Решённые задачи с комиссии (1121423), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

лекция №9)Значит, схема уровней и переходов выглядит так:10Комиссия, Вариант 4, Задача 6. На сколько компонент расщепится в слабоммагнитном поле спектральная линия атома натрия 3s − 3p λ2 = 5896Å резонансногодублета λ1 = 5890Å и λ2 = 5896Å?Решение.Согласно правилам отбора возможны переходы 3p1/2 → 3s1/2 , 3p3/2 → 3s1/2При рассмотрении атомов щелочных металлов вводят квантовый дефектEnl = −Ry(n − 4nl )2(cм лекция №10)4nl растёт с увеличением n, и убывает с увеличением lТам же (в лекции №10) показана схема энергетических уровней N aУровни с бо́льшим j лежат выше =⇒ энергия перехода 3p3/2 → 3s1/2 большеэнергии перехода 3p1/2 → 3s1/2дана λ2 > λ1 =⇒ энергия перехода меньше =⇒ дана линия 3p1/2 → 3s1/2В слабом магнитном поле — аномальный эффект Зеемана (см.

лекция №14)Число компонент спектральной линии равно количеству всевозможных комбинаций(g2 mj2 − g1 mj1 ), с учётом правила отбора 4mj = 0, ±113 13+22 22 = 2g=g(3s)=1+11/213222j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)=⇒g = 1+2j(j + 1)13 13+−222222g2 = g(3p1/2 ) = 1 +=1332221 1mj1 = mj (3s1/2 ) = − ,2 21 1mj2 = mj (3p1/2 ) = − ,2 211Таблица расчёта зеемановского расщепления линииg2 mj2g1 mj1−13 {mj =− 12 }−1{mj =− 1 }231{mj = 1 }−224313 {mj = 12 }43−23=⇒ линия будет расщеплена на 4 компоненты12Общий зачёт, Вариант φ, Задача 1. Исходя из соотношения неопределенностей,оценить неопределенность координатыв основном 2 частицы массы M , находящейся2R0h̄R0состоянии в потенциале V (R) = D.

Считать, что−2 D.2RRM R02Решение.Частица в основном состоянии =⇒ полная энергия минимальнаE =T +U =p2+ V (R)2M=⇒ минимальны импульс и потенциалИмпульс частицы никогда не определён точно, и 4R 4 p ∼ h̄ =⇒ 4p ∼h̄4RНеопределённость импульса — это когда p ∈ [p0 − 4p, p0 + 4p]Импульс минимален =⇒ p0 = 0 и p ∼h̄4RКоордината частицы R тоже не определена точно: R ∈ [R0 − 4R, R0 + 4R]Потенциал V (R) похож на параболу, пересекающую ось R в точкеминимум в точке R0 : V (R0 ) = −DR0, и имеющую2Потенциал минимален, поэтому в выражении для области изменения R, приведённомвыше, R0 совпадает с R0 в выражении потенциалаНеопределённый потенциалR02R0V (R0 ± 4R) = D−2(R0 ± 4R)2R0 ± 4Rможно разложить в точке R0 в ряд тейлора по малому параметру 4R1V (R0 ± 4R) ' V (R0 ) ± V 0 (Ro ) 4 R + V 00 (R0 ) 4 R2 =2R02R01R02R04R2= −D ± D −2 3 + 2 2 4 R + D 6 4 − 4 3 4 R2 = −D + D 2R0R02R0R0R013=⇒ 4E ∼h̄24R2−D+D2M 4 R2R02похоже на правду, потому что есть противоборство 4R2 в числителе и знаменателеосновное состояние =⇒ энергия и её неопределённость минимальныможно взять производнуюd4Eh̄24R=−=0+2Dd4RM 4 R3R02vu 2u h̄ru42 22 2h̄ R0R0 t M R024 h̄ R04=⇒= 4R =⇒ 4R == √42M D2M DD2D >>h̄2=⇒ 4R R0 (наверное, если D вообще большое)M R0214Общий зачёт, Вариант φ, Задача 2.

В рамках модели атома Бора определитьвеличину релятивистской поправки к энергии кванта Hα линии (головной линиисерии Бальмера) водородоподобного иона с зарядом Z. Считать, что αZ 1, α —постоянная тонкой структуры.Решение.Релятивистская поправка возникает из-за релятивистского увеличения массы электронаm= rmev21− 2c(cм. лекция №3)rВ итоге скорость будет та же, радиус орбиты будет сокращён — rn = rn,0rvnZv22=αи энергия En = me c 1 − n2 , гдеccn1−vn2,c2Релятивистская поправка к энергии уровняZ24En = (En − me c2 ) − En,0 ,где En,0 = −Ry 2nВ лекции №3 показано, что при разложении корня по малому параметру βp111 − β2 ' 1 − β2 − β428второй член разложения слагаемого с корнем будет равен En,0 , и релятивистскуюпоправку энергии уровня даст третий член разложения4αZ124En = − me c8nчем больше n, тем меньше эта поправка =⇒ энергия перехода возрастётсерия Бальмера — переходы n → 2=⇒ поправка к энергии кванта 4En,21= me c2 (αZ)481511− 416 nОбщий зачёт, Вариант φ, Задача 3.

