С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подставляя их в систему (39, 40) получаем:Zd→ iω,dt → 1/iω.dt1+ iωM I2 = U0 ,I1 iωL1 + R1 +iωC11I2 iωL2 + R2 ++ iωM I1 = 0,iωC2или:R1ωω01L1 ω01 I1+ iωM I2 = U0 ,(41)+i−L1 ω01ω01ωω02R2ω+ iωM I1 = 0(42)L2 ω02 I2+i−Lω02ω02ωЭта система может быть легко решена. Для простоты рассмотрим более подробно простейший случай,когда контуры одинаковы:L1 = L2 = L, C1 = C2 = C, R1 = R2 = R.Обозначим√ω0 = 1/ LC,ξ=ω0ω−,ω0ωδ=R,ω0 Lκ=M ω.L ω0Тогда разделив оба уравнения (41, 42) на ω0 L, можно их переписать в виде:U0,ω0 LiκI1 + (δ + iξ)I2 = 0,Тогда: (δ + iξ)I1 + iκI2 =(43)(44)Комбинируем, исключая I1 .
В результате получаем решение для I2 , через которое можно выразить комплексную амплитуду V0 выходного напряжения и коэффициент передачи K:iκU0(43) × iκ − (44) × (δ + iξ) ⇒ I1 × 0 − κ 2 + (δ + iξ)2 I2 =,ω0 LU0 κ ωω0I2 (ω)Uвых (ω) ==− 2,iωCκ + (δ + iξ)2−κ ω0K(ω) =ω κ 2 + δ2 − ξ2 + 2iδξРассмотрим случай большой добротности, т.е.Q ≡ 1/δ 1,При большой добротности нас будут интересовать только малые расстройки ξ 1. Кроме того, мы можемсчитать, что k ' const.Расписываем квадрат модуля знаменателя N и ищем его экстремумы по переменной ξ:N = (κ 2 + δ2 − ξ2 )2 + 4δ2 ξ2 ,∂ξ N = 2ξ − 2κ 2 − 2δ2 + 2ξ2 + 4δ2 = 0,1Корни (45) : ξ1 = 0, ξ22, 3 = κ 2 − δ2 , δ = .Q(45)(46)Отсюда сразу видно, что при κ < δ коэффициент передачи K(ω) имеет один экстремум, а при κ > δ —три экстремума.Использование комбинации нескольких контуров позволяет сделать полосовой фильтр, частотная характеристика которого показана на рис.
31 справа. Ширина полосы и крутизна фронтов зависит от числаи параметров использованных контуров.4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ|K(ω)|replacementsk>1Qk<1Q34|K(ω)|ωωω0ω1ω2Рис. 31: Коэффициент передачи двух связанных контуров (слева) и коэффицитент передачи полосовогофильтра (справа)R1replacementsC1C2I1MR2L1L2UвхI2UвыхРис. 32: Схема трансформатора4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ35replacementsAБn 2 R1L2R1R2R2 /n2I2I1nU0U0Рис. 33: Две эквивалентные схемы трансформатора.4.7ТрансформаторВ электротехнике трансформатор (см рис.
32) представляет собой устройство для увеличения или уменьшения переменного напряжения. В радиофизике он еще используется и для согласования нагрузок. Рассмотрим его работу подробнее. Опять записываем входное напряжение генератора синусоидального напряжения в комплексной форме U1 (t) = U0 eiωt , а токи в каждом контуре в виде I1 (t) = i1 eiωt , I2 (t) = i2 eiωt .Тогда записывая правило Кирхгофа в каждом контуре, получим систему:(R1 + iωL1 )i1 − iωMi2−iωMi1 + (R2 + iωL2 )i2(47)(48)= U0 ,= 0.Здесь мы для дальнейшего удобства выбрали знак (−) перед коэффициентом взаимоиндукции M.Для штатной работы трансформатора должны быть выполнены три условия:1.
Коэффициент взаимоиндукции M максимален, т.е. M2 ' L1 L2 .2. Индуктивное сопротивление в первом контуре значительно больше активного, т.е. R 1 ωL1 .3. То же самое для второго контура: R2 ωL2 .pИспользуя эти условия, и вводя обозначение n = L2 /L1 , получаем из уравнения (48):i2i1=UL2UL1=MM1'= ,L2 − iR/ωL2ni 2 L2' n.i 1 L1Величина n называется коэффициентом трансформации (это название понятно из последнего равенства).Решаем систему (47,48), учитывая условия штатной работы трансформатора:D∆2I2I1= (R1 + iωL1 )(R2 + iωL2 ) + M2 ω2 == ω2 (M2 − L1 L2 ) + iω(L1 R2 + L2 R1 ) + R1 R2 '' iω(L1 R2 + L2 R1 ),= iMω U0 , ∆1 = U0 R2 + iωL2 ' iL2 ω U0==∆2MU0'=DL1 R 2 + L 2 R 1∆1L2 U 0'=DL1 R 2 + L 2 R 1MU0L1R1 L 2L1 + R 2R2n2U0+ R1nU0,=R2 + n 2 R1n=r(49)(50)L2L1(51)(52)Из выражений (51) и (52) следует, что трансформатор на рис.
47 может быть представлен двумя эквивалентными схемами, изображенными на рис. 33. Можно сказать, что схема слева “приведена к выходу”— она показывает, какой какой эквивалентный генератор действует во вторичной цепи с сопротивлением5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ36R2 . Тогда схему справа можно назвать “приведенной ко входу” — по ней видно, как сопротивление R 2пересчитывается в эквивалентное сопротивление в первичной цепи генератора U 0 .Из (51) мы можем рассчитать напряжение U2 = I2 R2 на нагрузке во вторичной цепи и вычислитькоэффициент передачи напряжения K:K≡I 2 R2nR2=U0R2 + n 2 R1(53)Мы видим, что коэффициент передачи равен коэффициенту трансформации ( K ' n) лишь при достаточно малом сопротивлении в первичной цепи, т.е.
при R2 n2 R1 .В заключение выпишем выражения для мощности во вторичной цепи, соответствующие двум эквивалентным схемам:P2=P2=(nU0 )2 R2I22 R2'22(n2 R1 + R2 )2U20 ×2 R1 +5R2n2R2 2n2— схема A,— схема Б.Теория гармонических спектров сигналовВ радиофизике важным понятием является сигнал. Нестрого сигнал можно определить как новое сообщение, информация. Для передачи сообщения нужен код (язык).Рассмотрим несколько примеров.1.— азбука Морзе.2. Двоичная (битовая) система: “0” — нет. “1” — да.3. В 1957 г.
был запущен в СССР первый в мире спутник. Он подавал сигналы, похожие на морзянку,но в длительности сигнала и паузы содержалась информация о давлении и температуре на бортуPSfrag replacementsτ1 ∼ p Hgτ 2 ∼ t◦ C4. Самым распространенным случаем является запись информации изменением параметров “синусоидальной” несущей. Можно записывать информацию,меняя амплитуду (АМ — амплитудно-модулированный сигнал),меняя частоту или фазу (ЧМ, ФМ — частотно- или фазово-модулированный сигнал).Если относительная величина модуляции мала ( m 1), то гармонические функции удобны дляанализа.
Поэтому нам понадобятся сведения о Фурье-анализе.PSfrag replacementsАМФМ5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ37PSfrag replacementsnf antτ0τ1ω03ω0n∗ ω0 ' τ0 /tau1treplacementsfnτ0ω03ω0ω0 ' τ0 /tau1n∗nτ1Рис. 34: График периодической функции (слева) и ее гармоники (справа).5.1Ряд ФурьеЕсли f(t) – “хорошая” 6 периодическая функция с периодом τ0 = 2π/ω0 , то ее можно разложить в рядФурье (ниже приводятся несколько форм записи ряда Фурье):f(t) =f(t) =n=∞Xa0+(an cos(nω0 t) + bn sin(nω0 t)) ,2a0+2cn =anbn==f(t) =2τ02τ0n=1n=∞Xcn sin(nω0 t + φn ),n=1qa2n + b2n ,Z τ0 /2an,bntgφn =f(t) cos(nω0 t) dt,−τ0 /2Z τ0 /2f(t) sin(nω0 t) dt,−τ0 /2n=∞XC̃n einω0 t ,C̃n =n=−∞1τ0Z τ0 /2f(t)e−inω0 t dt.−τ0 /2Рассмотрим в качестве примера разложение в ряд Фурье периодической фунции, изображенной нарис.
34 слева. Нетрудно видеть, что из-за ее четности отличны от нуля будут только коэффициенты a n ,которые равны sin πnτ1τ0τ1an = 2f0πnτ1τ0τ0На рис. 34 справа изображен график гармоник Фурье (линейчатый, дискретный эквидистантныйспектр). Основная часть спектра лежит в области n ≤ n∗ ' ττ01 . Можно показать, что если n∗ 1,то более 90% энергии спектра приходится на гармоники с номерами n < n∗ :, n=∞∗n=nXXa2na2n ' 0.9n=1n=1Можно переформулировать это утверждение на частотном языке: более 90% энергии спектра приходитсяна гармоники с частотами лежащими в полосе от нуля до 1/τ1 Гц. (Номеру n∗ соответствует частотаω∗ ' n∗ ω0 = 2π/τ1 .)Из выше приведенного примера следует, что при увеличении τ0 спектр становится плотнее и в пределеτ0 → ∞ переходим к интегралу Фурье (преобразованию Фурье).6 Ееабсолютная величина должна быть интегрируема на отрезке от −τ 0 /2 до τ0 /25ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВτ0 ⇒ τ0 /2ann ∗ ω0replacements38n ∗ ω0ωω0ωω03ω0Рис. 35: При увеличении скважности τ0 прямоугольных импульсов, изображенных на рис.
34 (импульсыидут реже) — частотные гармоники располагаются чаще (∆ω меньше). В пределе n → ∞ — интегралФурье. Характерная частота ω∗ не меняется.πn∗ τ1τ0ω∗→= π= n ∗ ω0 =n∗ '2π,τ1τ0,τ1∆ω '2πτ0При увеличении τ0 (импульсы идут реже) — гармоники чаще (∆ω меньше). В пределе n → ∞ — интегралФурье. Подчеркнем, что при этом характерная частота ω∗ не меняется.5.2Преобразование ФурьеИзвестно, что любую достаточно “хорошую” 7 функцию F(t) можно разложить в интеграл Фурье:F(t) =Z∞F(ω)eiωt−∞F(ω) =Z∞dω,2π(54)(55)F(t)e−iωt dt.−∞Обычно саму функцию F(t) и ее Фурье-образ F(ω) обозначают одной буквой. Это не должно привестик недоразумению, т.к.
аргумент (t или ω) указывает на то, что имеется в виду 8 .В качестве продолжения примера предыдущего раздела вычислим преобразование Фурье прямоугольного импульса амплитуды U0 и длительности τ:U(ω) = U0Z τ/2−τ/2e−iωt dt = ωτ τ,× sinc22sinc (x) ≡sin xxПриведем основные свойства рядов и интегралов Фурье:F1 (t) + F2 (t) + F3 (t) ⇐⇒ F1 (ω) + F2 (ω) + F3 (ω),7 ЕеαF(t) ⇐⇒ αF(ω), α − constdF(t)⇐⇒ iω × F(ω),Z dtF(ω)F(t) dt ⇐⇒,iωабсолютная величина должна быть интегрируема на интервале от −∞ до ∞.что иногда коэффициент 1/2π в формулах для преобразования Фурье распределяют иначе, например:Z∞Z∞dωdtF(t) =F(ω) eiωt √ , F(ω) =F(t) e−iωt √ .2π2π−∞−∞8 Заметим,Встречаются и другие варианты. Мы будем пользоваться определением (54, 55).(56)(57)(58)(59)5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВF(βt)⇐⇒1Fβωβ,39β − const(60)F(t − τ) ⇐⇒ F(ω)eiωτ , τ − constZ∞dωW=,F2 (t) dt=F2 (ω)2π−∞−∞f(ω − ω0 ) f(ω + ω0 )F(t) = f(t) cos(ω0 t) ⇐⇒ F(ω) =+.22Z∞(61)(62)(63)Дадим доказательства некоторых свойств интегралов Фурье, приведенных выше.Докажем теорему (58) о Фурье-образе производной:Z∞ hZ∞iiωtiωF(ω) eiωt dω.F(ω) edω =∂t F(t) = ∂t−∞−∞Докажем теорему (60):Fβ (ω) =Z∞F(βt) e−iωtdt =−∞Z∞F(βt) ed(βt)1= Fββ−i(ω/β) βt−∞ωβ,Докажем теорему (61) о сдвиге времени:Z∞Z∞Fτ (ω) =F(t − τ) e−iωt dt =F(y) e−iωy e−iωτ dy = F(ω) e−iωτ−∞−∞Выведем соотношения (62) для энергии сигнала.
Для этого используем то, что функция F(t)действительнаZ∞Z∞F(ω) eiωt dt = F∗ (t) =F∗ (ω) e−iωt dt(64)F(t) =−∞−∞и подставим F(t) в (62):Z∞ Z∞ Z∞dω dω 0dt =(2π)2−∞ −∞ −∞Z∞ Z∞dω dω 0=F(ω) F∗ (ω 0 ) 2π δ(ω − ω 0 )=(2π)2−∞ −∞Z∞F(ω)2 dω .=2π−∞Z∞Справка:eiαx dx = 2π δ(α).W=F(ω) eiωt F∗ (ω 0 ) e−iω0t−∞Докажем теорему (63) о переносе спектра:Z∞1 iω0 te+ e−iω0 t e−iωt dt =F(ω) =f(t)2−∞Z1 ∞=f(t) e−i(ω−ω0 )t + e−i(ω+ω0 )t dt =2 −∞f(ω − ω0 ) f(ω + ω0 )=+225.3Обобщенные функцииРассмотрим некоторые математические тонкости преобразования Фурье для дельта-функции и функцииХевисайда, а также связь между ними.5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ5.3.140Дельта-функция и Фурье образДельта-функция δ(t) является обощенной функцией и математически она определяется так:Z∞1f(x − 0) + f(x + 0) ,f(τ) δ(x − τ) dτ =2−∞где f(x) — произвольная кусочно-непрерывная функция.Для физика полезно предствить дельта-функцию в виде предела некоторой обычной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
