А.С. Холево - Курс лекций по теории вероятностей (1120061), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , Xn — случайные величины. Мы доказывали, что если B ∈ B(Rn ), то ω : X1 (ω), . . . , Xn (ω) ∈ B ∈ A. Более того, если рассмотреть все B ∈ B, тосовокупность всех прообразов образуют σ-алгебру, поскольку полный прообраз уважает необходимые теоретикомножественные операции. Эта σ-алгебра называется порождённой X1 , . .
. , Xn и обозначается A(X1 , . . . , Xn ),кроме того, ясно, что она содержится в A.Рассмотрим бесконечную последовательность {Xn }. Рассмотрим A(Xn+1 , . . . , Xm ) и зафиксируем n. Рас∞Sсмотрим An :=A(Xn+1 , . . . , Xm ). Очевидно, что это алгебра, но не σ-алгебра, так что её надо расширить:m=n+1возьмём A(Xn+1 , . . .
) := σ(An ). Теперь пересечём их всех, и получим искомую σ-алгебру остаточных собы∞Tтий: A∞ =A(Xn+1 , . . . ). Ясно, что при пересечении ничего не испортится. Каждое из событий A ∈ A∞n=0называется остаточным, или хвостовым.Определение. Пусть дана последовательность случайных величин {Xi }. Они называются независимыми,если ∀ n имеем X1 , . . . , Xn независимы.Определение. Назовём σ-алгебры A1 и A2 независимыми, если ∀ A1 ∈ A1 , ∀ A2 ∈ A2 имеем P(A1 A2 ) =P(A1 )P(A2 ).Теорема 4.8 (Закон «0 или 1» Колмогорова).
Пусть X1 , . . . — последовательность случайных величин,а A∞ — порождённая ею σ-алгебра остаточных событий. Пусть A ∈ A∞ , тогда либо P(A) = 0, либо P(A) = 1. Пусть A ∈ A∞ , тогда A ∈ A(Xn+1 , . . . ) для всякого n ∈ N0 . Фиксируем n и пусть A1 ∈ A(X1 , . . . , Xn ).Имеем A(X1 , . . . , Xn ) и A(Xn+1 , . . . ) — независимые σ-алгебры, поскольку они порождены независимыми случайными величинами. Теперь рассмотрим все n, тогда получим, что A не зависит от любого A1 ∈ A(X1 , .
. . )(теорема о единственном продолжении меры с сохранением σ-аддитивности), поэтому, в частности, A не зависит от самого себя, ибо A∞ ⊂ A(X1 , . . . ). Это означает, что (положим в формуле A1 := A) P(AA) = P(A)P(A),откуда следует утверждение теоремы. 4.5. Усиленный закон больших чиселPОпределение.
Сходимость по вероятностной мере: Xn −→ X, если ∀ C > 0 имеем P {ω : |Xn − X| > C} → 0.Определение. Сходимость распределений: Fn ⇒ F , т. е. ∀ x ∈ C(F ) имеем Fn (x) → F (x).Лемма 4.9. Сходимость по вероятности влечёт слабую сходимость. Имеем Fn (x) = P {Xn < x} = P {Xn < x, |X − Xn | < ε} + P {Xn < x, |Xn − X| > ε} 6 P {Xn < x + ε} ++P {|X − Xn | > ε} = F (x+ε)+P {|X − Xn | > ε}.
Аналогично Fn (x) = P {Xn < x} > P {Xn < x, |X − Xn | < ε} >28P {X < x − ε}−P {|Xn − X| > ε} = F (x−ε)−P {|Xn − X| > ε}. Если x — точка непрерывности F , то Fn (x) никудана денется. Определение. Сходимость почти всюду по вероятностной мере называется сходимостью почти наверное.Лемма 4.10.
Из сходимости почти всюду вытекает сходимость по вероятности. Обратное неверно.T Пусть Xn → X почти всюду. Фиксируем C > 0. Рассмотрим An :={|Xk − X| < C}. Тогда An ⊂k>nS⊂ An+1 ⊂ . . . , и Ω = An с точностью до множества меры 0, поэтому PAn → 1, откуда P(Ω r An ) → 0, но этои означает сходимость по мере. Теорема 4.11 (Лемма Бореля – Кантелли). Пусть {An } — последовательность событий в (Ω, A, P).∞ S∞TРассмотрим B =An .