В бесконечно глубокой прямоугольнойодномерной потенциальной яме среднее значение координаты частицы hx(t)i осциллирует5E1с частотой ω =. Напишите выражение для волновой функции и плотностиh̄вероятности в произвольный момент времени. E1 – энергия низшего уровня. Какизменяется во времени дисперсия координаты hx2 (t)i?Решение.Набор функций ψ n (x) бесконечно глубокой ямы найден в лекции №5 r2πncosx, n = 1, 3, 5, ...aarψ n (x) =2πnsinx, n = 2, 4, 6, ...aaπ 2 h̄2 2n,En =2ma2n = 1, 2, 3, ...По условию D(t) = hx(t)2 i − hx(t)i2 = hx(t)2 i =⇒ hx(t)i = 0Но также по условию hx(t)i осциллируетТак что можно предположить, что в конце условия опечаткаhx(t)i =a/2Rψ̄(x, t)x(t)ψ(x, t)dxEkψ k (x, t) = ψ k (x) exp −i th̄−a/2Пусть, например, волновая функция частицы представляет суперпозицию двухортонормированных функций ψ k и ψ lEkElψ(x, t) = Ck ψ k (x) exp −i t + Cl ψ l (x) exp −i th̄h̄Тогда hx(t)i =a/2R22Ck hx(t)ik + Cl hx(t)il + Ck Clx[ψ̄ k (x, t)ψ l (x, t) + ψ k (x, t)ψ̄ l (x, t)]dx−a/216=a/2REk − ElEk − El= Ck Clψ k (x)ψ l (x)x exp it + exp −itdx =h̄h̄−a/2= 2Ck Cl cos=⇒ a/2REk − El5E1tψ k (x)ψ l (x)xdx = xmax costh̄h̄−a/22Ck Cla/2Rψ k (x)ψ l (x)xdx = xmax =−a/2a2|Ek − El | = 5E1π 2 h̄2 2En =n = E 1 n22ma2Ek − El = E1 (k 2 − l2 ) =⇒ k 2 = 5 + l2 =⇒ k = 3, l = 2a/2R C2 C3ψ 2 (x)ψ 3 (x)xdx = 4a−a/2C32 + C22 = 1sШирина ямы a =a/2Rπ 2 h̄22mE1ψ 2 (x)ψ 3 (x)xdx =−a/2R2 a/22πx3πxsincosxdxa−a/2aaИспользуя равенстваsin α cos β =1(sin(α + β) + sin(α − β))2иa/2R a 2 nπ/2 a 2Rnπxxdx =t sin tdt =sinanπ −nπ/2nπ−a/217nπ/2−t cos tk−nπ/2+nπ/2R−nπ/2!cos tdt=nπ nπ a 2 sincosnπnπ2 +22 nπ cos+ 2 sin= −a2 =−nπ22nπ(nπ)2получимRa/2Ra/2R5πxπxsinxdx −sinxdxaa−a/2−a/21ψ 2 (x)ψ 3 (x)xdx =a!= 5π5πππcossincossin248a2 2222= −a +2+ 2 2  = −a− 2 =−225π(5π)ππ(5π)π25π 2=⇒ C2 C348a251 25 2= 4a =⇒ C2 C3 = π 2 =⇒ C2 =π225π12C3 12C32C32+C22=+1232512s1±=⇒ C32 =21−24π = 1 =⇒2562π4C34−C32+25122π4 = 0vsu 2u25uπ4u1 ± 1 −6t=⇒ C3 = ±2r 22πx4E13πx9E1C2 sinexp −it + C3 cosexp −itВолновая функция ψ(x, t) =aah̄ah̄Плотность вероятности ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 = ψ̄(x, t)ψ(x, t) =2=a2πx3πx5E12 2πx222 3πxC2 sin+ C3 cos+ 2C2 C3 sincoscostaaaah̄18Средний квадрат отклонения от центра ямыa/2R2hx(t) i =ψ̄(x, t)x2 (t)ψ(x, t)dx =−a/24= D2 + D3 + C2 C3 cosaa/2Rsin−a/2 a/2R5E12πx3πx 2tsincosx dxh̄aa−a/22πx3πx 2cosx dx = 0, т.к.

под интегралом стоит нечётная функцияaa=⇒ hx(t)2 i = D2 + D3a/2RD2 =x2 |ψ 2 (x, t)|2 dx =−a/2a/2R1=aa/2R!4πxdxx dx −x cosa−a/2−a/2a/2RD3 =22x2 |ψ 3 (x, t)|2 dx =−a/2a/2R1=aa/2RR 2 2 2πx2 a/2dx =x sina−a/2aR 2a21 a/24πx=−dxx cos12 a−a/2aR 22 a/23πxdx =x cos2a−a/2aa/2R6πxdxx2 dx +x2 cosa−a/2−a/2!=R 2a21 a/26πx−dxx cos12 a−a/2a a 3 πn/2R 2nπxx cosdx =t cos tdt =anπ −πn/2−a/22 a 3=nπnπ/2t2 sin tk−nπ/2−2nπ/2R!t cos tdt−nπ/219=a3nπsin2nπ2a2 a2=⇒ hx(t) i = D2 + D3 =−622=a211+6 6π= a212π13πsin+sin2π23π2=π+16π=⇒ дисперсия D(t) = hx(t)2 i − hx(t)i2 ==a2πa2=2+1−6π2a5E1cost =2h̄π+1 12 5E1− cost3π2h̄Ответ:C2 =масса частицы m, видимо, известнаr 22πx4E13πx9E1ψ(x, t) =C2 sinexp −it + C3 cosexp −itaah̄ah̄5E12πx3πx22 2πx2 3πx22+ C3 cos+ 2C2 C3 sincoscostρ(x, t) =C2 sinaaaaah̄a2 π + 1 12 5E1D(t) =− cost23π2h̄1 25 2πC3 12vsu 2u25uπ4u1 ± 1 −6tC3 = ±2sπ 2 h̄2a=2mE120Общий зачёт, Вариант φ, Задача 4.

Частица находится в одномерной симметричнойпотенциальной яме глубиной V0 и шириной a. Определить условия существованиядвух стационарных состояний в таком потенциале. Нарисовать распределения |ψ(x)|2для каждого из них.Решение.Частица в симметричной потенциальной яме рассмотрена в лекции №5Для чётных ψ n будет трансцедентное уравнение пересечения почти тангенса идуги окружностиДля чётных ψ n будет трансцедентное уравнение пересечения почти котангенса идуги этой же окружностиРадиус окружности√√aB = 2mV0h̄=⇒ только 2 стационарных состояния будет том случае, если π ≤√B < 2π√πh̄2πh̄=⇒ √≤ V0 a < √2m2mВолновые функции ψ 1 и ψ 2 нарисованы в лекции №5 — косинус и синус, переходящиев экспоненту на бесконечности=⇒ |ψ(x)|2 выглядят так21Общий зачёт, Вариант φ, Задача 5.

Атом кислорода (Z = 8) находится на термеP , принадлежащем электронной конфигурации 2p3 4p. В какие нижележащие термыкаких конфигураций электромагнитные переходы разрешены в дипольном приближении?Сколько компонент имеет тонкая структура каждой из спектральных линий?5Решение.Нижележащие состояния для 4p-электрона: 3d, 4s, 3p, 3s, 2pПравила отбора для электромагнитного перехода в многоэлектронном атоме(см.

лекция №12):PPi = −Pf , P = (−1) li4L = 0, ±14S = 04J = 0, ±1, кроме J = 0 → J = 0Исходная P-чётность Pi = (−1)4 = +1 =⇒ Pf = −1 =⇒Plf нечётна=⇒ l электрона, совершающего переход, станет чётным=⇒ возможны переходы 4p-электрона только в состояния 3d, 4s, 3s1 3J2p31/2 = , =⇒ возможны переходы в состояния 3d3/2,5/2 , 4s1/2 , 3s1/22 2У терма 5 PS = 2 =⇒ возможен переход только опять в квитетПереход в термы нижележащих конфигурацийконфигурация2p3 3d3/2,5/22p3 4s1/22p3 3s1/2возможные L1, 2, 3, 4, 51, 2, 3как у 2p3 4sреализуемые L термы перехода число компонент5 51, 2P, D25 51, 2P, D133как у 2p 4sкак у 2p 4s122Общий зачёт, Вариант φ, Задача 6.

В атоме водорода электрон находится всостоянии 5f . Какие спектральные линии и каких серий могут возникнуть приспонтанных переходах? Тонкую структуру не учитывать. Схему уровней и возможныхпереходов изобразить графически.Решение.Правила отбора для электромагнитного перехода (см. лекция №12):4s = 0, 4ms = 04l = ±1, 4ml = 0, ±1=⇒ возможны переходы только в d-состояния и g-состояния (которые так и невозникают до 5f )=⇒ возможны переходы только в 5d, 4d, 3dТонкую структуру не учитывать =⇒ линии будут синглетными2324.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)