Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е. У'(х, у, г; х', у', г', Г) = У(х, у, г; х', у', г', Г) — (е (х, у, г, Г). (2.15) гтеюленгнон движснне Ып, ьи Если провести операцию осреднения над обеими частями равенства (2.15) и использовать (2.14), то получим: (2. 16) т. е. осреднйнное значение ленгнора сьороснги полн пульсаций в финсированном объа.гге ". равно ну,гю. Операция осреднения (2.14) имеет тот же механический смысл, что и операция выделения из движения системы материальных точек переносного двигкения вместе с центром масс системы, и равенство (2.16) при этом выполняется строго. Будем теперь плотность среды считать постоянной в пределах рассматриваемого объема т, т.
е. р=р(х, у, г, г). (2.17) Тогда из операции осреднеция (2.14), нмеюищй определенный меха- нический смысл, мы получим чисто математическую операцию осред- нения по объему 0(х, 16 г, г)= у(х, у, г, г)= — ~ 1г(х, у, г; х', у', -', г)йх'йу'дг' (218) 1 1 Г р(х. у, г, г) = —.
— ~ ~ ~ р(х, у, "; х', у', г', Г)йх'йу'дг 1 р„. (х, у, г, Г) = — — ~ ~ ~ р„.(х, у, г; л', у', г', г)дх'Лу' Лг', р„(х, у, г; х', у', г', г) Пхг йу'йг', ре(.т, у, г; х', у', г', г) йх' ггу' йг', Т(х, н, г: х, у, г. г)йх йу агг. Ре(х у (2.19) р,(х, у Т(х, у Такого рода математическую операцию осреднения по объему можно теперь проводить по всем величинам, связанным с каждой точкой объема осредненил, и даже по тем соотношениям и уравнениям, которые должны выполняться для каждой точки в объеме ",.
Следовательно, наряду с вектором скорости осреднйнного движения () можно ввести осреднйнное д'авление р, тензор осредненных напряженой р., р„, р, осредненную гнемперагнуру Т с помощью следующих равенств; 2 2) 443 метод осведнгния В таком случае под нульсациями давления, тензора наирялсений и температуры следует понимать величины, прелставляемые в виде следующих разностеи. р(х у»'х,)>',»П)=р(.,у,г; -',У', ',>).,(. р (х,у,»;х',у',»',() —.«р (х,у,г;х',у',г' Г) р (х у» () р„(х У г: х ° У, », П вЂ”.р (х,у,»; х>,у',г'П) — р (х у г т) р' (х, у, г; х', у', г', е) =-- р, (х, у, г; х', у', »', т) — р (х, у, -, с), Т (с,у,г; х',у>,г,т) -.= Т(х, у, г; х', у', г'П) Т(х у г С) (ух2о) р' =-- О, р'„= о, р,', —. о, р' =.
о, У'= О, (2.2!) 'г)аряду с матема>ической операцией осреднения по обьему можно всести также формально математическую операцию осреднения ао времени. Обозначим величину фиксированного интервала времени осреднения через Лб и пусть центр етого интервзла времени совпалает с фиксированным произвольным моментом времени с. Тогда под осредндннн чи значениялш вектора скорости и, например, давления в центре обьема с координатамя х, у и » необходимо понимать величины, представленные в виде следующих равенств; У(х,у,», С)=- —, ~ У(х, к, г, Е; р)д!', (2.22) р(х, у, г, ()= —, ~ р(х, у, », т; р)~й'. Пульсации вектора скорости и давления по отношению ко времени в фиксированной точке с коорлинатами х, у и г будут представляться в виде разностей у'(х, у, г, т; р) = у(х, у, г, т; р) — у(х, у, г, (), 1 (2.23) р'(х, у, г, Г; р) = р(х, у, г, е; р) — р(х, у, г, т). 1 11роводя осреднение по объему всех равенств (2.20) и используя (2.19), получит [гл.
хн туРБулентнОБ движение Если провести осрелнение по времени равенств (2.23) и учесть (2.22), то получим; — — ~ У'(~, у, , г; Р) И' = О, ~ (2.24) )У=О Таким образом, осреднснные ло времени значении пульсаций всех кинематических и динамических характеристик движения среды равны нулю. Наконен, формально математические операции осрелнения по объему н по времени можно объединить и под вектором скорости осредненного движения чистил в фиксированном объелсе т и в фиксированном интервале времени йт понимать вектор, представляемый в зиле (7(х, у, г, т)= У(х, у, г, С) = т — — дт' ~ ~ ~ У(х, у, г, х', у', г' Г; Р)йх'ду'дг', (2.25) 'ьг Вектор скорости ноля пульсации в какой-либо точке внутри объема ". и в какой-либо момент времени внутри интервала времени йт булет представляться в виде разности у'(х, у, г; х', у', г', Г; р) = = У(х, у,; -', у', г', В с') — (7(х.
