Н.И. Чернова - Математическая статистика (1119916), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Плотности χ2-распределений с различным числом степеней свободы= Hk и ψ 2 ⊂= Hm незаС в о й с т в о 1. Если случайные величины χ2 ⊂22висимы, то их сумма χ + ψ имеет распределение Hk+m .Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство устойчивости можно доказать и непосредственно. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . .
независимы и имеютстандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина χ2 распределена так же, как ξ21 + . . . + ξ2k , величина ψ2 распределена так же,как ξ2k+1 + . . . + ξ2k+m , а их сумма — как ξ21 + . . . + ξ2k+m , т. е. имеет распределение Hk+m .С в о й с т в о 2. Если величина χ2 имеет распределение Hk , тоE χ2 = kиD χ2 = 2k.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение. ТогдаE ξ21 = 1,D ξ21 = E ξ41 − (E ξ21 )2 = 3 − 1 = 2.Четвёртый момент стандартного нормального распределения мы вычислили в примере 23 (с. 52). ПоэтомуE χ2 = E(ξ21 + . . . + ξ2k ) = k,D χ2 = D(ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.= Hn . Тогда при n → ∞С в о й с т в о 3. Пусть χ2n ⊂χ2nnp−→ 1,χ2n − n√2n⇒ N0, 1 .Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом n случайная величина χ2n распределена так же, как ξ21 + .
. . + ξ2n , где все случайные величины ξi независимыи имеют стандартное нормальное распределение. Применяя ЗБЧ и ЦПТ,68ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМполучаем сходимостиξ21 + . . . + ξ2nnp−→ E ξ21 = 1,ξ21 + . . . + ξ2n − n√2n=ξ21 + . . . + ξ2n − nE ξ21qnD ξ21⇒ N0, 1 ,равносильные утверждению свойства 3.Распределение Hn при небольших n табулировано. Однако при большом числе степеней свободы для вычисления функции этого распределения или, наборот, его квантилей пользуются различными аппроксимациями с помощью стандартного нормального распределения. Одно из приближений предлагается в следующем свойстве, более точную аппроксимациюУилсона — Хилферти читатель найдёт в упражнениях в конце главы.= Hn .
ТоС в о й с т в о 4 (а п п р о к с и м а ц и я Ф и ш е р а). Пусть χ2n ⊂гда при n → ∞ имеет место слабая сходимостьpp22χn − 2n − 1 ⇒ N0, 1 ,поэтому при больших n можно пользоватьсяаппроксимацией для функ2ции распределения Hn (x) = P χn < x :√√Hn (x) ≈ Φ0,12x − 2n − 1 .(16)√√Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что2n − 2n − 1 → 0при n → ∞ (проверить!), поэтому достаточно обосновать сходимостьpp22χn − 2n ⇒ N0, 1 .Домножим и поделим эту разность на сопряжённое, и представим результат в виде:ppχ2n − n22q2χn − 2n =· √.1+χ2n /n2nПервый сомножитель по свойству 3 сходится по вероятности к единице, авторой слабо сходится к N0, 1 .
По свойствам слабой сходимости, их произведение слабо сходится к N0, 1 .Для доказательства (16) заметим, чтоpppp22P χn < x = P 2χn − 2n − 1 < 2x − 2n − 1 .§ 1. Основные статистические распределения69С в о й с т в о 5. Если случайные величины ξ1 , .
. . , ξk независимыи имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоχ2k=k Xξi − a 2σi=1= Hk .⊂У п р а ж н е н и е . Доказать свойство 5.Распределение Стью́дента. Английский статистик Госсет, публиковавший научные труды под псевдонимом Стьюдент, ввёл следующее распределение.О п р е д е л е н и е 19.
Пусть ξ0 , ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величиныtk = sξ0ξ21 + . . . + ξ2kkназывается распределением Стью́дента с k степенями свободы и обозначается Tk .Распределение Стьюдента совпадает с распределением случайной велиξ= Hk независимы.= N0, 1 и χ2 ⊂, где ξ ⊂чины tk = qkχ2k / kЧитатель может найти плотность распределения Стьюдента самостоятельно, либо посмотреть, как это делается в [1, § 2, гл. 2]. Плотностьраспределения Стьюдента с k степенями свободы равна−(k+1)/2 Γ (k + 1)/2y2fk (y) = √1+.(17)πk Γ(k/2)kС в о й с т в о 6. Распределение Стьюдента симметрично: если случайная величина tk имеет распределение Стьюдента Tk с k степенями свободы, то и −tk имеет такое же распределение.У п р а ж н е н и е .
Доказать.С в о й с т в о 7. Распределение Стьюдента Tn слабо сходится к стандартному нормальному распределению при n → ∞.pД о к а з а т е л ь с т в о. По свойству 3, χ2n / n −→ 1 при n → ∞. Посвойствам слабой сходимости получаемξtk = qχ2k / k= N0, 1 .,⇒ ξ ⊂70ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМГрафики плотностей стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента приведены для сравнения на рис.
9.N0,1TkРис. 9. Плотности распределений Tk и N0, 1Отметим, что распределение Стьюдента табулировано: если в каких-тодоверительных интервалах появятся квантили этого распределения, то мынайдём их по соответствующей таблице, либо, при больших n, используемнормальную аппроксимацию для распределения Стьюдента.Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартноераспределение Коши.
