Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн - Алгоритмы - Построение и анализ (2 изд.) (1123758), страница 257
Текст из файла (страница 257)
Она связывает с каждым возможным исходом эксперимента действительное число, что позволяет нам работать с распределением вероятностей на множестве значений данной функции. Случайные величины могут быть определены и для несчетных бесконечных пространств событий, но при этом возникают технические проблемы, которых лучше избежать. Нам не придется работать с несчетными бесконечными пространствами событий, так что далее везде предполагается, что случайные величины дискретны.
Для случайной величины Х и действительного числа х определим событие Х = х как (в Е Я: Х (в) = х); таким образом, Функция /(х) = Рг(Х = х) называется функцией плотности вероятности гргоЬаЬ)))гу г)елв!гу йлсг)оп) случайной величины Х. Из аксиом вероятности следует, что Рг (Х = х) > О и 2,' Рг (Х = х) = 1. Приложение В. Комбинаторика и теория вероятности 1239 В качестве примера рассмотрим эксперимент, состоящий в бросании пары игральных костей. В пространстве событий имеется 36 элементарных событий. Будем считать, что все они равновероятны, т.е.
для кахслого элементарного события в е Я его вероятность Рг(в) = 1/Зб. Определим случайную величину Х как максимальное количество очков, выпавшее при броске на одной из костей. Тогда, например, Рг(Х = 3) = 3/5, так как Х равно 3 в 5 из 36 возможных элементарных событий, а именно при выпадении (1,3), (2,3), (3,3), (3,2) или (3, 1). Как правило, на одном пространстве событий определяются несколько случайных величин. Если Х и У вЂ” случайные величины, то функция г" (х, у) = Рг(Х = х и У = у) называется совместной функцией алотностн вероятности (~о[пг ргоЬаЬг!йу депкйу йшсйоп) Х и У. Для фиксированного значения у Рг(У = у) =,з Рг(Х = х и У = у), и, аналогично, для фиксированного значения х Рг(Х = х) = ,'г Рг(Х = х и У = у).
р Используя определение условной вероятности (В.14), мы имеем Рг (Х = х и У = у) Рг(У = у) Две случайные величины Х и У являются независимьгмн, если для всех х и у события Х = х и У = у независимы, т.е. для всех х и у выполняется Рг(Х = х и У = у) = Рг(Х = х) Рг(У = у). Для данного множества случайных величин, определенных на одном и том же пространстве событий, можно определить новую случайную величину как сумму, произведение или другую функцию имеющихся случайных величин. Математическое ожидание случайной величины Простейшая и наиболее часто используемая характеристика случайной величины — ее среднее значение (шеап), или математическое олгсидание (ехрес1ед ча!ие, ехресгабоп), которое определяется для дискретной случайной величины следующим образом: Е !Х] = ~~г хРг(Х = х).з (В.19) Н отечестаенной математической литературе для математического ожидания принято обозначение М [Х[.
— Прим. ред. Часть ЧП1. Приложения: математические основы 1240 Зто значение вполне определено в случае конечного или бесконечного абсолютно сходящегося ряда. Иногда математическое ожидание Х обозначают как пх или, если случайная величина очевидна из контекста, просто д. Рассмотрим игру, в которой бросается пара симметричных монет. Вы выигрываете 3 доллара при выпадении орла, и проигрываете 2 доллара при выпадении решки.
Математическое ожидание случайной величины Х, равной вашему выигрышу, равно Е [Х] = 6 Рг (2 орла) + 1 Рг (1 орел, одна решка) — 4 Рг (2 решки) = = 6 ° (1/4) + 1 (1/2) — 4 (1/4) = 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: Е [Х + У] = Е [Х] + Е [У], (В.20) Е[д(Х)] = ~~) д(х) Рг(Х = х).
Пусть д (х) = ах. Тогда для произвольной константы а Е[аХ] = аЕ[Х]. (В.21) Таким образом, математическое ожидание представляет собой линейную функ- цию: для двух произвольных случайных величин Х и У и произвольной констан- ты а Е [аХ + У] = аЕ [Х] + Е [У] . (В.22) если значения Е [Х] и Е [У] определены. Зто свойство называется линейностью математического ожидания (11пеапту оГ ехрес1а11ол), причем оно справедливо даже тогда, когда случайные величины Х и У не являются независимыми.
Зто правило распространяется и на конечные, и на абсолютно сходящиеся бесконечные суммы математических ожиданий. Линейность математического ожидания является ключевым свойством, обеспечивающим возможность проведения вероятностного анализа с использованием индикаторной случайной величины (см. раздел 5.2). Если Х вЂ” произвольная случайная величина, то любая функция д (х) определяет новую случайную величину д (Х). Если математическое ожидание этой величины определено, то Приложение В. Комбинаторика и теория вероятности 1241 Если случайные величины Х и У независимы и каждая имеет определенное математическое ожидание, то Е [ХУ] = ~~~ ~~) ху Рг (Х = х и У = у) = хуРг(Х = х) Рг(У = у) = ) хРг(Х = х) ~~~ уРг(У = у) = Е [Х] Е [У] . В общем случае, если у нас имеется п независимых в совокупности случайных величин Хы Хз,..., Х„, то Е [Х1 Хз ..
