Главная » Просмотр файлов » Н.И. Чернова - Математическая статистика

Н.И. Чернова - Математическая статистика (1119916), страница 3

Файл №1119916 Н.И. Чернова - Математическая статистика (Н.И. Чернова - Математическая статистика) 3 страницаН.И. Чернова - Математическая статистика (1119916) страница 32019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . , k через νj число элементоввыборки, попавших в интервал Aj :νj = {число Xi ∈ Aj } =nXI(Xi ∈ Aj ),n=i=1kXνj .(1)j=1На каждом из интервалов Aj строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна νj . Общая площадь всех прямоугольников должнаравняться единице. Если lj — длина интервала Aj , то высота fj прямоугольника над этим интервалом равнаfj =νjn lj.Полученная фигура, состоящая из объединения прямоугольников, называется гистограммой.П р и м е р 2. Имеется вариационный ряд из примера 1:(0; 1; 1; 2; 2,6; 2,6; 2,6; 3,1; 4,6; 4,6; 6; 6; 7; 9; 9).Разобьём отрезок [0, 10] на четыре равных отрезка. Отрезку [0, 2,5)принадлежат четыре элемента выборки, отрезку [2,5, 5) — шесть, отрезку [5, 7,5) — три, и отрезку [7,5, 10] — два элемента выборки.

Строим гистограмму (рис. 2). На рис. 3 — гистограмма для той же выборки, но приразбиении области на пять равных отрезков.668750,1-0123456789 10Рис. 2. Гистограмма при k = 4y-0123456789 10 yРис. 3. Гистограмма при k = 5Чем больше интервалов группировки, тем лучше: фигура, состоящаяиз более узких прямоугольников, точнее приближает истинную плотностьраспределения. С другой стороны, бессмысленно брать число интерваловk(n) порядка n: тогда в каждый интервал попадёт в среднем по однойточке и гистограмма не будет приближаться к плотности с ростом n.§ 2.

Выборочные характеристики13З а м е ч а н и е 1. Справедливо следующее утверждение. Пусть плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией. Если количество интервалов группировки стремится к бесконечноk(n)→ 0, то имеет место сходимость по вести таким образом, чтоnроятности гистограммы к плотности в каждой точке y .√Обычно √берут число интервалов порядка 3 n (или длину интервалапорядка c/ 3 n).Кроме гистограммы, для оценивания плотности используют так называемые ядерные оценки плотности, или оценки Розенблата — Парзена.

Читатель может познакомиться с ними в учебнике [1, глава 1, §10]).Выборочные моменты. Знание моментов распределения также многоеможет сказать о его виде и свойствах. Рассмотрим выборочные аналогинеизвестных истинных моментов распределения.Пусть E ξ = EX1 = a, D ξ = DX1 = σ2 , E ξk = EX1k = mk — теоретические среднее, дисперсия, k -й момент. В качестве их оценок используемсреднее, дисперсию и моменты выборочного распределения.Истинные моментыОценки для истинных моментовE ξ = EX1 = aX=n1 PX — выборочное среднееn i=1 iD ξ = DX1 = σ2S2 =n1 P(X −X)2 — выборочная дисперсия,n i=1 iлибоS02 =n1 P(Xi − X)2 — несмещённая выбоn − 1 i=1рочная дисперсияn1 PX k — выборочный k-й моментn i=1 iE ξk = EX1k = mkXk =Eg(ξ)g(X) =n1 Pg(Xi )n i=1Ещё раз напомним, что все оценки в правом столбце таблицы являютсяслучайными величинами, если X1 , .

