Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Таким образом, для определения кпнемаюшесюгх характерисгик двигкенин частицы (вихрь и теизор скоростей двформации) дифференцирование проекций вектора скорости долл,но производиться тодько по относительным координатам х', у' и По, как известно, для изу гения ряда вопросоа кинематики движения средм, за исключением вопроса об ускорении часющы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно из точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей, Прп изучении полн скоростей движения среды по четоду Эйлера математическая операции осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести гг тажиаамие вводимых кпнемзтнческит и динамических характеристик движе>шя среды.
При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпенают скзчкообрззнме изменения ог одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другом. Сача по себе операция осреднения (2,25) позволяет только по скачкообразным значенияч вектора скоросют в пределах фиксированного объема з и фикснровашшго интервала времени дг получг~ть некоторое значение вектора скорости, котоРое мы относим к центру обьема и к центру интервала времени.
Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта оиерациа осреднения бтлет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объемл -. и фиксированного шщервала времени Дй В этом случае каждый следующий фнксировантгы(г объем будет обязательно налагаться на предшествующий в своей болыпей засти и каждый следую.дий интервал времеви будет перекрывать не полностью предшествующий шыерваз ирет1ени. Таким образом, математическая операция осреднеиия я данном случзе позволяет перейти от полей векторных и скалярных вели щи, скачкообразно меняющихся ао времени и в пространстве, к позам тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Одгтако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрениедополнительныт местных полей (с размерами фиксированного объбма осредиеиия) пульсаций соответственных величин, причйч эги пульсации изменяются скзчнообрззно во времени и в пространстве.
С помощью операции асреднения поле, например, вектора скорости истинного дзиженяя жидкости в некотором конечном объеме, намного превышающем объем осредиення т, залгенттется двойным полем, составленным из поля вектора осреднбнной скорости, занимающего весь конечный объем, н из нанладывающнхся частично др)т й 2! катод Осгвднвння иа друга полей пульсаций вектора скорости а окрестности каждой геометрнчесиой точки, Еще раз обрзтим аниыание на то, чгооперацияогреднения(225) можеог быть проведена над яами величинами и соотношениями, которые могут быть отнесены я каждой точке вн>'три обьдма осрвднения и к каждому моменту времени внутри интервала времени осреднения, Рзссмотрич теперь разность двух векторов скоростей. Возможны два подхода к определению втой разности. При нервом подходе рассматриваются два вектора скорости в двух татах фиксированного объема осредпенпя и в дза чоментл времени внутри фиксированного интервала времени осредненил, во при эточ центр фиксированного обьвма осргднения огвгавтгн однилг и югм жг (координаты х, > и * — одни и те же хля двух аекторои скоростей) и центр дгггксированного интервала времени осрвднения огтается телг же самым (зючеит г берется одним и тсч же).
Если в кэ. честве первогг точки четырбхмсриого пространства мы возьмем центр фиксированного четырехмерного объбиа осреднения, а вторую точку в этом же фиксированном объеме возьмем с огносителюгычги чегыречмернымн коордииэтачи х', у', з' и гг, ж разность вектороа скоростей представится в аиде Уг — >', =. У(х, у, г, Г; х', у', г', г') — У(х, у, л, г; О, О, О, О). (2.30) Заменяя каждый из векторов (230) суммой нектара скорости (Г(х, у, г, г) осредаеиизго двилсеиин и соответственного нестора скорости пульсаиион.
ного движения, пол>чпи: Уг — )гт — — У'(х, у, г, Г; х', у', г', г') — )и(х, у, л, Г; О, О, О, 0), (2.3)) т е. разность скоростей истинного движения в двух точках четырехмерного пространства равна разггостч~ скоростей обитого пульсациоииого движения в фгпгсироаанном четырехмерном объйче осреднейия.
Поскольку разность (23)) может относиться к кажлой точке четыреччериого объема осреднеиня, постольку можно провести осредиеиие этои разности в смысле (2.25). Выиовняя фактически осреднеиие иад кзждым стдельныч слагаемым в левой и правой части (23!) только в счысле (2.25) и используя при этом (2,26) и (2.27), получим; Уз — У = — )" (х, >., г; О, О, О, О) (2.32) Таким образом, осредиенное строго а сыысле (225) значение разности скоростей в двух тачках фиксированного четырехмерного объем> осреднения представляет собой с обратным знаком вектор скорости пульсаций в центре объема осредиения.