Х„] = Е [Хг] Е [Хз] . Е [Х„] . (В.23) Если случайная величина Х принимает значения из множества неотрицательных целых чисел, то для ее математичесюго ожидания имеется красивая формула: Е [Х] = ~~~ (Рг (Х = 1) = 1=0 = ) 1(Рг(Х > 1) — Рг(Х > 1+ 1)) =о = ~~> Рг(Х >1), (В.24) Е [у (Х)] > г" (Е[Х]) (В.25) (в случае, югда математическое ожидание существует и конечно). Функция г' (х) называется выпуклой вниз (соптех), если для всех х и у и всех 0 < Л < 1 выполняется неравенство у (Лх + (1 — Л) у) < Лу (х) + (1 — Л) )' (у). поскольку каждый член Рг (Х > 1) присутствует в сумме со знаком плюс 1 раз, и 1 — 1 раз — со знаком минус (кроме члена Рг (Х > 0), который в сумме отсутствует).
При применении выпуклой вниз функции г" (х) к случайной величине Х неравенснгво Йенсена (1епзеп'з 1пег)ца11гу) гласит, что Часть Чй]. Приложения: математические основы 1242 Дисперсия и стандартное отклонение Математическое ожидание случайной величины не говорит нам о том, насколько сильно "разбросаны" ее значения. Например, если у нас есть случайные величины Х и У, такие что Рг (Х = 1/4) = Рг (Х = 3/4) = 1/2 и Рг (У = О) = = Рг (У = 1) = 1/2, то их математические ожидания равны 1/2, однако реальные значения У находятся дальше от математического ожидания этой случайной величины, чем в случае Х. Дислерсия (уапапсе) случайной величины Х с математическим ожиданием Е [Х] определяется какз Чаг [Х] = Е [(Х вЂ” Е [Х])~] = = Е [Хз — 2ХЕ [Х] + Ез [Х]] = Е [Х'] — Е'[Х].
(В.2б) В процессе вывода использованы равенства Е [Ез [ХЦ = Ез [Х] и Е [ХЕ[Х]] = = Ез [Х], которые вполне корректны, поскольку математическое ожидание Е [Х] является просто действительным числом, а не случайной величиной, так что мы можем воспользоваться формулой (В.21). Уравнение (В.26) можно использовать для поиска математического ожидания квадрата случайной величины: Е [Хзз] = Чаг[Х]+ Е [Х]. (В.27) Дисперсия случайной величины Х связана с дисперсией случайной величины аХ следующим соотношением (см. упражнение В.3-10): Чаг[аХ] = а Чаг[Х].
Если Х и У вЂ” независимые случайные величины, то Чаг[Х+У] = Чаг[Х]+Чаг[У]. В общем случае, если тз случайных величин Х1, Хз,..., Х„попарно независимы, Чаг ) Х; = ~к Чаг [Х,]. 1=1 1=1 (В.28) В отечественной математической литературе для дисперсии принято обозначение 11 [Х].— Прим, ред. Стандартным отклонением (агапе(ап1 беу]аг]оп) случайной величины Х называется неотрицательный квадратный корень дисперсии Х. Иногда стандартное отклонение Х обозначают как ох или, если случайная величина очевидна из контекста, просто ст. При использовании этого обозначения дисперсия Х записывается как сгз. Приложение В. Комбинаторика и теория вероятности 1243 Упражнения В.3-1.
Бросаются две обычные шестигранные игральные кости. Чему равно математическое ожидание суммы выпавших очков? Чему равно математическое ожидание максимального из двух выпадающих чисел? В.3-2. Массив А[1..п] содержит п различных чисел в произвольном порядке; все перестановки чисел равновероятны. Чему равно математичесюе ожидание индекса максимального элемента массива? Чему равно математическое ожидание индекса минимального элемента массива? В.З-З. Игрок ставит доллар на одно из чисел от 1 до 6 и выбрасывает одновременно три игральные юсти.
Если указанное число не выпало ни на одной из костей, игрок теряет свой доллар; если же число выпало на Й костях, игрок сохраняет свой доллар и получает дополнительно к долларов. Чему равно математическое ожидание выигрыша игрока в одной партии? В.3-4. Покажите, что если Х и г — неотрицательные случайные величины, то Е [пзах (Х, )')] < Е [Х] + Е [У]. * В.3-5. Пусть Х и г — независимые случайные величины. Докажите, что У (Х) и д (г ) независимы при любом выборе функций г" и д. * В.3-6. Пусть Х вЂ” неотрицательная случайная величина, и математическое ожидание Е [Х] вполне определено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
