Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа курса «Теория вероятностей»

Лектор — профессор Л. Г. Афанасьева

(2 курс, 4 семестр, 2000/01 уч. г.)

Вводная часть

1. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента. Статистическая устойчивость.

2. Дискретное вероятностное пространство. Классическая вероятность. Вероятность суммы событий.
   ([2, гл.1, §1,2], [4, гл.1, §1,2], [5, л.1], [8, №29-47], [9, гл.1, §2]).

3. Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса.
   ([1, гл.1, §7], [2, гл.1, §3], [4, гл.2, §3], [7, гл.5, §1,2,3], [8, №71,74-81], [9, гл.1, §4]).

Математические основания теории вероятностей

1. Вероятностная модель эксперимента с произвольным множеством исходов. Операции над событиями. Алгебры и σ-алгебры.
   ([2, гл.2, §1,2], [8, №1-10]).

2. σ-алгебра борелевских множеств Rⁿ. Измеримые пространства.
   ([2, гл.2, §2], [9, №2.9-2.23]).

3. Вероятность (аксиомы и основные свойства). Эквивалентность аксиомы счетной аддитивности и непрерывности.
   ([1, гл.1, §6], [4, гл.2, §2], [9, №2.26-2.39]).

4. Функции распределения меры на σ-алгебре борелевских множеств Rⁿ(B(Rⁿ)). Её свойства.
   ([2, гл.2, §3], [1, гл.4, §20], [2, гл.2, §3, №1,4,5-9]).

5. Взаимно однозначное соответствие между вероятностными мерами на B(Rⁿ) и их функциями распределения.
   ([2, гл.2, §3], [4, гл.3, §2,3]).

6. Дискретные и непрерывные распределения на B(Rⁿ). Примеры распределений: Бернулли, Пуассона, равномерное, показательное, одномерное нормальное, Коши.
   ([2, гл.2, §3]). Задача: привести пример сингулярного распределения.

7. Случайные величины и векторы. Понятие о случайном элементе, σ-алгебра, порожденная случайной величиной (вектором). Распределение и функция распределения случайной величины (вектора). Непрерывные и дискретные случайные величины (векторы).
   ([1, гл.3, §1], [2, гл.2, §4,5], [9, №2.40-2.54]).

8. Интеграл Лебега. Определение и основные свойства (без доказательств).
   ([2, гл.2, §6], [4, гл.4, §1]).

9. Математическое ожидание. Основные свойства. Вычисление м.о. функции от случайных величин. ([2, гл.2, §6], [4, гл.4, §1]).
   М.о. распределений: Пуассона, Бернулли, равномерного, нормального.
   ([9, гл.3, №3.61-3.67, 3.70-3.72,3.76-3.82]).

Независимость

1. Независимость событий, классов событии, σ-алгебр, случайных величин (векторов).
   ([4, гл.3, §4], [5, л.4], [9,2.63-2.66, 2.77-2.81, 2.96]).

2. Произведение вероятностных пространств. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.
   ([5, л.2], [7, гл.5, §4; гл.6, §1,2,3], [8, №93-99,102-108]).

3. Функции от случайных величин (векторов). Распределение суммы двух случайных величин, имеющих совместную плотность. Распределение суммы двух независимых случайных величин. ([1, гл.4, §21; 3, гл.3], [8, №190-199,201,203,204]).
   Задачи: Распределение суммы двух независимых случайных величин, имеющих распределение: а) Бернулли; б) Пуассона; в) Коши; г) нормальное. (В пунктах а) и б) используются производящие функции, в в) и г) — преобразование Фурье).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин.
   ([4, гл.4, §3],[1, гл.5, §25]).

5. Моменты высших порядков. Дисперсия. Ковариация. Ковариационная матрица случайного вектора. ([1, гл.5,25,26], [9, гл.3, №3.83-3.89]).
   Дисперсия распределении: биномиального, гипергеометрического и др.

6. Многомерное нормальное распределение. Ковариационная матрица. Преобразование Фурье от плотности.
   ([4, гл.7, §6], [1, гл.4, §20], [8, №394], [9, №3.304,3.305,3.306,3.308, 3.310,3.312]).

Предельные теоремы

1. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин. Сходимость по вероятности, почти наверное, в среднем порядка p. Критерий сходимости с вероятностью единица.
   ([2, гл.2, §10], [9, гл.5,5.1-5.13,5.18, 5.62-5.72]).

2. Слабая сходимость вероятностных мер и сходимость в основном. Их эквивалентность.
   ([2, гл.3, §2], [9, гл.5]).

3. Соотношения между различными видами сходимости.
   ([2, гл.2, §10], [9, гл.5]).

4. Теорема Пуассона. Теорема Бернулли.
   ([7, гл.6, §5,6], [1, гл.2, §13], [8, №227,229,234,235]).

5. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
   ([1, гл.6, §10,11,12], [8, гл.4, §1]).

6. Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных случайных векторов. Как следствия одномерный случай, интегральная теорема Муавра-Лапласа, и ЦПТ для полиномиальной схемы.
   ([2, гл.3, §3], [4, гл.8, §7], [9, гл.6, §4], [8, гл.4, §3]).

7. Характеристическая функция. Определение и основные свойства.
   ([4, гл.7, §1,6], [9, гл.4, №4.13-4.26,4.53,4.59 и задачи из §3]).

8. Характеристическая функция нормального распределения (одномерная и многомерная). Вычисление характеристических функции для распределений: Бернулли, биномиального, равномерного, геометрического, Коши, Γ-распределения и др.

9. Формула обращения для характеристических функций. Теорема единственности.
   ([4, гл.6, §2]).

10. Прямая и обратная предельные теоремы.
    ([2, гл.3, §3], [4, гл.6, §3], [1, гл.7, §34], [8, №299-301 и др.]).

11. Доказательство ЦПТ для независимых одинаково распределенных случайных векторов. ([2, гл.3, §3, теор.3, задача 5], [2, гл.3, §4], [9, гл.6, §4, №6.79,6.84, 6.88,6.93]). Получить теорему Ляпунова.

12. Неравенства Чебышева и Колмогорова ([4, гл.4, §7]).

13. Закон больших чисел в форме Чебышева. Теоремы Хинчина и Маркова.
    ([1, гл.6, §28]).

14. Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова для последовательности независимых случайных величин с конечными вторыми моментами.
    ([2, гл.4, §3, теорема 2], [9, гл.6, §3]).

15. Определение цепи Маркова и основные свойства. Вероятности P_ij(n) перехода за n шагов. ([2, гл.8, §1,2]).

16. Эргодическая теорема для цепей Маркова с конечным множеством состояний.
    ([2, гл.8, §3]).

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука,1988.

2. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

3. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Изд-во МГУ, 1992.

4. Боровков А. А. Теория вероятностей, М.: Наука, 1986.

5. Синай Я.Г. Курс теории вероятностей. Изд-во МГУ,1985, ч.1.

6. Синай Я.Г, Курс теории вероятностей. Изд-во МГУ,1985, ч.2.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.

8. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей, МГУ, 1963.

9. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986.

Mexmat.Net :: www.mexmat.net

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)