Тогда:k=1 n=kP1◦ . ЕслиP(An ) сходится, тоP P(B) = 0.2◦ . Если {An } независимы иP(An ) расходится, то P(B) = 1. Событие B содержит то, что происходит бесконечно много раз. Дополнение к B содержит то, что происходит лишь конечное число раз. Для доказательства первого утверждения достаточно заметить, что P(B) 6∞∞∞∞SSTPAn =An ⊂6 PAn 6P(An ) → 0. Отсюда P(B) = 0. Докажем второе утверждение. Имеемn=kn=kn=kn=kK∞KKKTS TQPAn 6 PAn . Отсюда PAn = независимость =P An 6 exp −P(An ) , ибо 1 − x 6 e−xn=kn=kn=kn=kn=kпри x > 0. Устремим K к бесконечности, получим в пределе 0 в силу расходимости ряда.
Далее остаётся воспользоваться счётной аддитивностью меры: объединение множеств меры нуль есть множество меры нуль. Итак,дополнение имеет меру нуль, откуда следует наше утверждение. Определение. Индикатор (характеристическая функция) события A ∈ A — функция IA : Ω → R, равнаяединице на ω ∈ A и нулю на ω ∈/ A.Лемма 4.12 (Неравенство Колмогорова).
Пустьслучайныевеличины, для X1 , . . . , Xn — независимыеP 2σi . Физический смыслкоторых MXi = 0, а DXi = σi2 . Тогда ∀ a > 0 имеем P max |X1 + . . . + Xi | > a 6 a12i6nлеммы: оценка вероятности того, что кривая случайного блуждания суммы Xi зашкалит за уровень a. Введём Si := X1 + . . . + Xi . Рассмотрим искомое событие A = ω : max |Si | > a и разобьём его на куски:i6nAj := {ω : ∀ i < j |Si | < a, |Sj | > a}, т. е. это события, отвечающие за то, что зашкал произошёл именно на j-мnPшаге.
Тогда IA =IAj , кроме того, в силу независимости и того, что MXi = 0, имеемj=1M(X1 + . . . + Xn )2 = MX12 + . . . + MXn2 ,откудаXσi2 = MSn2 > MSn2 · IA =XXMSn2 · IAj =M(Sn − Sj + Sj )2 · IAj =X=M(Sn − Sj )2 · IAj + 2M(Sn − Sj )Sj · IAj + MSj2 · IAj = (∗). (6)Второе слагаемое здесь равно нулю, ибо первый множитель выражается через Xj+1 , . . . , Xn , а второй P— черезX1 , .
. . , Xj . Первое слагаемое мы отбросим совсем, поскольку оно неотрицательно. Продолжаем: (∗) >MSj2 ·PP2222IAj > Ma · IAj = a M IAj = a MIA = a P(A), что и требовалось доказать. P 2PСледствие 4.1. В условиях неравенства Колмогорова и сходимостиσi имеемXi сходится п. н. Проверим выполнение критерия Коши почти всюду: SN +i − SN = XN +1 + . . . + XN +i .
РассмотримnP2ε > 0, тогда P max |SN +i − SN | > ε 6 ε12σN+j . Переходя к пределу при n → ∞, получаем оценку видаi6n61ε2∞Pj=N +1σj2 ,j=1а подходящим выбором N эту величину можно сделать сколь угодно маленькой. Отсюда всёследует, поскольку объединение множеств меры нуль есть множество меры нуль. nP aiP1Лемма 4.13. Из сходимости рядаai → 0.i следует ni=1Рассмотрим bi :=aiiи переформулируем: из сходимостиPbi следует1nnPi=1ibi → 0. Положим Sn := b1 ++ . . . + bn , тогда Sn равномерно ограничены некоторым числом B. Положим S0 = 0.
Очевидно, что291nnPi=1ibi =(Sn − S0 ) + (Sn − S1 ) + . . . + (Sn − Sn−1 ) . В силу критерия Коши имеем ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > m > N имеемnP|Sn − Sm | 6 ε. Тогда при n > N получаем n1 ibi 6 n1 2BN + (n − N )ε = 2BN n1 + n−Nn ε. Теперь всё доказано,1ni=1так как подходящим выбором n и ε можно сделать это число сколь угодно малым. Теорема 4.14 (ЗБЧ 2.0β). Пусть X1 , .
