Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Какие значения z- проекции момента количества движения и с какой вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсия величины ?

1. Волновая функция некоторой системы в сферических координатах определяется выражением

.

Какие значения квадрата момента количества движения и с какой вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсия величины ?

1. Частица массы находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной . Написать волновые функции хотя бы двух состояний, в которых среднее значение энергии частицы равно .

2. Частица массы находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной . Найти значения , которые могут быть измерены в этом состоянии. Какова вероятность их измерения и среднее значение величины .

3. Показать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле , справедливо утверждение (теорема Эренфеста)

.

Здесь скобки означают усреднение по квантовому состоянию.

1. Показать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле , среднее по квантовому состоянию значение импульса удовлетворяет соотношению . Здесь - среднее значение координаты, - масса частицы.

2. Показать, что для частицы, движущейся в гармоническом потенциале , изменение во времени среднего значения координаты определяется классическим законом движения.

3. Волновая функция частицы, находящейся в гармоническом потенциале, в момент времени определяется выражением

,

где . Определить среднее значение координаты частицы, как функцию времени.

1. Частица находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме в состоянии , и - волновые функции нижних стационарных состояний, . Определить среднее значение и дисперсию координаты частицы как функцию времени.

2. Определить энергию нижнего стационарного состояния частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины в случаях: а) , б) ( - глубина потенциальной ямы, - ее ширина).

3. Частица массы находится в одномерном потенциале Определить, сколько связанных состояний находится в яме в следующих случаях: а) , б) .

4. Показать, что волновая функция системы из двух взаимодействующих частиц может быть представлена в виде произведения волновых функций, описывающих относительное движение частиц и движение центра масс.

5. Дейтрон имеет энергию связи МэВ, среднее расстояние между протоном и нейтроном см, возбужденного состояния у дейтрона нет. Используя эти данные, оценить глубину потенциальной ямы поля ядерных сил. Указание: Яму считать прямоугольной, а ее размер положить равным расстоянию .

6. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний трехмерного изотропного гармонического осциллятора .

7. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний системы связанных линейных гармонических осцилляторов с гамильтонианом , где - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой , - константа связи.

8. Определить уровни энергии одномерного ангармонического осциллятора . Ангармоническую добавку считать малой.

9. Определить энергии стационарных состояний заряженной частицы, находящейся в гармоническом потенциале , в присутствие внешнего однородного постоянного электрического поля.

10. Используя теорию возмущений, найти энергию и волновую функцию основного состояния системы из двух связанных линейных осцилляторов, описываемую гамильтонианом . Результат сравнить с точным решением (см. задачу 3.23).

11. В атоме трития ядро испытывает  - распад с образованием ядра . Определить вероятность того, что образующийся водородоподобный ион гелия будет находиться в основном состоянии. Указание: Поскольку образующийся при  - распаде электрон является релятивистским, изменение заряда можно считать мгновенным.

«Барьерные задачи»

4.1. Определить величину плотности тока вероятности для состояния .

1. Поток частиц с энергией рассеивается на прямоугольной потенциальной ступеньке Определить вероятности прохождения и отражения. Нарисовать графики зависимости для случаев «подбарьерного» и «надбарьерного» движения.

2. Поток частиц с энергией рассеивается на прямоугольном потенциальном барьере высотой и шириной , причем (надбарьерное прохождение). Определить энергии, при которых вероятность отражения от барьера равна нулю (резонанс прозрачности).

3. Оценить время жизни - радиоактивных ядер и . Энергии вылетающих - частиц соответственно равны МэВ и МэВ.

Квантовомеханическая модель атома водорода

1. Определить среднее и наиболее вероятное удаление электрона от ядра в атоме водорода, находящемся в состояниях и .

2. Нарисовать радиальные волновые функции и распределения вероятности обнаружить электрон на расстоянии от ядра в атоме водорода, находящимся в состояниях с главным квантовым числом .

3. Определить вектор плотности тока вероятности для циркулярного состояния ( , ) атома водорода. Полученное выражение сравнить с классической величиной электрического тока, создаваемого электроном в атоме водорода, движущимся по круговой орбите.

