Нестеров Константин. Задачи к зачёту по атомной физике (1121707)
Текст из файла
студентыфизикиСеминарист Андреев П.А.23 декабря 2014 г.Нестеров Константингруппа №327ИсточникиВопросы семинаристаЗадачи к зачёту по атомной физике. Часть №1Нестеров Константин, группа №32723 декабря 2014 г.Задача№1(2.40)Используяпредставлениеосветовыхквантах, доказать, чтодавлениесветанаосвещённоетелоопределяетсясоотношением p = ρ(1 + R), совпадающимсвыражениемдлядавлениясветавклассическойэлектродинамике(ρ –плотностьэнергииизлучения, R –коэффициентотражения).Решение. На тело площадью S падает поток фотонов с энергией E = Nhν и общим.
RN - число отражённых фотонов, (1 − R)N - число поглоимпульсом p = Ec = N hνcщённых. При поглощении телом фотона, фотон передаёт импульс pпогл =отражении pотр =импульсhνc−(− hν)c=2hν.chν,cа приN фотонов за единицу времени передают телуp = (1 − R)Nhν+ NR2hνccИмпульс за единицу времени равен силе давленияP=FS==p=(1 − R)N(hν/c) + NR(2hν/c))ShνN (1 + R))ScS=c=(1 + R)N(hν/c)S=(1 + R) = ρ(1 + R)■Задача№2(4.2)ПоТомпсонуатомводородапредставляетсобойоднороднозаряженныйшаррадиусом R ≈ 10−8 см собщимзарядом e = ±4.8 ∗ 10−10 ед.
зарядаСГСЭ, внутрикоторогонаходитсяодинэлектрон(вцентрешара, еслиатомневозбуждён). Найтичастотуизлучениятакогоатома.Решение. По теореме Гаусса для шараΦE = 4πQ;4E4πr 2 = 4π πr 3 ρ0 ,314где e = πr 3 ρ0 ;3E⃗ =eR3r⃗2¨ = −eE⃗ = − e 3 r⃗Уравнение движения электрона mr⃗R¨ + ω2 r⃗ = 0,r⃗0гдеν=vu 2t eω0 =ω02πmR2= 5.03 · 1016 с−1≈ 1 · 1016 с−1Ответ. ν = 1016 с−1■Задача№3(5.2)Найтидинамическиепараметрывсехкруговыхорбитэлектронаватомеводорода: радиусы, скоростиэнергии, частотыипериодыобращения, релятивистскийпараметр /c. Массуядрасчитатьбесконечнобольшой.Решение. Уравнение движения для электронаm 2r=Ze2(3.1)r2Правило квантования момента импульсаL = [r × p] = mr = nℏИз (3.2) =nℏ.rm(3.2)Подставляя в (3.1)m n 2 ℏ2r r 2 m2n 2 ℏ2rmEn =−Ze2r2= Ze2 ⇒ rn =n =m 2=Ze2nℏZe2 m=ℏ2 n2 mme4 Z 2=−Ze2 mZe2ℏnme4 Z 2= −RyZ2ℏ2 n 2n2me4 Z 2ωn ===rnnℏn2 ℏ2ℏ3 n 32πℏ3 n32π=Tn =ωnme4 Z 222ZeZe==α , α=− постоянная тонкой структурыcnℏcnℏc2rn2ℏ2 n2Z 2 e2 me2n2 ℏ2■2Задача№4(6.6)Определитьсобственныезначенияинормированныесобственныефункцииоператоракинетическойэнергии T̂ =p̂22m.Решение.p̂ = −ℏT̂ ψ = T ψ;−ℏ2 ∂2 ψ2m ∂2=∂∂ℏ22mp̂2;2mψ = T ψψ′′ = T ψ2mTk2 =ℏ2sin k= C exp(±k)ψ = A sin k + B cos k =cos kψ′′ + k 2 ψ = 0,−∞∫ek e−k d = δ(T − T ′ )C2+∞−∞∫C2 ℏ+∞ d1exp(−(T − T ′ ) )= C2 ℏ2πδ(T − T ′ ) = δ(T − T ′ ) ⇒ C = pℏ ℏ2πℏОтвет.