Обратимся ко второму способу определения разности двух векторов скоростей. Вводим два фиксириванныл четырехмерных объема, центры которых совпадают как раз с теми то гкамп четырехмерного пространства, к которым относятся двз рассматриваемыл вектора скоросюг движения среды, и вводим две системы координат с началачи в этих центрах. Тогда разность (2.30) представится в виде Уг — Ут = )'(х+ хй» + У', х+.',г+г', 0,0, 0,0)--)г(х,У,з,г; О, 0,0, 0). (2,33) Если заменить каждый из вектороа в правой исти (2.33) через сумиу соответственных векторов скоростей осредиеииого и пульсационпого движений, то получим: Уз — У,.=(>(х+х, у 1 у, +-", Гфг) — (>(х, у,, ()+ + )" (х + х', у + у', з + г', г + г', О, О, О, 0) — У' (х, у, л, г; О, О, О, 0).
(2.34) [гд. ны туввудвнтнов даижвнив 'Уз — У,= — ~ дс' ~ ~ ~ (Г(х+хг, у+у, г+., Г+Г)+ 1 ". 5г + У'(х+ х', У+У', г-)-г', Г-)-У1 О, О, О, 0)) дхгдУ'да'— в (Г(х, у, г, Г) — У'(л, у, г, Г,' О, О, О, 0). (2.33) 1лнтеграл от скорости п>льсацяй в текущей точке формально не совпадает с тем интегралом, который по определению осредиения обращается в пулы лт дЛв ~ ~ ) У'(х+х', у+у', г+г',Г+Г', х", у", г")дх"дувдлв=О. лл (2.3б) Поскольку левые части и последние слагаемые в прааьж частях равенств (231) и (2.34) раввы между собой, то получаем следующее соотнощенне между векторами скоростей пульсаций в одной и той же точке четырехмерного пространства, но введенных двумя различными способами: У (х, у...; х, у', ', г)=и(х+х', у+у, +, г+г)+ + Ут(х+х', у+у' г+г', с+гг; О, О, О, О) — (г(х, у, г, г), (2,37) После проведения операции осреднения с помагцью перекрывающихся объ- Емоа осреднения вектор скорости осреднениаго движения можно полагать дифференцнруемым по всем переменным в возтому П(х+ х', у + ус, я+ а', Г+ Г') — (Г(х, у, г, Г) = , д(Г, д(), д(Г, д() х'а да(à — х' — + у' — + г' — + т' — + — -- — -1-...
(2.38) дх ду дг дт 2 дха ,Тля центра объема осреднения должны выполняться равенства ~ Ц х'г)х'ду'дл' =О, Щу дх ду'наг=О. (2.39) Г' д( = О. ~ г'дх'дуг дат = О, ьг Таким образоль в атом случае разность скоростей истинного движения в двух рассматриваемых точках четырехмерного пространства не будет равна азностн скоростей пульсациоииых движений в окрестности зтих точек.
множая абе части равенства (2.34) на злеллентарный объем четырехмерного пространства дг'дх'ду'дг' и проводя интегрирование по четырехллерному объбму с центром в точке х, у, г и г, получим: ф г! 449 мптод оствднкния Если провести осреднепне равенства (2 37) в смысде (225) я учесть (2.27), (2.38), (2.39), то получим; Т ж„р„т 1+ дз(у Т Юи Т дуз ) дла д 1д,~дзи ~" ~ ьг -1- ) дг» ~ ~ ~ У»(л+х»,у+у',л+л»,1+1',0:,0,0,0)дл»ду»да» О.
(240) дУ д(г ду' — = — +— дх дл дл ' (2.42) Левые части равенств (2.41) и (2.42) представляют одну и ту же вели. чипу, Различие же правых частей снова указывает на различие величин Скоростеи пульсаций а зависимости от того, считается ли осреднбнноедпижение в ираде»йх фиксированного обьбма осреднения одмим и тем же или оно выбирается для каждой точки зтого объбма особо. Только при использовании скользящего объема осреднеиия производная по какой-либо координате или времени от той или иной характеристики потока может быть представлена в аиде суммы производных от осреднбниого и пульсационного значения атой характеристики.
Иначе говоря, а зтам случае »южно производить разложение той или иной величины на осредиениую и пульсационную под знаком производной. Вопрос о возможности перестановок операций осреднеиия и дифференцирования может ставиться только тогда, когда предполагается, что не только сами величины, но н их произвол>гые также непрерывны. т) ке> по(ба О., РН(1. Тгапз. о1 гйе коу. Вос., 1395; русский перевод в сборнике гПроблемы турбулентности», ОНТИ, 1936.
На основании равенства (2,40) приходим к заключению, что осреднбнное по первому объему осреднения значение вектора скорости пульсаций ао второй точке может считаться равным нулю тогда, когда все производнме от вектора скорости осреднбнного движения, начиная со вторых, равны нулю. На зто обстоятельство и было обращено аниыание еще в основной работе О. Рейнольдсаг), где перечислены те случаи осредненных движений, а которых осредибнйое значение вектора скорости пульсаций во второй ~очке внутри первого объема осреднения строго равна нулю. Допустим, что в отношении, например, координаты л векторы скорости истинного движения и пульсациоиного движения являются дяфференцируемымн функциямн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