Действительно,если подставить k = 1 в плотность√(17) и учесть Γ(1/2) = π и Γ(1) = 1, то получится плотность распределения Коши:−11f1 (y) =1 + y2.πУ п р а ж н е н и е . Как получить случайную величину с распределением Коши, имея две независимые случайные величины со стандартнымнормальным распределением?С в о й с т в о 8. У распределения Стьюдента существуют только моменты порядка m < k и не существуют моменты порядка m > k. Приэтом все существующие моменты нечётного порядка равны нулю.У п р а ж н е н и е . Рассмотрите плотность (17) и убедитесь в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих m интегралов∞Z1C(k) ·|y|m ·dy.2 (k+1)/2(k + y )−∞= T2 ?У п р а ж н е н и е .
Существует ли Dt2 , если t2 ⊂71§ 1. Основные статистические распределенияРаспределение Фишера. Следущее распределение тоже тесно связанос нормальным распределением, но понадобится нам не при построениидоверительных интервалов, а чуть позже — в задачах проверки гипотез.Там же мы поймём, почему его называют распределением дисперсионногоотношения.О п р е д е л е н и е 20. Пусть χ2k имеет распределение Hk , а ψn2 — распределение Hn , причём эти случайные величины независимы. Распределение случайной величиныχ2k / kn χ2kfk, n = 2= · 2ψn / nk ψnназывается распределением Фишера с k и n степенями свободы и обозначается Fk, n .Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):С в о й с т в о 9.
Если случайная величина fk, n имеет распределениеФишера Fk, n , то 1/fk, n имеет распределение Фишера Fn, k .Заметим, что распределения Fk, n и Fn, k различаются, но связаны соотношением: для любого x > 0 111.>= 1 − Fn, kFk, n (x) = P(fk, n < x) = Pfk, nxxРаспределение Фишера также табулировано при многих k, n, причёмсвойство 9 позволяет приводить таблицы распределений только в половине случаев: например, при k > n.С в о й с т в о 10. Распределение Фишера Fk, n слабо сходится к вырожденному в точке c = 1 распределению при любом стремлении k и n к бесконечности.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 , ξ2 , .
. . и η1 , η2 , . . . — две независимые последовательности, составленные из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением. Требуемое утверждение вытекает из того, что любая последовательность случайных величинfk, n , распределение которой совпадает с распределением отношения двухсредних арифметическихξ21 + . . . + ξ2kkиη21 + .
. . + η2nn,сходится к единице по вероятности при k → ∞, n → ∞ по ЗБЧ.= Tk — случайная величина, имеющая расС в о й с т в о 11. Пусть tk ⊂= F1, k .пределение Стьюдента. Тогда t2k ⊂72ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМ§ 2. Преобразования нормальных выборок~ = (X1 , . . . , Xn ) — выборка из N0, 1 , т. е. набор независимыхПусть Xслучайных величин со стандартным нормальным распределением. Там,~где нам понадобятся операции матричного умножения, будем считать Xвектором-столбцом.
Пусть C — ортогональная матрица (n × n), т. е.10...CC T = E =,01~ — вектор с координатами Yi = Ci1 X1 + . . . + Cin Xn .и Y~ = C XКоординаты вектора Y~ имеют нормальные распределения как линейные комбинации независимых нормальных величин. Какие именно нормальные и с каким совместным распределением? Чтобы ответить на этотвопрос, выясним, как изменится плотность распределения вектора послеумножения его на произвольную невырожденную матрицу.Вспомним, как найти плотность распределения случайной величиныη = a ξ + b по плотности распределения ξ :fη (y) = |a|−1 · fξ a−1 (y − b) .Сформулируем аналогичное утверждение в многомерном случае.~ имеет плотность расТ е о р е м а 17. Пусть случайный вектор Xпределения fX~ (y1 , .
. . , yn ) = fX~ (~y ) и A — невырожденная матрица. То~ + ~b имеет плотность распределениягда вектор Y~ = AXfY~ (~y ) = fAX+y ) = |det A|−1 · fX~ A−1 (~y − ~b ) .(18)~ ~b (~Д о к а з а т е л ь с т в о. Если найдётся функция h(~y ) > 0 такая, чтодля любого борелевского множества B ⊆ RnZZZP Y~ ∈ B =. . . h(~y ) d~y ,Bто функция h(~y ) является плотностью распределения вектора Y~ .ВычислимZZZ−1~ + ~b ∈ B = P X~ ∈ A (B − ~b ) =P Y~ ∈ B = P AX. .
. fX~ (~x ) d~x,A−1 (B−~b )где A−1 (B − ~b ) = {~x = A−1 (~y − ~b ) | ~y ∈ B}. Сделаем замену переменных ~y = A~x + ~b. При такой замене область интегрирования по множеству73§ 2. Преобразования нормальных выборок~x ∈ A−1 (B − ~b ) превратится в область интегрирования по ~y ∈ B, а дифференциал заменится на d~x = |J| d~y , где J — якобиан обратной замены~x = A−1 (~y − ~b ), т. е. определитель матрицы A−1 . Итак,ZZZP(Y~ ∈ B) =. . .
|det A|−1 · fX~ A−1 (~y − ~b ) d~y .BДокажем самое удивительное свойство нормального распределения.~ состоит из независимых случайныхТ е о р е м а 18. Пусть вектор Xвеличин со стандартным нормальным распределением, C — ортогональ~ Тогда и координаты вектора Y~ независимы иная матрица, Y~ = C X.имеют стандартное нормальное распределение.Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
