А.С. Холево - Курс лекций по теории вероятностей (1120061)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории вероятностейЛектор — Холево Александр СеменовичII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.2.3.4.Основные понятия1.1. Элементарные понятия теории вероятностей . . . . . . . . . . . .

. . . .1.1.1. События и их вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Примеры вероятностных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Комбинаторные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4. Опыт с непрерывным пространством элементарных событий . .1.2. Строгое определение вероятности. Аксиоматика Колмогорова .

. . . .1.2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Вероятностное пространство и аксиомы Колмогорова . . . . . . .1.2.3. Теорема равносильности систем аксиом . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса1.3.1. Условная вероятность . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Независимость. Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Простейшие предельные теоремы . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.5.1. Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2. Теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................4444455567778889910Случайные величины. Функции распределения2.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.1.1. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Семейства случайных величин. Независимость . . . . . .2.2.1. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Независимость случайных величин . . . . . . . . .2.3. Математическое ожидание случайных величин . . . . . .2.3.1. Интеграл Лебега по вероятностной мере . . . . . .2.3.2. Свойства математического ожидания . . . . . . . .2.4. Дисперсия.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел2.4.1. Дисперсия и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. ЗБЧ (Закон больших чисел) . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Применение в статистике . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................101010111313141515161919192021Характеристические функции3.1. Определения и примеры .

. . . . . . . . . . . .3.2. Свойства характеристических функций . . . .3.3. Теорема Лебега и ее трагические последствия3.4. Формула обращения . . . . . . . . . . . . . . .Наиболее суровые вопросы теории4.1. Теоремы Хелли . . . . . . . . . . . .4.2. Предельные теоремы . . .

. . . . . .4.3. Теорема Ляпунова . . . . . . . . . .4.4. Закон 0 и 1 Колмогорова . . . . . .4.5. Усиленный закон больших чисел . .............................................................................................................2121232324вероятностей. . . . . . . . . .. .

. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ...................................................................................................................................2626272828282............ВведениеПредисловиеТекст набирался в различное время тремя наборщиками: Д. Колосовым, Д. Мануйловым и С. Кузнецовым.Потом он был существенно отредактирован DMVN Corporation.Большая просьба к читателям сообщать об ошибках и опечатках авторам.На данном этапе возможны «дыры» в материале курса, которые образовались из-за слияния работы трёхнаборщиков. Отнеситесь синсходительно и лучше чётко скажите, чего не хватает, иже такое заметите.Раздел «Суровые вопросы» пока остаётся таким, как был. Он немного перевёрстан, часть формул сделанавыключными, чтобы было легче читать и сложнее списывать :) .В этой редакции исправлена огромная куча опечаток, замеченных при подготовке одним из студентов, коемубольшое спасибо (фамилия выясняется).Последняя компиляция: 11 июня 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.31.

Основные понятия1.1. Элементарные понятия теории вероятностей1.1.1. События и их вероятностиОпределение. Детерминированное явление A (событие) — это событие, которое всегда выполняется.Определение. Недетерминированные события — случайные события, такие события и будут нас интересовать.Рассмотрим n повторений опыта, в котором может произойти событие A. Пусть n(A) — количество техопытов, где A выполнилось, тогда частота события A: ν(A) = n(A)n .Замечание.

Замечено, что ν(A) сгущаются вокруг некоторого конечного значения p(A).Пример 1.1. Бросание монет. Под событием в данном случае можно понимать выпадание решки.nn(a)ν(A)404020480.508В данном случае p(A) = 21 .24000 12012 0.5005Вероятность события A — теоретическое модельное значение, к которому приближается ν(A) при бесконечнобольшом n.Свойства частот:1.

νn (A) > 0;2. νn (Ω) = 1, где Ω — детерминированное событие;3. νn (A ∪ B) = νn (A) + νn (B), если A ∩ B = ∅.1.1.2. Примеры вероятностных моделейПример 1.2. Опыт с конечным числом равновероятных событий. Пустьω1 , ω2 , . . . , ωn — элементарные события, и в опыте может произойти одно и толькоодно из них, тогда Ω = {ω1 , . . . , ωn } — пространство элементарных событий, иливероятностное пространство.Будем бросать монету (наше вероятностное пространство будет иметь всегоРис.

1два элемента) и рассматривать кривую случайного блуждания — график, которыйподнимается на 1 вверх, если выпадает орёл, и опускается на 1 вниз, если выпадает решка. Пример такогографика изображён на рис. 1.Пример 1.3. При игре в рулетку Ω = {0, 1, . . . , 36}.Определение. A называется событием, если A ⊂ Ω, в частности, элементарное событие — это событие.Определение. Событие A ⊂ Ω, Ω = {ω1 , .

. . , ωn } осуществимо ⇔ осуществимо одно из элементарныхсобытий, составляющих A.Определение. Достоверное событие — Ω. Невозможное событие — ∅ (событие, которое не может произойти).Вероятность события A в опыте с равновероятными исходами определяется по формуле P =Пример 1.4. На рулетке P (чет) = P (нечет) =1837< 12 .|A||Ω| .Задача 1.1 (Д’Аламбера). Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты орёл выпадетхотя бы один раз?Решение. Пусть «О» — орёл, а «Р» — решка. Тогда Ω = {ОО , РО , ОР , РР }. Нас устраивают 3 исхода из 4,значит, P (A) = 34 . 1.1.3.

Комбинаторные формулыОпределение. Числом размещений из N по n называется число способов разместить n различных элементовна N местах. Обозначается оно через AnN .Легко видеть, чтоN!AnN = N (N − 1) . . . (N − n + 1) =.(1)(N − n)!При N = n получаем количество перестановок из N элементов: SN = N !4Число сочетаний из N по n отличается от числа размещений тем, что мы не различаем элементы:nCN=AnNN!=.n!(N − n)!n!(2)0В частном случае CN= A0N = 0! = 1.Задача 1.2. Выборочный контроль качества. Партия из N изделий, среди которых M бракованных. Наугадвыбирается n изделий.

Какова вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно m бракованных?nРешение. Элементарное событие в нашем случае — произвольная выборка, значит |Ω| = CN. Надо найтивероятность события Am = {из n выбранных ровно m бракованных}. Выбираем из M бракованных изделий m,а из (N − M ) нормальных изделий — (n − m). Тогда среди n выбранных изделий будет ровно m бракованныхn−mmCM· CN−Mn−mmи |Am | = CM· CN=⇒P(A)=— гипергеометрическое распределение вероятности.

m−MnCNЗадача 1.3. Лотерея. Есть N билетов, из которых M выигрышных. Какова вероятность выигрыша у того, кто купил n билетов?Решение. Вероятность того, что не будет выигрышных билетов: P (m = 0) = P (A0 ) =вероятность того, что будут выигрышные: P (m > 0) = 1 − P (m = 0) = 1 −0nCM· CN−M.nCN0nCM· CN−M. ТогдаnCN1.1.4. Опыт с непрерывным пространством элементарных событийAЭлементарное событие ω = (x, y) ∈ Ω. A ⊂ Ω =⇒ P (A) = mesmes Ω . Отсюда следует, что A и Ω должны бытьизмеримы. Задача 1.4. Отрезок 0, 1 разламывают в 2-х местах случайным образом.

Какова вероятность того, чтоиз полученных кусков можно составить треугольник?Решение. Пусть отрезок разбивается на x, y − x, 1 − y. Рассмотрим случай x 6 y (второй вариант симметричен). Запишем неравенство треугольника для всех трех сторон:11y>2 x + (y − x) > 1 − yAAAA10.5x + (1 − y) > y − x ⇔ y − x < .AAAA2(y − x) + (1 − y) > x1x<20.5Из графика видно, что mes A = 2 ·18=14· mes Ω. 1Рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций