла в послелнем слагаемом в правой части (4,15) представляет собой энергию, рассеянную от пульсационных напряжений в единицу времени в единице объема в осреднвнном движении жидкости. Для этой энергии рассеяния введем отдельное обозначение !угьвиим>нои двия!ииии ни. «и Это равенство выражает собой теорему об изменении осреднднного значения кинетической энергии полно~о движения жидкости в конечном обвдме. Составляя разность соответственных частей равенств (4.19) и (4.15), получим равенство йТи — йАч — дА4+ )) ~ (>>! — Ее) йг йг, (4.20) выражающее собой теорему об изменении осреднднного зна~ения кинетичесной энергии пульсационного движения жидкости в конечном обв|ме. Рассмотрим теперь случай движения жидкости внутри неподвижной поверхности Я„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
