С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Из этихформул следует, что элемент, изображенный кружком, задает ток I через себя и обладает бесконечнымсопротивлением.Следует подчеркнуть, что разделение генератора напряжения на “собственно генератор” (кружок налевом рисунке 4 ) и внутреннее сопротивление Ri есть абстракция, удобная для расчетов. Как правило невозможно разделить источник на эти два элемента — точка A на обоих рисунках 4 физически недоступна.Также и разделение генератора тока на “собственно генератор” (кружок на правом рисунке 4) и внутреннее сопротивление Ri условно. Такое разделение удобно для расчетов. Обычно недьзя разделить источник тока на эти два элемента (точка A на правом рисунке 4 физически не доступна).Один и тот же источник может быть представлен как источник напряжения или как источник тока.Для пересчета одного в другое или сведение сложного устройства к генератору тока или напряжения естьтеорема об эквивалентном генераторе (дается без доказательства).2.5Теорема об эквивалентном генератореПусть у нас есть какое-либо активное устройство с линейными элементами внутри и с двуми клеммамиснаружи (“черный ящик” с двумя торчащими проводами).
Тогда ему может быть сопоставлен эквивалентный генератор тока c параметрами Iэкв и Rэкв I или эквивалентный генератор напряжения c параметрамиUэкв и Rэкв U по следующим формулам:2 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.10AAU0RiRiRHRHreplacementsPSfrag replacementsU0I0RHI0Рис. 4: Слева: генератор напряжения (обведен пунктиром) нагруженный на сопротивление R H .
Справа:генератор тока (обведен пунктиром) нагруженный на сопротивление RHreplacementsRRэквI0rRэквIэквUэквU0Рис. 5: Пример для расчета эквивалентного генератораrag replacementsU0I0RrRэквIэквRэквUэквUэкв = U xx ,(6)Iэкв = I кз ,(7)Rэкв U = Rэкв I =U xxIкз(8)Эдесь U xx — напряжение на разомкнутых клеммах (режим холостого хода), Iкз — ток через соединенныедруг с другом клеммами (режим короткого замыкания).Заметим, что сопротивления эквивалентных генераторов тока и напряжения совпадают: R экв U = Rэкв IРассмотрим пример схемы, изображенной на рис. 5.
Используя теорему об эквивалентном генераторе,нетрудно найти, что обведенную пунктиром часть схемы можно заменить или эквивалентным генераторомнапряжения или эквивалентным генератором тока с параметрами, которые определяются напряжениемхолостого хода и током короткого замыкания:rrR+ I0,r+Rr+RRrU xx=.=IкзR+rU xx = U0RэквIкз = I0 +U0,R3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ311Анализ линейных системВ общем случае анализ линейной системы сводится к решению ситемы линейных дифференциальных (илиинтегро-дифференциальных) уравненений с постоянными коэффициентами. Такие системы называютсялинейными и стационарными1. Для получения этих уравнений используются известные правила Кирхгофа.
Задача прoстая, но громоздкая. Например, для схемы на рис. 6 получаются следующие уравнения:bareplacementsI1cI3I2R1R2CLUg1dfeUg2Рис. 6: Пример для демонстрации правила Кирхгофа(acdf) :(bcde) :I1dI1Ug1 = I1 R1 + I2 R2 + L,dtZtI3 (τ)Ug2 =dτ − I2 R2 ,C−∞= I2 + I3Для линейных стационарных систем (вспомним математику) справедлив принцип суперпозиции:Если в цепи есть несколько источников тока или напряжения, то можно рассчитать отклик системы на каждый источник отдельно. Тогда отклик системы в целом будет просторавен сумме отдельно рассчитанных откликов.(Каждый источник “не мешает” и “не помогает” другому, а работает независимо) 2 .Хотелось бы подчеркнуть, что принцип суперпозиции справедлив только в линейных системах.Решение системы линейных интегро-дифференциальных уравнений известно, однако очень громоздко.Чтобы избежать громозкости применяют различные методы, среди которых на первом месте — методкомплексных амплитуд.
Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения на алгебраические.3.1Метод комплексных амплитудПусть в цепи действуют гармонические источники (напряжения или тока) на одной частоте e n =Ẽn cos(ωt + φn ), in = Ĩn cos(ωt + φ̄n ). Тогда установившиеся токи и напряжения будут иметь ту жечастоту, но разные фазы. Для расчета амплитуд и фаз установившихся колебаний применяется символический метод (метод комплексных амплитуд).1 Если коэффициенты линейной системы уравнений зависят от времени, то такие системы называются линейными инестационарными.
В принципе все реальные системы нестационарны — ее параметры медленно меняются со временем(“старение”). Однако в данном разделе мы этим пренебрегаем и рассматриваем только стационарный случай.2 Строго говоря, принцип суперпозиции справедлив и для линейной нестационарной системы.3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ12UвхUвыхreplacementsРис. 7: На схеме прямоугольником обозначена цепь, состоящая из линейных элементов. Генератор напряжения Uвх имеет нулевое внутреннее сопротивление.
Нас интересует связь между U вх и Uвых .Прежде, чем излагать этот метод, напомним некоторые формулы из теории комплексных чисел:pZ = a + ib = a2 + b2 eiϕ , ϕ = arg(Z),basin ϕ = √, cos ϕ = √, если Z 6= 0222a +ba + b2(ϕ не определено, если Z = 0),ixe= cos x + i sin x, (теорема Эйлера).Любую функцию, зависящую от времени по гармоническому закону, можно представить как дествительную часть комплексной экспоненты:U(t) = |A| cos(ωt + φ) = < |A|ei(ωt+φ) == < |A|eiφ eiωt = < A eiωt ,A = |A|eiφ ,— комплексная амплитудаЗдесь знак < обозначает действительную часть комплексного числа.
Тогда операции дифференцированияили интегрирования (в смысле нахождения первообразной) сводятся к операциям умножения и деления:f(t) = A cos(ωt + φ)= −ωA sin(ωt + φ)Af(t) dt = ωsin(ωt + φ)df(t)R dt−→−→−→f(t) = Aeiωt= iωAeiωtA iωtf(t) dt = iωedf(t)R dtЕсли напряжения или токи в цепи зависят от времени по произвольному закону, то можно разложить ихв интеграл Фурье по гармоническим составляющим:Z∞dωUвх (t) =Ũвх (ω) eiωt, (интеграл Фурье)2π−∞Z∞dωŨвых (ω) eiωtUвых (t) =,2π−∞K(ω) =3.2Ũвых (ω)Ũвх (ω)— коэффициент передачи.(9)Характеристики линейных цепейПусть мы имеет какую-то цепь, состоящую из линейных элементов, в которой мы можем условно выделить“вход” “выход”. На вход мы подаем входное напряжение Uвх — см. рис. 7.
Нас интересует связь междуUвх и Uвых .Примем, что генератор напряжения Uвх имеет нулевое внутреннее сопротивление.Для характеристики линейных цепей используют различные величины, связывающие входное и выходное напряжения. Рассмотрим некоторые из них.3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ3.2.113Коэффициент передачи K(ω)Мы можем входное и выходние напряжеия разложить в ряд Фурье.Z∞dωŪвх (ω) eiωtUвх (t) =2π−∞Введем коэффициент передачи цепи K(ω):K(ω) =Ūвых (ω)Ūвх (ω)Коэффициент передачи K(ω) (9) является комплексной функцией. Оно показывает отношение установившихся гармонических напряжений на выходе к напряжению на входе, причем модуль |K(ω)| показывает отношение их амплитуд (амплитудно-частотная харктеристика или АХЧ), а аргумент argK(ω) —их разность фаз (фазово-частотная характеристика или ФЧХ).1|K|CreplacementsRUвыхπ/2Uвх1/RCωarg(K)1/RCωРис. 8: Пример расчета коэффициента передачи.Пример.
Рассчитаем коэффициент передачи для RC-цепочки, изображенной на рис. 8:K(ω) =|K(ω)| =3.2.2IRiωRC=,11 + iωRCI R + iωCωRCπq2 , arg K(ω) = 2 − arctg ωRC1 + ωRCПереходная характеристика h(t)Иногда частотный способ описания не так удобен, как временной. Введем ступенчатую функцию Хевисайда H(t), определяемую как (рис. 9 слева) 1 если t > 0,1/2 если t = 0,H(t) =0 если t < 0Напомним, что любую дифференцируемую функцию можно разложить по ступенчатым функциямХевисайда H(t).ZtŨвх (τ)H(t − τ) dτ(10)Uвх (t) =−∞Образ Ũ разложения по ступенькам H(t) есть просто производная: Ũ(t) = ∂t U(t).
Это можно нестрогопоказать, используя обозначения на рис. 9:∆U(t0 )= U 0 (t) dt H(t − t0 ),3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ14H∆U(t0 )U1PSfrag replacementstt0tРис. 9: Слева: функция Хевисайда. Справа: Иллюстрация разложения по функциям Хевисайда.h(t)1CreplacementsRUвыхUвхRCtРис. 10: Переходная функция для RC-цепочки.Ũвх (t) = ∂t Uвх (t),Чтобы показать это более строго, продифференцируем (10):Z tŨвх (τ)H(t − τ) dτ =dt Uвх (t) = ∂t−∞==ZtŨвх (t)H(0) +Ũвх (τ)δ(t − τ) dτ =−∞1 1+= Ũвх (t)Ũвх (t)2 2Введем переходную характеристику h(t) как реакцию линейной системы на ступеньку H(t). Тогдавыходное напряжение может быть представлено в виде суперпозиции по функциям h(t)ZtUвых (t) =Ũвх (τ)h(t − τ) dτ,(11)−∞Наш пример.
Для той же RC-цепочки, изображенной на рис. 10, мы можем рассчитать переходнуюфункцию, решая дифференциальное уравнение:Uвх (t) = RI(t) +Zt−∞Q(t)I(t)dt = R ∂t Q(t) +CC3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ15ZtUвх (τ) −(t−τ)/RCedτ,R−∞Q(t) = CU0 1 − e−t/RC H(t),Q(t) =Uвх (τ) = U0 H(τ),(12)(13)Uвых = RI(t) = R∂t Q(t) = U0 e−t/RC H(t),Здесь множитель H(t) введен, чтобы учесть отсутствовие сигнала для отрицательных времен: h(t < 0) = 0(принцип причинности).Можно более строго вывести (13) из (12):Uвых = R∂t Q = Uвх (τ) −По частям:Zt−∞= Uвх (τ) − Uвх (τ) +=Zt−∞Uвх (τ) ∂τ e−(t−τ)/RC dτ,Zt−∞e−(t−τ)/RC ∂τ Uвх (τ) dτ,dUвх (τ) −(t−τ)/RCedτ,dτПодставляем Uвх (τ) = H(τ),учитываяdH(τ)= δ(τ) :dτh(t) = H(t) e−t/RC .Заметим, что простейшие цепочки (типа RC или RL) описываются дифференциальным уравнениемпервого порядка с постоянным коэффициентом.
При ступенчатом включении внешней силы (т.е. постоянного напряжения) в правой части это уравнение имеет своим решением затухающую экспоненту. Возможны два варианта:Uвых = H(t)e−t/τ , или Uвых = H(t) 1 − e−t/τ ,τ = RC,или τ =LRПоэтому можно сразу сообразить из физических сооображений какой вид решения (переходной характеристики) выбрать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
