И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации (1121207), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Вещественно-значная функция г (г) (г: В' - Й') называется равномерно выпуклой (соответственно, вогнутой) на выпуклом множестве Я, если существует неубывающая функция ро (1) ) 0 (соответственно, р, (1) ) 0), определенная на (О, +оо) и такая, что для всех г, г Е 1г, выполняется неравенство Г ~ ) ( — Г (г) + — г (г) — 1»» ( [ г — г [ ), (соответственно, ~ +, )) —, ()+ —, ()+р ([[ — Й)) Библпоерофивеские указание.
При ваппсавни параграфа использовались ра* боты [561, 5271. 6.11. Задачи оптималъного управления и оценивании. Методы развязывающих операторов 3 а д а ч а 1. Найти такое управление и ь» (из, им ..., ин) Е Е О ~ О, х Оз х ...х Оч для управляемой системы А,(х„х» ь ..., х„и», и» ь ..., и„г) = О, (е.го1 х(~(хы х„..., хн), х»ЕХ», и»ЕУ», й = 1, 2, ..., У, с наблюдениями г1'.ь(гы г„..., гн)ЕЯ, Яс»Я» Х Е х ° .
х Ян, г» = С,(х», х»' ы ..., х„и,, и» ь ..., и,), г»ЕЕ». которое обеспечит максимальное на О значение В (х, и, г) (в других постановках задачи требуется выбором и обеспечить включение В (х, и, г) Е 6 (и, г) для заданного множества 6 (и, г)) для заданной целевойфункции В и заданных О, А»з (Аы ..., Ан), С = (Сы ...,Сн).
Предполагаем, что Х», У», 2» являются линейными (конечномер- ными) пространствами. Методы развязывающих операторов основаны на использовании решения функционального уравнения [22 — 26[ %(и, г, А(х, и, г), С(х, и)) В(х, и, г), (в.г1> определяющего функцию Йлзсо (раэвпзавающий оператор), о»ласо(и, г)~13(и, г, О, г). 471 которое доставляет максимальное на заданном множестве 0 значение для функции В(х, и)»» ~; (со х,) +)н+! (и) !=! при заданных матрицах А»,!, векторах с; и функциях 7». Алеоритм2. Вычислить решение (ун, ун — ! " У») (а У (А с) системы с»+ ~;А!»»у»=О, й=й(, У вЂ” 1, ..., 1, /» и затем вычислить управление и (у (А, с)), и(у(А, с))7'.»агйтахР(и, у(А, с)), »со (в.гг) где Е(и, У)~ ~;(У„1!(и))+1н+!(и).
Теорема 2. Если у (А, с) — единственное решение системы (6.22) и 'ч' и ~ 1л Х (и) Ф !о„ то В(Х(и), и) = Р(и, у(А, с)) 472 Если, как это бывает в реальных задачах, некоторая часть и»а управления и» !."! (и», и») (и ~ (и', и'))' является значением опре- деленной функции (), т. е. и» = У (х, и, г), то уравнение (6.21) принимает вид (26) Й(и', У(х, и, г), г, А(х, и, г), С(х, и)) = В(х, и, г). В ряде адаптивных алгоритмов оптимизации функцию Йлвсо аппроксимируют по ее вычисляемым илп экспериментально опре- деляемым на некоторой выбираемой последовательности (и'„г'), ... ..., (и', г~), ...
значениям В (Х (и', г'), и', г»), ..., В (Х (и~, г'), и', г') (Х (и', г~) — множество решений системы (6.20) при и = и!, г = =Ь Алгоритм 1 решения задачи 1 с помощью функции Йлвсо осно- ван на теореме 1. Теорема 1. Если ч' и Р Р, гб 2, Х (и, г) ~ 8 и уравнение (б.21) имеет единственное решение, то решение и (г) задачи пара- метрической оптимизации и (г) Ь аги ппп Йлвср (и, г) является иско»со мым решением задачи 1.