4. Определить заряд ядра водородоподобного иона, при котором величины изотопического сдвига, связанные с конечной массой и конечным размером ядра, совпадают. Оценку провести в предположении, что число протонов и нейтронов в ядре одинаково, а радиус ядра связан с его массовым числом соотношением (см).

5. Атом щелочного металла можно рассматривать, как одноэлектронную систему, в которой единственный электрон движется в поле атомного остова, представляющего ядро с зарядом и совокупность электронов. Оценить размер атомного остова атома лития ( ), считая, что по объему остова отрицательный заряд распределен равномерно. Потенциал ионизации атома лития эВ.

6. Определить энергии стационарных состояний в центрально - симметричном потенциале , - боровский радиус.

7. Мюон ( ) находится в поле тяжелого атомного ядра ( , ). Определить приближенный вид волновой функции основного состояния и оценить потенциал ионизации такой системы. Считать распределение заряда в пределах ядра равномерным. Радиус ядра связан с его массовым числом соотношением (см).

8. Оценить амплитуду «дрожания» электрона на орбите, приводящую к лэмбовскому сдвигу атомных уровней, если известно, что разница энергий и состояний в атоме водорода равна

9. Длина волны излучения, соответствующая переходам между компонентами сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода, равна см. Определить длину волны перехода между компонентами сверхтонкой структуры атома дейтерия , если известно спин протона , спин дейтрона , а гиромагнитные отношения для протона и нейтрона равны , соответственно.

Электромагнитные переходы

1. В дипольном приближении определить вероятности спонтанных переходов между стационарными состояниями частицы с зарядом в гармоническом потенциале.

2. В дипольном приближении определить вероятности спонтанных переходов между различными стационарными состояниями электрона в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

3. Показать, что в дипольном приближении для бесспиновой частицы в центрально – симметричном поле справедливы следующие правила отбора по магнитному квантовому числу .

4. Определить зависимость вероятности спонтанного перехода в водородоподобном ионе от заряда ядра .

5. Показать, что в атоме гелия электро-дипольные переходы между синглетными и триплетными термами запрещены (запрет интеркобинаций).

Многоэлектронные атомы

7.1. В изоэлектронной последовательности гелиеподобных ионов ( ) определить заряд ядра , при котором нормальная связь сменяется связью.

1. Воспользовавшись теорией возмущений, в рамках приближения связи определить энергию основного состояния атома гелия и гелиеподобных ионов.

2. В рамках теории возмущений оценить потенциалы ионизации атома He и гелиеподобного иона урана .

3. В приближении самосогласованного поля Хартри каждый из электронов в атоме движется в электростатическом поле, создаваемом ядром с зарядом и совокупностью электронов. Считая, что плотность заряда, создаваемая в пространстве электроном есть , получить уравнение для волновой функции, описывающей состояние электрона в основном состоянии атома гелия.

4. Найти энергию и волновую функцию основного состояния системы из двух связанных линейных осцилляторов, описываемую гамильтонианом , в приближении самосогласованного поля Хартри. Результат сравнить с точным решением (см. задачу 3.23).

5. Определить возможные термы и состояния, принадлежащие электронным конфигурациям и , в приближении и связей.

6. В конфигурации из двух неэквивалентных невзаимодействующих электронов построить пространственные волновые функции, принадлежащие термам и . Как изменится решение задачи, если электроны являются эквивалентными (конфигурация )?

7. В рамках квантовомеханической теории возмущений, считая межэлектронное взаимодействие слабым, показать, что в конфигурации триплетный терм является основным.

8. В приближении связи определить термы, принадлежащие конфигурации .

9. Два невзаимодействующих электрона находятся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме в состояниях и . Определить среднее расстояние между ними в случае, если полный спин системы и . Найти для этих случаев пространственное распределение плотности электрического заряда.

10. Сверхтонкая структура основного состояния атома, имеющего конфигурацию , состоит из трех компонент. Определить спин ядра.

11. Спин ядра атома равен . Определить количество компонент сверхтонкой структуры в основном состоянии.

12. Пучок невозбужденных атомов , движущихся в направлении оси , пролетает через последовательность трех приборов Штерна – Герлаха, градиент магнитного поля в которых направлен

а) вдоль z, вдоль y, вдоль z;

Характеристики

Список файлов книги