. . , Xn — независимые случайные величины, mi = MXi , а σi2 = DXi .nP σi21 PПусть сходится(Xi − mi ) = 0 почти всюду.i2 , тогда lim nnXi −mi,iРассмотримi=1iiтогда M Xi −m= 0, а D Xi −m=iiσi2i2 .В силу следствия,nPi=1всюду. Осталось применить лемму 4.13. Xi −miiсходится почтиЛемма 4.15. Пусть M|X| < ∞, тогдаX 1MX 2 · I{|X|<n} < ∞.n2P Положим An = {n − 1 6 |X| < n}, тогда M|X| =M|X| · IAn . Обозначим bn = M|X| · IAn , откудаnnnn∞PPPP1 P22kbk . Осталось доказать сходимость рядаkbk =MX · I{|X|<n} =MX · IAk 6kM|X| · IAk =n2∞Pkbkk=1∞Pn=kинтеграла:k=11n2=∞Pk=n2b1 · π6 +1n26∞P1k−1 ,Pсходится, посколькуkbkk=2∞Pn=kn=1k=1k=11n2 .k=1Используем оценку для величины остатка гармонического ряда с помощьюпоэтому второе слагаемое оценивается так:∞Pkbkk=2bk сходится. ∞Pn=k1n26∞Pk=2kk−1 bk ,а последний рядТеорема 4.16 (УЗБЧ).
Пусть X1 , . . . , Xn — независимые одинаково распределённые случайные величины.nPXi = m почти всюду равносильно MXi = m, при условии M|Xi | < ∞.Тогда lim n1ni=1 Достаточность. Переходя к Xn′ = Xn − m, мы всё сведём к рассмотрению величин с нулевым M. ПустьX имеет то же распределение, что и Xi , причём MX = 0. Рассмотрим Xn = Yn + Zn , где Yn = Xn · I{|Xn |<n} ,т.
е. срезки. ТогдаXXXP {Zn 6= 0} =P {|Xn | > n} =nP {n 6 |Xn | < n + 1} 6noX X6M |Xn | · I{n6|X|<n+1} = M |X| ·I{n6|X|<n+1} = M|X| < ∞. (7)Осталось шарахнуть леммой Бореля – Кантелли.1 PОбозначим Mi := MYi , и всё сведено к доказательству сходимостиYi → 0 почти наверное.
ИмеемnMYn = MXn · I{|Xn |<n} , поэтому, раз MX = 0, а M|X| < ∞, то M Xn · I{|Xn |<n} = MX · I{|X|<n} → MX = 0по теореме о мажорируемой сходимости, ибо срезки |X| сходятся к |X| почти всюду. Из анализа известно, чтоn2Pесли mi → 0, то и n1mi → 0, поэтому DYn = MYn2 − MYn 6 MYn2 = MXn2 · I{|Xn |<n} = MX 2 · I{|X|<n} . Полемме 4.15 получаемi=1∞∞XXDYn16MX 2 · I{|X|<n} < ∞,22nnn=1n=1поэтому применима теорема 4.14, по которой1nНеобходимость. ИмеемnPi=1(Yi − mi ) → 0 почти всюду, что и требовалось доказать.nn−1xn1Xn−11 X=Xi −·Xi → m − 1 · m = 0nn i=1nn − 1 i=1по условию теоремы.
С вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий An =PPсилу ЛБК и одинаковой распределённости имеемP(An ) = P {|X| > n} < ∞.Далее, легко видеть, что∞Xn=1P {|X| > n} =∞Xn=1nP {n 6 |X| < n + 1} =>∞Xn=0∞Xn=0(n + 1)P {n 6 |X| < n + 1} −M |X| · I{n6|X|<n+1} − 1 = M|X|30∞Xn=0∞Xn=0n|Xn |no> 1 , поэтому вP {n 6 |X| < n + 1} >I{n6|X|<n+1} − 1 = M|X| − 1,поэтому существует последнее в цепочке математическое ожидание. Теперь можно воспользоваться достаточностью УЗБЧ, откуда следует утверждение теоремы. 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