Приведем примеры эффективного вычисления функции Йлвсо. 3 а д а ч а 2. Найти управление и Е 0 для системы А»,»х»+ А»,» !х» ! + ° + А»лх, + ~» (и) = О, й=1, 2, ..., !ч', и управление и (у (А, с)) являепсся искомым решением задачи 2. Следствие 1. Если Р = Р, х Р, х . х Рн, /с(и) = — /с(ис) Ь+э(и) = — 2~/'с(ис) исЕРс то управление ис(у(А, с)) ~агдпэах [(у(А, с), /с(ис))+ /с(ис)) «сео» является решением задачи 2. Теорема Я. Если Рс(ис) =В/и/+сХ/. Рс(ис) =(Ис ис) Р, =- (ис)(ис(„с/э~а/) (ч(с)Е(1, 2, 3), (и1»~псах!(и)/(, / '1и~ Ь 2 '1(и)/(, (и(«~Д„(иф~н», с ~ / (и)/ — /'-я компонента вектора и), то управление с/с (у(А, с)) ~э з(В/'ус (А с) + Ис с"с э»(с)) является в условиях /пеоремы 2 решением'задачи 2, где (з(а, а, 1)); = аз(дп(а)„з(а, а, 3) = аа/(а(з, (з(а, а, 2)), = = а'(а) з(уп(а)„а» (а) — решение а' системы ас)О, ~,а»=а, »ч'с Я3/с."»Агдпэах((и)с( а'=О.
(звз) с Теорелш 4. Если векторы и', ..., им и а', ..., ам образо- ваны из компонент (иь)/ и (Вьу«(А, с)+И«)/ таким образом, что (и', ..., им) = и, множества Р, определяются для с Е 0/, неравенствами (й Цсэмсэ с-, ас, т. е ((и'1/«оп/ах /(Й)/(и)/((а„(И)с ) О, / (ис(г«~1 Е !(И)с(ис)/((а„(и/зэк~(Ки', и)/*(а„ / К вЂ” положительно определенная матрица, 1ис(с»+~э«Ь Д, '(И) ((ис)/( )'/~~~ан р'= О, р~1, ~ / а для с Е В/ь — неравенствами (й — '1)ь, ( а„ еде (ис $ф, ~ь т(па ~ а-эис Е Фс» ос 0 о« вЂ” — (1, ..., М)» 473 Ф, — выпуклые множества, м р(щ у(А, с)) = ~; (а', ис), то в условиях теоремы 2 решение ич задачи 2 следующее.' для 1Е Ос и' = зг(а', а„ч(с), Й(с)), еде (з(а, а, 1, Ь)), = сс/(й)сз1йп(а)п з(а, сс, 3, К) = ссК ~а)а!Д~ с, (з(а, а, 2, й))/ = а/(а) з(цп(а)р ас (а) — решение (6.23) при О = Ага снах ~ (а)//(н)7 ~, 7 (з(а, а, 1+ р, й))/ сс(у) !)д)~~с+мгз1йп(а)р (у) ийа)/я/'1пс "ъ для с' с Рг и" = з„(а', а„Ф„ои) алсос+ сссифе иф,ЕАгйгпах(ас, и).
гас С л е д с т в и е 2. В условиях теоремы 3 максимальное значение целевой функции м В(х(и'), иг) = Г(и ) = ~, асф(а„ч(с)), с=! где ср(а, 1) =1а(г, ср(а, 2) =1а!Цг, ср(а, 3) =1а(, с, а в услоьиях теоремы 4 В(Х(иг), иг) = ~аСфг(ас, т(/))+ Ч~~ (аС, аС), с /еу где для сЕОг фг(а, 1)=)а(г„п «рг(а, 2)=)а1сг и ф„(а, 3) =(а~ к ь фг(а, 1+ р) = (с/Ц+ ф~с/$,+ р„Я< К~(я)//с~ ", адля гсвг фг(ас, т(с)) ~(а', иаэс).
3 з да ч а 3. Найти то управление и = (и', ..., ам) (в обозна- чениях теорем 3, 4), которое обеспечит выполнение цели (равенства) В (х (и), и) = Ь, Ь с Вс, при минимальном расходе «энергии» е(и) 1ь ~' ()с1ис~ согш+ ~', 1)с1и' — в'(эс ~еуг 474 Алгоритм Я. 1. Вычисляем у (А, с) (решение системы (6.22)) и затем векторы а', а', ..., а П. Вычисляем множество (з — ~ (о!, ы))5! Ск~ ЧЪг(о! ч(!)) О~Агй ш!п с-!л, ...м П1. Вычисляем и' = зг(а!, сс„т(!), Ь(!)), где !х! — любые числа, удовлетворяющие условиям сс!) О, Ч ! (с О а! = О, а для задачи 8 Ь вЂ” ~~ ~(а!, в!) В(х(и*), иг) = ппп !еу ч!л(в' тВ)) дс(г — ~ (а!, а!)) !яв 2, ~дг! = ш!и ! !г и ч!~(в! ч(0) 3 а д а ча 4. Отличается от задачи 3 наличием дополнительных ограничений ((його! гб~~'!!и! — о!!)ф, юб3(г)ЕЯс=В .
(вяз) Алгоритм 4. Отличается от алгоритма 3 вычислением а = (а„... ..., ссм) на шаге П1 по формуле м а = ага ппп ~ р!а!. 5ео =! 3 а д а ч а 6. Частный случай задачи 4 для ЯЬ(и$(и!И„рг(оя у„(и! — а!)ф,(у!, гЕ3г). Алгоритм 5. Отличается от алгоритма 3 тем, что на шаге П1 вводим дополнительное ограничение и, я у,. Если таких сс, не найдется, то полагаем а! = у„ !' с О, заменяем число Ь числом Ь— — Х 6!у„удаляем из имеющегося множества индексов ! множест®у во Р, определенное формулой (6.24), и возвращаемся на шаг П. Теорема 5.
Если выполнены условия теоремы 2, то управления, вычисленные с помощью алгоритмов 3, 4, 5, являются решениями соответственно задач 5, 4, 5, При этом В(х(и*), и") = ~„' 6лг!ч !'=! Задача 6. Найти и'= агяш(пЕ(и), иЯО где Е(и)к! ~„'()!~$и!!~!с1МО+ ~ ()!1и! — ы!11ф !6Я, !В,я, при ограничениях (6.25) и связях и В,(х(и), и)Е~ (~ ((с„, х;)+(йи, и,)1 = Ь„в = 1, ..., Я.
(вгв) / 1 Алгоритм б. 1. Выбрать вектор о = (о„1~, ..., оз) и вычислить с,=~;о,с!!, Ь!= ~,о,йш 5=! Ь= Хо,Ь,. ю ! 11. Найти (с помощью алгоритма 3) решение и,(у(А, с)) задачи 3 и определить функцию Е(и, (у(А, с))). 111. Найти множество У решений о' = (о!, ..., оз), о' = ага !пах Е (и, (у (А, с))). (в г7) 1Ч.
Вычислить управление ич = и, (у (А, с)), удовлетворяющее равенствам (6.26) при о Е У. Теорема б. Если выполнены условия теоремы 2 и множества Ф, выпуклы, то управление, вычисленное с помощью алгоритма б, является решением задачи б. Замечание. Для ря4а практически важных случаев задача (6.27) разрешается аналитически и ее решение о* находится в явном виде. 3 а д а ч а 7. Найти управление и = и ((, й, с) системой Ах+ Ви+( = О, (в.гв) минимизирующее функцию В(х, и) =(С,х, х)+ (Ри, х) — — (Ки, и)+(с, х)+ (й, и).
(в гв) 1 Алгоритм 7. 1. Вычисляем обратную матрицу и 1 А+ ВК 'Р' ВК 'Вв ' (А!! А!!!) С+С*+РК-'Р* РК-'В*+Ач — ~Аг! Аг ! (Аи, ! = 1, 2; 1 = 1, 2 — квадратные матрицы) и полагаем Х( ЬАиь Х 1~А„ВК '+ А„РК ', Х,ЬАиь У~~К 'Р*А„+К 'В*А„, Уь 1'.) К 'Р* (А,1ВК ' + А„РК ') + К ' В' (А„ВК ' + А„РК '), У,~К '(Е+ РчА!а+ В'А„). 476 11. Вычисляем управление иа й, с) = Н+((,й+ и.. Н1. Вычисляем «траекторию» хД, й, с) = Ху+Хья+Х,с. 117.
Вычисляем (6.3() (6.32) В (х Д, Й, с), и Д, й, с)) = В й , Й , (6 33) В(х(и«), и«) = В й, й (6.34) 3 а д а ч а 8 (задача минимаксной оптимизации). Найти управление Д«, я«, с*) = агн шах ппп В (х (и), и) для задан- 6,«,«)ЕФ « ной целевой функции (6.29), системы (6.28) и заданного множества Ф. Алгоритм 8. 1. С помощью алгоритма 7 вычисляем матрицу В. Н. Вычисляем искомые Д*, й«, с') по формуле Д«, й*, с') = агй шах В й, й, (6.33) используя для этой цели соответствующие алгоритмы, описанные выше для разных классов множеств Ф и разных способов их задания. 3 а д а ч а 9 (задача оптимального оценивания).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
