И.С. Енюков, С.Б. Королёва - Факторный дискриминантный и кластерный анализ (1119914), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Однако такую модель вполне можно использовать, если гипотетическая факторная структура имеет достаточное чи- Фактор Перемен- ные Ра х, Хе х, Ха Хв Ха О О О х Х х Х х х О О О ело ограничений для обеспечения нескольких степеней свободы. Например, могут быть заданы следующие ограничения: переменные Хт и Хз имеют нагрузку только на первый фактор; Х, и Коррелкции пеулду факторами !о, Рт ! Рт ' Π— соответствУет фиксированным ве- Ха На ВТОтттОИ, а Хб 6 личинам, а х — свободным. еннвина в трстнй фаКТОр. 3 акторноа коррелвинонноа матрвае— Принципы, изложенные в данном разделе, могут быть нспольфвн ро н . зованы не только в факторном анализе.
Можно сочетать особенности факторного анализа с особенностями регрессионного и путевого (ра(Ь) анализа. Предположим, рассматривается набор наблюдаемых переменных, которые связаны с латентной переменной (г"!), влияющей в свою очередь иа другую летентную переменную (Гк). Последняя также имеет набор наблюдаемых (индикаторных) переменных. Такую систему зависимостей можно проанализировать с помощью средств конфирматорного анализа. В данном случае модель может быть представлена в рамках конфирматорного факторного анализа с двумя коррелированными факторами (рис. 6). Отметим, что эта модель совпадает со структурой, представленной в табл. 9 (пример 1), когда не накладываются ограничения на корреляции между факторами.
Мы упомянули только о наиболее простом обобщении конфирматорного факторного анализа; заинтересованный читатель может обратиться за более подробной информацией к другим работам (Зогезкой, 1970; БбгЬот, .)огезко9„1976). Сравнение факторных структур Другое применение конфирматорного факторного анализа состоит в сравнении факторных структур для нескольких групп наблюдений. Например, можно выдвинуть гипотезу о том, что фак- 50 Гипотетические неременныа Хе ~фактории Х, Навнюдеемем индикаторные ха хе ха нараменнья Рис. б. Модель, включающая два гипотетических фактора и б наблюдаемых переменных торная структура политических отношений чернокожего населения совпадает с аналогичной факторной структурой для белого населения, или о том, что структура одного общества эквивалентна структуре другого.
Также возможно определить, что некоторые аспекты факторных структур совпадают, а другие для разных групп различны. Существует компьютерная программа СОГАММ (Сопйгта1огу Гас1ог Апа!уэ1з тт11п Моде1 Мой)1)са((оп), разработанная Иореско и Сербомом. Эта программа позволяет обращаться с весьма общими гипотезами. Например, она допускает всевозможные вариации при проверке факторной гипотезы для отдельной группы— некоторые величины могут фиксироваться или варьироваться, либо задаваться ограничениями типа совпадения одних величин с другими. В дополнение к использованию «ограничений» на величины любая часть величин, относящихся к структуре одной группы, может быть задана совпадающей с соответствующими величинами для другой группы.
В качестве примера рассмотрим сравнение структур политических отношений белого и чернокожего населения. Специальные гипотезы могут иметь следующий вид: 1) существуют два косоугольных фактора для белого и чернокожего населения; 2) переменные Х4 (финансирование образования), Хх (выделение средств на уменьшение безработицы) и Ха (контролирование большого бизнеса) имеют одинаковые нагрузки от одних и тех же факторов для белого и чернокожего населения; Х, (программы занятости) и Хк (квоты на профессии) имеют нагрузки от разных факторов для обеих рас; 3) однако переменная Хе (программа борьбы с кризисами) имеет различные нагрузки для этих двух групп. В этом случае можно задать входные величины для белого населения так же, как в одногрупповом анализе, а величины для чернокожего населения (за исключением переменной, Ха) определить в виде ограничения — равенства соответствующим величинам для белой расы.
Многочисленные примеры применения конфирматорного факторного анализа можно найти в работе Иореско (Лбгез1соа, 1976). 7Е ФАКТОРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ* После изучения результатов факторного анализа можно приступить к оценке факторных шкал. Для этого есть следующие основания. Во-первых, после определения скрытой факторной структуры измеряемых данных для объектов исследователю может понадобиться представить каждый из этих объектов в терминах значений факторов, а не измеряемых переменных. Во-вторых, может появиться необходимость использования одного или более факторов в качестве переменных для дальнейшего анализа Действительно, за исключением психометрической литературы, факторный анализ применялся чаще в качестве средства создания новых факторных переменных (шкал) для других исследований, чем для изучения самой скрытой структуры.
В этом разделе мы рассмотрим следующие методы оценки значений факторов: 1) регрессионные оценки; 2) оценки, основанные на искусственных переменных или критерии наименьших квадратов; 3) метод Бартлетта минимизации дисперсии ошибок и 4) оценки с ортогональными ограничениями. Дополнительно мы обсудим: 5) простой метод суммирования переменных с большими факторными нагрузками и 6) шкалироваиие с помощью главных компонент. Эти методы будут обсуждаться в связи с некоторыми важными аспектами факторного шкалирования.