. . , Xn — набор случайных величин, ане их реализаций на одном элементарном исходе.14ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ§ 3. Состоятельность выборочных характеристикМы ввели три вида эмпирических характеристик, предназначенных дляоценивания неизвестных теоретических характеристик распределения: эмпирическую функцию распределения, гистограмму, выборочные моменты.Если наши оценки удачны, разница между ними и истинными характеристиками должна стремиться к нулю (например, по вероятности) с ростомобъёма выборки. Такое свойство выборочных характеристик называют состоятельностью. Убедимся, что введённые нами характеристики этимсвойством обладают.Свойства эмпирической функции распределения. Следующие четыреутверждения описывают поведение случайной функции Fn∗ (y).Т е о р е м а 1.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fс функцией распределения F и пусть Fn∗ — эмпирическая функция расpпределения, построенная по этой выборке. Тогда Fn∗ (y) −→ F (y) приn → ∞ для любого y ∈ R.Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению 2n1 X∗I(Xi < y).Fn (y) =ni=1Случайные величины I(X1 < y), I(X2 < y), . . . независимы и одинаковораспределены, их математическое ожидание конечно:EI(X1 < y) = 1 · P(X1 < y) + 0 · P(X1 > y) = P(X1 < y) = F (y) < ∞,поэтому можно применить ЗБЧ Хинчина (а что это такое?):nPFn∗ (y)=I(Xi < y)i=1np−→ EI(X1 < y) = F (y).Таким образом, с ростом объёма выборки эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к неизвестной теоретической функции распределения при любом фиксированном y ∈ R.

На самом деле,как показывает следующее утверждение, эта сходимость имеет даже «равномерный» характер. Наибольшее из расхождений между эмпирическойи теоретической функциями распределения стремится к нулю.Т е о р е м а 2 (Г л и в е н к о — К а н т е л л и). В условиях теоремы 1 psupFn∗ (y) − F (y) −→ 0 при n → ∞.y∈R§ 3. Состоятельность выборочных характеристик15Более того, в теоремах 1 и Гливенко — Кантелли имеет место сходимость не только по вероятности, но и почти наверное.Если функция распределения F непрерывна, то, как показывает следующая теорема, скорость√ сходимости к нулю в теореме Гливенко — Кантелли имеет порядок 1/ n.Т е о р е м а 3 (К о л м о г о р о в а).

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из распределения F с н е п р е р ы в н о й функцией распределения F,а Fn∗ — эмпирическая функция распределения. Тогда ∗√n · sup Fn (y) − F (y) ⇒ η при n → ∞,y∈Rгде случайная величина η имеет распределение Колмогорова с непрерывной функцией распределения∞X2 2K(x) =(−1)j e−2j x при x > 0, K(x) = 0 при x < 0.j=−∞Теоремы Гливенко — Кантелли и Колмогорова мы доказывать не будем.Доказательство первой читатель может прочесть в учебнике [1].Следующие свойства эмпирической функции распределения — это хорошо знакомые нам свойства среднего арифметического n независимыхслагаемых, имеющих распределение Бернулли.Т е о р е м а 4.

Для любого y ∈ R1) EFn∗ (y) = F (y), т. е. Fn∗ (y) — н е с м е щ ё н н а я оценка для F (y);F (y)(1 − F (y));2) DFn∗ (y) =n√3) n(Fn∗ (y) − F (y)) ⇒ N0, F (y)(1−F (y)) при F (y) 6= 0, 1, т. е. Fn∗ (y) —а с и м п т о т и ч е с к и н о р м а л ь н а я оценка для F (y);4) величина nFn∗ (y) имеет биномиальное распределение Bn,F (y) .Д о к а з а т е л ь с т в о.

Заметим снова, что I(X1 < y) имеет распределение Бернулли BF (y) (почему?), поэтомуEI(X1 < y) = F (y)иDI(X1 < y) = F (y)(1 − F (y)).Докажем свойство (1). Случайные величины I(Xi < y) одинаково распределены, поэтомуnPEFn∗ (y)=EnPI(Xi < y)i=1n=EI(Xi < y)i=1n=nEI(X1 < y)= F (y)n(где использована одинаковая распределённость?).16ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИДокажем свойство (2). Случайные величины I(Xi < y) независимыи одинаково распределены, поэтомуnPDFn∗ (y)=DnPI(Xi < y)i=1=nDI(Xi < y)i=1n2=nDI(X1 < y)F (y)(1 − F (y))=2nn(где используется независимость?).Для доказательства свойства (3) используем ЦПТ (а что это?):√n(Fn∗ (y) − F (y))nP=i=1=√nPnPI(Xi < y)− F (y)n=i=1I(Xi < y) − nF (y)√=nI(Xi < y) − nEI(X1 < y)√⇒ N0, DI(X1 <y) = N0, F (y)(1−F (y)) .nНаконец, свойство (4) выполнено из-за устойчивости по суммированиюбиномиального распределения (сформулировать!).