)ч г. г). (2.25) Провала осрсднсние (2.2б) и по объему и по времени в смысле (2.25), снова получим, что осреднйнное значение вектора скорости поля иульсаций равно нулю: у'(х, у,; х', у',, Е; е')= ъг — — " йР ", [ " У'(х, у, г; х', у', г', Г; Р)йх'йу'йг' = О. (2.27) ч лг ъс я До сих пор мы проводили осрсднение самих величин или разностей величин, отнесзнных к одной и той же точке внутри фиксированного объема и к одному и тому же моменту времени внутри фиксированного интервала времени.
Покажем теперь, как должно провпдиться осреднение произведений двух величин, отнесанных к одной $2) 445 метод осгеднвння точке и к одному моменту времени, В качестве примера позьмем произведение проекции вектора скорости на ось х иа сам вектор скорости и(х, у, л; х', у', л', П Р) (г(х, у, л; х', у', г', Г; Г') Заменяя каждый множитель через сумму его осредненного значения и пульсационного значения, получим: и(г = ((/ (л, у, г, г)+ и'[х, у, г; х', у', л', г; г')) )с' К ((У(х, у, г, г)+ Ь" (х, у, г; х', у', г', г; г')). (2.28) Если провести осрсднеиие левой и правой частей равенства (2.28) по объему и по времени в смысле (2.25) и при этом учесть (2.27), то для осредненного значения произведения и)г, отнесенного к центру объема с и к середине интервала времени йб получим следующее выражение: и )г = — (у.
0 + и' е". (2,29) Обратим внимание на то, что все осреднбнные знамения должны относиться к центру фиксироаинного обьймп и и середине фиксированного интервала аремени, Теперь мы должны уточнить вопрос о выборе фиксированного объбма т и фиксированного интЕрвала времени дй Можно, например, фцкснроааниый объем т выбрать с помощью мысленного разбиения конечного объема, занятого средой, па меньшие п не накладывающиеся друг па друга объемы т.
Точно тек же фиксированный интервал времени ал можно выбрать с помощью деления конечного промежутка времени на Меньшив и не перекрываЮщие друг друга интервалы бй Прп таком выборе фиксированного объема и фиксированного интервала времен» операция осреднения будет овна гать переход от непрерывного отсчета геометрических координат к дискретному отсчету координат точек, совпадающих с центрами фиксированных объемоа, и переход от непрерывного отсчета времени к счбту его через интервал вреченн ВД При таком выборе объема т и интервала вреиени бг осредненные значения кинематическнх и динамических характериствк движения среды будут неизбежно претерпевать разрыв прк переходе от одного центра объбма к другому и от одного центра интервала времени к другому.
Порядок величин разрыва осредненных значений будет находиться в прямой пропорциональности от порядка величин фиксированного объвма ч и фиксированного интервала времени вй Следовательно, из восьми независимых аргументов, указанных, например, в равенстве (2.26), только четыре: х', у', гг и г', во всех стучаяк можно излгенхть непрермено в тех пределах, которые предопределяются выбором фиксированного объеиа т и фиксированного интервала времени до Галька по отношению этих аргументов можно ставить вопрос о напрерыаности и днфференцирусмости охдельных слагаемых в равенстве (2,26) и аналогичных равенствах для других кинематических и динамических характеристик движения среды.
Что же касается аргуМЕцтов х, у, г и Г, то вопрос о том, можно ли зтпи переменным придавать непрерывные значения нлн необходимо придавать только разрывные значения, решается в зависимости от того, каь осуществляется переход от одного фиксированного объема к прилежащему другому объему и от одного фиксированного интервала 445 ТУРВУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ (гл, хи к другому прилежащему или близкому интервалу времени. Если этот переход по каким-либо осиоваги~ям должон пр тг~сьодить без какого-либо иглесечения нового обьбма со старыч и без как гго-либо пгреггрытпя нового интервала времени со старым, то этим переменным приддтся придавать только Разрмаиыг значения, В жом случае нельзн гонорнть о непрерывности и дпфференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (226) по отношению к переменным х, у, з и д По отношению к этим переменным можно составлят~ только к знечные разности ьпиематнчеснит и диналшчесних тзршшеристпк,твпжеиин среды и интегрирование заменять суммяронанием в смысле теории коне шыт разностей.
Встественно поставить вопрос, мо кно ли привести пример, когда переход от одного фиксированного объема к лртгоиу обяззтельио должен производиться без пересечения. Во всех тех случаят, в которых возникает необходимость вводить в рзссмотрение мзкроскопические частицы среды, объбмы которых не могут уменьшзтьсн беспредельно до нуля, переход от об.ьетга одной фиксироазнной истицы к объему сосед. ией частицы, разумеется. не может происходить тзк, чтобы объем соседней часпгмы излагался иа объем рассматриваемой частицьь Чтобы вести речь о мзкроскопической частице, сохраняющей а себе оснонные кагествз среды и своей индинидуальиости дога бы в течение короткого ннтервада времени бй «онечно, необходимо за соседние истицы принимать толгко чзстмцьь объемы которых не перекрывают объ(м рассмлжрияземой частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