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ФАКТОРНОГО ШКАЛНРОВАННЯ Для начала рассмотрим модельные данные. Предположим, что мы их получили, воспользовавшись однофакторной моделью. Глав. ной целью факторного шкалирования является определение значений общего фактора ~Р) через наблюдаемые переменные ~Хо...). Как уже говорилось, невозможно точно выразить общин фактор посредством наблюдаемых переменных, поскольку каждая из иих содержит также и характерную компоненту, которую нельзя отделить от всей переменной. Можно получить лишь оценку значений общих факторов через наблюдаемые переменные, Поэтому шкалирование факторов всегда связано с некоторой неопределенностью.
Возьмем однофакторную модель с тремя переменными. Допустим, что все факторныс нагрузки одинаковы (нлн что все коэффициенты корреляции равны). Этот пример показан на рис. 7 слева. Для нашей модели вычислить наблюдаемые коэффициенты корреляции между переменными можно с помощью перемножения факторных нагрузок, причем, поскольку все нагрузки одинаковы, коэффициент корреляции будет равен квадрату факторной нагрузки: * Под факторным шкалнрованнем понимается процедура, позволяющая присваивать каждому объекту некоторые числовые оценки значений выделенных факторов, используа значения наблюдаемых переменных для этого объекта.
— Примеч. ред. гтУ=Ь;Ь,=Ь';=Ь';=Ьз. (39) Выражение (39) показывает, что наблюдаемые корреляции совпадают в данном случае с общностью любой из переменных (все три общности здесь равны). В качестве оценки значения фактора берется линейная комбинация параметров Хь Хт, Х,. Так как каждая из зтих переменных имеет одинаковую нагрузку от общего фактора, то естественно сложить их, беря соответствующие значения с одинаковым весом. Окончательное выражение будет иметь вид л Р= Хг+ Ха+ Хз, а соответствующая диаграмма представлена в правой части рис.
7. Отметим, что оценка Р фактически зависит от четырех переменных — общего фактора Р и трех характерных факторов Уь У, и Уз. Следовательно, из-за наличия характерных факторов, корреляция между Р и Р не равна 1. Ниже мы рассмотрим связь между скрытым общим фактором и его оценкой, т. е. получим надежность оценки. Надежность факторного шкалировання Дисперсию оценки Р легко вычислить, используя свойства математических ожиданий: Фактарная надень Чааеаьоакторного шкааиртеания Рис. т. Графическая модель, иллюстрирующая зависимость между фактором и его оценкой бз чаг(Р) =чаг(Х!)+1ааг(Ха)+чаг(Ха)+ +2[Соч(ХьХ»)+Соч(Х Ха)+Соч(Хг, Ха)]. (40) Поскольку в этом примере взяты единичные веса, выражение упрощается.
Дальнейшее упрощение достигается в том случае, если дисперсии каждой переменной будут единичными, а коэффициенты корреляции будут попарно равны друг другу: и Чаг(Г) =и+2[ты+гм +газ) =и +и(п — 1)г= =и[1+ (п — 1) г) =и[1+ (п — ! )Ьа) (41) (из формулы (39) следует, что г а = гьа = гаа = г = й,а) .
Некоторая доля дисперсии г связана с характерными факторами, Их вклад равен: ч«(, =Х(1 — й, ) =п(1 — й ), так как все общности в а а а нашем примере равны. Таким образом, доля дисперсии Р, связанная с общим фактором г, получается из соотношения и Чаг(Р)-л(1 — й') л(!+(и — 1)йа) — и(1-аа) га!и,г!— л час(Г) и (1+ (и- ! ) «21 иа2 иг !в (42) 1+ (и — 1)аа 1+ (и — 1)г что соответствует формуле Спирмена — Брауна для надежности и специальному случаю альфа-параметра Кронбаха (СгопЬас)1, 1951: ).огд, )4оч(ск, 1968).
Следует напомнить, что в данном случае пт можно заменить на г. Для того чтобы показать степень неопределенности, или степень ожидаемой «надежности» факторного шкалирования, в табл. 11 представлены значения коэффициентов «надежности» для некоторых типичных значений общностей при различном числе переменных. Отметим, что при возрастании числа переменных для фиксированного значения общности (факторных нагрузок или корреляций) надежность возрастает. Кроме того, даже при весьма высокой факториой нагрузке (скажем, 0,8) надежность все же относительно низкая, если число переменных мало.
Следует иметь в виду, что при факторном шкалированни часто используют оценку Р в стандартном виде — с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Разумеется, принципиального значения зто обстоятельство не имеет. Неодинаковые факторные нагрузки До сих пор мы ограничивались не только одинаковыми факторными нагрузками в однофакторной модели, но и брали лишь данные без ошибок. Теперь попробуем усложнить задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