ψE =p12πℏexp(± ℏp2mT );T =ℏ2 k 22m■Задача№5(6.16)Волноваяфункциясостояниянекоторойквантовойсистемы, какфункцияполярногоугла, имеетвиде(B -нормировочнаяконстанта):ψ(φ) = B cos4 φ.Какиезначения z -проекциимоментаколичествадвижения Lz могутбытьизмеренывэтомсостоянии? КаковывероятностиихизмеренияисреднеезначениеLz ?Решение.ψ = B(1 +12cos 2φ)2 =B4(1 + cos 2φ +1 + cos 4φ2)=B 3 0φ11B( e + e2φ + e−2φ + e4φ + e−4φ ) = (6e0φ + 4e2φ + 4e−2φ + e4φ + e−4φ )4 24416∫2πcos8 φ dφ =B2B2 35π6403=1⇒B= p835πp8 2π 3 e0φ 1 e2φ 1 e−2φ 1 e4φ1 e−4φ pψ= p++++pppp 35π 8 2π 4 2π 4 2π 16 2π 16 2π | {z }| {z }| {z }| {z }| {z }n=0n=2n=−2n=4 p28 2π 318P0 = p=Lz = nℏ = 03535π 82 p88 2π 1=Lz = ±2ℏP2 = P−2 = p3535π 4 p28 2π 11P4 = P−4 = p=Lz = ±4ℏ7035π 16n=−4〈Lz 〉 = P0 0ℏ + P2 2ℏ + P−2 (−2ℏ) + P4 4ℏ + P−4 (−4ℏ) = 0Ответ.
Lz = 0, ±2ℏ, ±4ℏ;〈Lz 〉 = 0■Задача№6(6.17)Волноваяфункциянекоторойсистемывсферическихкоординатахопределяетсявыражением(A -нормировочнаяконстанта):ψ(r, θ, φ) = AR(r) sin2 θ sin 2φ,∫∞причём 0 R2 (r)r 2 dr = 1. Какиезначенияквадратаи z -проекцииимпульса L2 иLz могутбытьизмеренывэтомсостоянии? Каковывероятностиихизмеренияисредниезначения?Решение.ψ(r, θ, φ) = AR(r) sin2 θ sin 2φ = AR(r)sn2 θ=vAR(r) t 48π 23Y2,2 (θ, φ) − Y2,−2 (θ, φ)e2φ − e−2φ2=Y2, ±2 (θ, φ) =| {z }vut 348πsin2 θe±2φ,m↑ сферические функцииLz = mℏ ⇒ Lz = ±2ℏL2z= ℏ2 ( + 1) ⇒ L2z = 6ℏ2P6ℏ2 = 1так как всего одно С.З.4Найдём A: v v A t 48π 2 A t 48π 2 + =1 2323 |A|2 ·48π6A2 ==16 · 48πP±2ℏ =648π1=4 · 3 · 48π211〈Lz 〉 = 2ℏ − 2ℏ = 022Ответ.Lz = ±2ℏ;L2zP±2ℏ =2P= 6ℏ ;6ℏ212=1■Задача№7(7.7)Частицанаходитсяводномернойсимметричнойпотенциальнойямеглубиной V0ишириной .
Определитьусловиевозникновения n-гостационарногосостояниявтакомпотенциале. Нарисоватьраспределение |ψ()|2 дляэтогосостояния.Решение.0,V() =|| ≤V0 ,2|| ≥область II2области I и III2m(V −E)0Введём k 2 = 2mE, ϰ2 =ℏ2ℏ2В каждой из областей непрерывности потенциала уравнение Шрёдингера, к решению которого сводится задача по отысканию уровней энергии имеет видψ′′ − ϰ2 ψ = 0области I и IIIобласть IIψ′′ − k 2 ψ = 01. Чётное состояние ψ() = ψ(−)Решения имеют вид:область Iψ = A exp(ϰ)область IIψ = A cos(k)область IIIψ = A exp(ϰ)A = A5“Сшивая” функции и первые производные в точке разрыва потенциала =ϰk) = A exp(−)A cos(22kϰ−kA sin() = −ϰA exp(−)22vukt 2mV0 2− (k)2k tan()=2ℏ22(7.1)2. Нечётное состояние ψ() = −ψ(−) Решения имеют вид:область Iψ = A exp(ϰ)область IIψ = A sin(k)область IIIψ = A exp(−ϰ)A = −A“Сшивая” функции и первые производные в точке разрыва потенциала =kϰ) = A exp(−)A sin(22kϰkA cos() = −ϰA exp(−)22vukt 2mV0 2− k ctg()=− (k)22ℏ2Будем анализировать решения уравнений (7.1) и (7.2) графическиα1 = ξ tan ξα12 + ξ2 = R2α2 = −ξ ctg ξR=α22 + ξ2 = R22mV0 2ℏ26≥ π22(7.2)Ответ.
Условие возникновения стационарного состояния2mV0 2ℏ2≥ π 2 (n − 1)2■Задача№8(7.20)Найтиуровниэнергиииволновыефункциистационарныхсостоянийв δ-потенциалеV() = (ℏ2 /m)V0 δ(). Считать, что V0 < 0.Решение.−−ℏ2 ∂ 2 ψ2m ∂2ℏ22m+ U()ψ = E()ψ′′ = ϵψ;ψ′′ +2mϵℏ2| {z }k27=0ψ′′ + k 2 ψ = 0ψ = C1 ek + C2 e−⇒ < −ϵψ1 () = C1 exp(k),ψ2 () = C2 exp(−k),>ϵ 2mℏ ′′ ℏ−ψ −V0 δ()ψ = E() · 2 ℏ2mm22−ψ′′ − 2|V0 |ψ()δ() = −k 2 ψ∫+ϵ∫+ϵψ′′ d + 2|V0 |−ϵ∫+ϵδ()ψ d = k 2−ϵψ d;ϵ→0−ϵψ(+0) − ψ(−0) + 2|V0 |ψ(0) = 0ψ′ (+0) − ψ′ (−0) + 2|V0 |ψ(0) = 0ψ(+0) = ψ(−0)из условия согласованияC1 = C2 = C−kC − kC + 2|V0 |C = 0vt 2mϵℏ2 |V0 |2k = |V0 | =⇒ϵ=−ℏ22mv+∞+∞∫∫u2Ctk2 −k||2−k=1⇒C=C ed = 2Ced = 2k2−∞0Ответ.ψ1 =vutk2ek ;ψ2 =vutk2e−k■Задача№9(7.28)Показать, чтовпроизвольномстационарномсостоянииодномерногогармоническогоосцилляторасредниезначенияпотенциальнойикинетическойэнергииравны.Решение.U() =mω2 22vt mω() exp(−)Hn ()ψn () = p2ℏℏ2n n! πℏ+∞∫1 n2〈U〉 =U()ψn () d =+ℏω4 21mωmω21/4−∞8〈T〉 = E − 〈U〉 =12+ n ℏω −14+n2ℏω =14+n2ℏω = 〈U〉■Задача№10(7.30)Частицанаходитсявосновномсостоянииводномерномгармоническомосцилляторномпотенциале.
Определитьплотностьвероятностиизмеритьзначениеимпульса p.Решение.∫exp(−p/ℏ)dp2πℏ12ψ0 () = Æ p exp(− 2 )2 πv+∞∫u ℏ12 exp(−p/ℏ)pt)Cp =d =Æ p exp(− 2 )p exp(p2ℏ p2πℏ πCp =ψ0 ()−∞Wp = |Cp |2 =ℏp2 2p exp(− 2 )ℏ π■9.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
