В.А. Магницкий - Общая геофизика (скан) (1119281), страница 14
Текст из файла (страница 14)
[4 )б~ г2 Далее в соответствии с (4.10) получим значения элементов геомаг- нитного поля на поверхности Земли (г= Я). Дифференцирование производится в сферической системе координат: Х= — = я соБΠ— 1я 'соБЛ+Ь 'япЛ соБО о где 1 д11 У = — . — = (у 'япЛ вЂ” 6 'совй, г я'аО дЛ 1 й = — — = 2 Я~сов О+ (в 'сов1+ Ь,'в!пА) в!и О~. д11 дг Система (4.17) — основные уравнения теории Симонова, которь~с представляют аналитические зависимости геомагнитного поля от коорди нат поверх ности ых точек. Естественно, что расположение реального земного диполя нам неизвестно, поэтому неизвестны и значения коэффициентов я1, д, ', п~ '. 73 Х = д~ яп й = — сов р; У = 0; М з (4.18) Е = 2ф соз О = — яп р.
2М ~з Магнитное склонение .0 в этом случае равно нулю, а магнитное наклонение Х имеет простую связь с географической широтой: 18~ = У = 2 1а р. (4.19) Х2+ У2 В 1838 г. К. Гауссом была создана общая теория аналитического представления геомагнитного поля как функции координат точек земной поверхности. Теория Гаусса не ограничивалась какой-либо конкретной моделью поля, как это имело место в теории Симонова. В основе теории Гаусса было только предположение о том, что источники геомагнитного поля находятся внутри земного шара и имеют потенциальный характер, т.е.
Н = — ягад К Рассмотрим уравнения (4.9). Подставив во второе уравнение выражение для В с учетом того, что Н = — ягас1 У, получим с11ч В = иосИчагас1 ~У+ иос11~1 = О. (4.20) Положим, что с11ч 1 равна некоторой плотности фиктивных магнит- ных зарядов р. Тогда из (4.20) получаем уравнение Пуассона ч~У = р (х, у, г). (4.21) При р = 0 (отсутствие магнитных зарядов) оно переходит в уравнение Лапласа Чг(~ (4.22) Считая, что земной шар обладает намагниченностью 1 с произвольным распределением ее величины и направления, и используя решения уравнений (4.21) и (4.22) в сферической системе координат 74 Однако эти коэффициенты могут быть рассчитаны из уравнений (4.16), если известны из измерений Х, У, Е и координаты О = =~~/2 — у и А точек, в которых производились измерения. А зная значения я0, я,', Ь ', можно рассчитать поле в любой точке земной поверхности! Более простая модель геомагнитного поля получается в случае, если ось диполя совпадает с осью вращения Земли.
При этом геомагнитный полюс совпадает с географическим, поэтому у0 = ~42, а О0 — — О. Согласно уравнению (4.15), получаем следующие значения элементов поля для осесимметричного диполя: (г, О, А), Гаусс получил следующее выражение для магнитного по- тенциала: ~1л+2 (( = ~, ~ (В"„'СОВ Пй + )Втп(Пой) Р"„'(СОВ й), (423! л=1 т=О г где Я вЂ” радиус Земли, ~~т, Ьт — постоянные коэффициенты: в (и + РР1) 1 Я л+2 ~ Ьт (и-т). 'Св л (а+ щ) 1 1~и+2 ! г' Рт (соз О') яа ий' Ыт.
(4.25) В этих уравнениях г', О', А' — сферические координаты для магнитных масс, находящихся внутри земного шара, йи — дифференциал этих масс. Так как распределение магнитных масс нам неизвестно, но оно, естественно, постоянно, то )~т„, Ьт суть постоянные коэффициенты, которые определяются, как это будет показано ниже, на основе измерений элементов геомагнитного поля. Далее в (4.24) и (4.25) Сл 1 пРи гл О и Си=2 пРи гп > О, Р~~(созе') иРт(соз О) в. (4.23) — присоединенные функции Лежандра: 2 Р2 ~ Рп (соз О) Р'„" (сов Й) = (тп Й) (К (созЭ)т где в свою очередь Рл (соз О) — полиномы Лежандра: (4.2б) дУ с~ тъ ЙРт соз О Х = — — = — К ~ я соз ий + Ьт з1а л1 "1 где и сЮ л=1 т=О () л У= — . С, ! = ~ ~ (тйвпв(пой — т(вв совой)Рт(совО), (428! гяа " и=1 т=О о и е = — — = 2 ~ (п + () (4'„псов пй + Й~ в1п пй) Р~(сов й).
и=1 т=О 75 1 ап 2 и Рл (соз О)— соз Π— 1 . (4.27) 2пп1 И(соз О)п Дифференцируя (4.23) по соответствующим сферическим координатам, получим выражения для элементов геомагнитного поля, которыми и исчерпывается теория Гаусса. После дифференцирования положим г - Я и найдем значения элементов на поверхности Земли: Это разложение магнитного потенциала в бесконечный-ряд-по сфери-- ческим функциям, каковыми являются функции Лежандра, получило название сферического гармонического анализа.
Уравнения (4.28) позволяют вычислить значения Х, У, Е для любой точки земной поверхности, если известны у'„и и Ь~, которые могут быть рассчитаны на основе измерений Х, У, Е в ограниченном числе точек. Для практического пользования (4.28) необходимо ограничиться конечным числом и членов.
При этом число Ж постоянных коэффициентов я и Ь будет равно Ж = и (и+ 2). Для расчета Ж коэффициентов необходимо иметь Ж уравнений, т.е. иметь измеренные значения трех компонентов поля в М/3 точках или значения одной компоненты в Ж точках. Случайные влияния местных аномалий или погрешности измерений могут исказить результат, поэтому для большей достоверности необходимо брать число уравнений (и число измерений), превышающее число неизвестных. Гаусс, ограничиваясь членами четвертого порядка (и = 4), определил 24 коэффициента по наблюдениям трех компонент в 12 точках, т.е. решил Зб уравнений с 24 неизвестными способом наименьших квадратов. Практическое значение теория Гаусса может иметь только в том случае, если ряды (4.28) будут достаточно быстро сходиться.
Многочисленные сферические гармонические анализы, проводившиеся со времен Гаусса до наших дней, показали, что значения д и Ь с ростом и уменьшаются и начиная с и > 8 они находятся в пределах погрешностей измерений и расчетов. СТРУКТУРА И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАВНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ Как показал анализ рядов (4.28), члены ряда с и = 1 соответствуют полю геомагнитного диполя. Вид выражений для Х, У, У при и = 1 аналогичен виду уравнений (4.17) теории Симонова с одной только разницей: в теории Симонова предполагалась однородная намагниченность Земли, в теории Гаусса — неоднородная.
Член ряда Гаусса с и = 2 соответствует полю квадруполя (два диполя) и так далее: член с любым и описывает поле мультиполя соответствующего порядка. Сферические гармонические анализы показали, что главное геомагнитное поле состоит из дипольной части (более 80%) и недипольной (рис.
4.7). Чтобы получить недипольную часть, нужно из главного поля вычесть дипольное поле, рассчитанное по формулам (4.17). Недипольное поле называют также полем мировых аномалий или остаточным полем (рис. 4.8). Описание главного поля с помощью 76 й х Ъ эс М Ю 2~', ф Й. Й 'Ф о ~ ~ х ~ о Ю й" 2 ~ Ф ~м~ а1 ~4 а о л й ЯЙ о Д ~ х у 4Э о ~ ~ о Ф Я ф ж Ф3 Сч 4ф м, о ю Ф о ~ % 'а ~и ~ф а~ М р,а й Ю О х ~ м с3 О ~й ! 1 Ю 1 Э. е о ! Юв ! ! Ю, о -+ а ! ! о а ! .с, ~О О~ х о х й М О Е о Ф о Я Й х й о Я 6Ф й 2 о й й о М 1 й Р 63 х 4 о й й х сферического анализа будет тем точнее, чем больше мультиполей все более высокого порядка (но не более чем и = 10), расположенных в центре Земли, будет учтено при построении соответствующих рядов.
Помимо главного поля вклад в полное поле, наблюдающееся на поверхности Земли, дают еще аномальное поле и внешнее электромагнитное поле. Однако сферический анализ не отражает этих полей, так как они очень малы по сравнению с главным. Таким образом, уравнения (4,28) до настоящего времени могут быть использованы только для анализа главного геомагнитного поля и его вековых вариаций, Пользуясь формулами (4,17), можно определить основные характеристики дипольной части поля, которая, по существу, является основной частью геомагнитного поля.
Уравнения (4.15) для коэффициентов уо~, я ', Ь ' можно переписать в виде я" = — соз О ' я ' = — яп О соз Я; М, М 1 ~3 О' 1 ~13 О О' Ь'= — яппи яппи. М 1 „3 О О' (4.29) Если на основе измерения Х, г, Е и решения уравнений (4.17) эти коэффициенты найдены, то, согласно (4.29), можно рассчитать вели- чину М магнитного момента Земли и координаты дипольного (гео- магнитного) полюса (")О, АО.
м= я'~®'»- (~, )'+ (а,')~) 2, 2 3/2 'Еео= ~(Кь') + ("~) /87 'И~о="~'~~~' (431> Так как географическая широта рО = ч~г — ОО, то Фг0 =а1/~(и,') + (~~') ] (4.32) полями других планет. Величина современного дипольного магнитного момента М = = 8 10~~ А м (в СИ), координаты северного геомагнитного полюса ~рΠ—— 78,5 с.ш., АО = 70' з.д. Геомагнитный полюс — условная точка пересечения оси диполя с поверхностью Земли — не совпадает с истинным магнитным полюсом, координаты которого у~О = 75 с.ш., 1О = 100' з.д.
В табл. 4 дано сравнение магнитного поля Земли с Пользуясь формулой-(4.-30), можно определить среднюю намагниченность Земли: г,г,г ~г ~ = Л~Г ~' = ~~~~~) (8~~ + 8] + "~ ' (4.33) она равна 72 А м . Такая величина 1 встречается на изверженных горных породах, содержащих сильномагнитные магнетиты. Однако высокие магнитные свойства магнетита сохраняются только до температур, не превышающих точку Кюри магнетита, равную 580'С. В связи с тем что с глубиной температура вещества Земли повышается, сильномагнитные породы могут находиться только на сравнительно небольших глубинах от поверхности Земли, не глубже 100 км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