Поскольку I(Xi < y)независимы и имеют распределение Бернулли BF (y) , то их суммаnFn∗ (y) = I(X1 < y) + . . . + I(Xn < y)имеет биномиальное распределение Bn,F (y) .З а м е ч а н и е 2. Все определения терминов «оценка», «несмещённость», «состоятельность», «асимптотическая нормальность» будут даныв главе II. Но смысл этих терминов должен быть понятен уже сейчас.Свойства гистограммы. Пусть распределение F абсолютно непрерывно, f — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число k интерваловгруппировки не зависит от n . Случай, когда k = k(n), отмечен в замечании 1. Следующая теорема утверждает, что площадь столбца гистограммы, построенного над произвольным интервалом группировки, с ростомобъёма выборки сближается с площадью области под графиком плотностинад этим же интервалом.Т е о р е м а 5.

При n → ∞ для любого j = 1, . . . , kZνjplj · fj =−→ P(X1 ∈ Aj ) = f (x) dx.nAjУ п р а ж н е н и е . Доказать теорему 5, используя (1) и ЗБЧ Бернуллидля слагаемых I(X1 ∈ Aj ), . . . , I(Xn ∈ Aj ).17§ 3. Состоятельность выборочных характеристикСвойства выборочных моментов. Выборочное среднее X являетсянесмещённой, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой длятеоретического среднего (математического ожидания).Т е о р е м а 6. 1. Если E|X1 | < ∞, то EX = EX1 = a.p2. Если E|X1 | < ∞, то X −→ EX1 = a при n → ∞.√3.

Если DX1 < ∞, DX1 6= 0, то n X − EX1 ⇒ N0, DX1 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение следует из свойств математического ожидания:EX =11(EX1 + . . . + EXn ) = · n EX1 = EX1 = a.nnИз ЗБЧ в форме Хинчина получаем второе утверждение:X=X1 + . . . + Xn p−→ EX1 = a.nТретье утверждение есть прямое следствие ЦПТ:√nPn X − EX1 =i=1Xi − nEX1√⇒ N0,DX1 .nЗ а м е ч а н и е 3. УЗБЧ позволяет утверждать также, что при E|X1 | <∞ имеет место сходимость п. н. X к EX1 .

Такое свойство оценок называют сильной состоятельностью.Выборочный k -й момент X k является несмещённой, состоятельнойи асимптотически нормальной оценкой для теоретического k -го момента.Т е о р е м а 7. 1. Если E|X1 |k < ∞, то EX k = EX1k = mk .p2. Если E|X1 |k < ∞, то X k −→ EX1k = mk при n → ∞.√ kkkk3. Если DX1 < ∞, DX1 6= 0, то n X − EX1 ⇒ N0,DX k .1Выборочные дисперсии обладают следующими свойствами.Т е о р е м а 8. Пусть DX1 < ∞.

1. Выборочные дисперсии S 2 и S02являются состоятельными оценками для истинной дисперсии:pS 2 −→ DX1 = σ2 ,pS02 −→ DX1 = σ2 .2. Величина S 2 — смещённая оценка дисперсии, а S02 — несмещённая:ES 2 =n−1n−1 2DX1 =σ 6= σ2 ,nnES02 = DX1 = σ2 .18ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ3. Если 0 6= D(X1 − EX1 )2 < ∞, то S 2 и S02 являются асимптотически нормальными оценками истинной дисперсии:√n S 2 − DX1 ⇒ N0,D(X1 −EX1 )2 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение теоремы.

Раскрыв скобки, полезно убедиться в том, чтоn1 XS =(Xi − X)2 = X 2 − (X)2 .n2(2)i=1Используя состоятельность первого и второго выборочных моментови свойства сходимости по вероятности, получаемpS 2 = X 2 − (X)2 −→ EX12 − (EX1 )2 = σ2 .Далее,pnn→ 1, поэтому S02 =S 2 −→ σ2 .n−1n−1Для доказательства второго утверждения теоремы воспользуемся формулой (2) и несмещённостью первого и второго выборочных моментов:222ES = E X − (X) = EX 2 − E(X)2 = EX12 − E(X)2 = Xn21222Xi == EX1 − EX + DX = EX1 − (EX1 ) − Dn1σ2n−1 2= σ2 − 2 nDX1 = σ2 −=σ ,nnnоткуда сразу следует ES02 =i=1nES 2 = σ2 .n−1Проверим третье утверждение теоремы.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,13 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее