В.А. Магницкий - Общая геофизика (1119278), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В последнем случаеони называются мировыми картами. Чем меньше масштаб карт, темменее точно передаются на картах особенности действительного распределения магнитного поля. Мировые карты следует рассматриватькак картины некоторого среднего распределения элементов геомагнитного поля (рис. 4.2-4.4).После того как установлено (в каком-то приближении, разумеется) распределение геомагнитного поля, следующей задачей исследования является установление аналитической зависимости элементовполя от координат точек земной поверхности. Это может быть сделано при известных механизмах генерации поля или закономерностяхего распределения.Первым принципиальные соображения о происхождении геомагнитного поля высказал в 1600 г. У.
Гильберт в книге “О магните,магнитных телах и о большом магните — Земле”. Он предположил,что геомагнитное поле возникает вследствие того, что земной шарнамагничен. Ранее считалось, что магнитная стрелка компаса притягивается Полярной звездой. Только после работ У. Гильберта ученыестали искать причины происхождения магнитного поля в особенностях строения земного шара.Первую попытку аналитического представления зависимости геомагнитного поля от географических координат предпринял профессорКазанского университета И.М.
Симонов в 1835 г. Он использовалидею У. Гильберта о намагниченном шаре. Однородно намагниченный шар создает вокруг себя распределение магнитного поля, аналогичное полю магнитного диполя. Магнитным диполем по аналогиис электрическим называется система двух очень близко расположенных фиктивных магнитных зарядов.В связи с тем что вековые изменения поля происходят сравнительно медленно (периоды вековых вариаций составляют сотни и тысячилет), в первом приближении геомагнитное поле можно считать стационарным и для его описания использовать соответствующие уравнения Максвелла:rot Н = 0;div В = 0;В = /г0 ^ Н + I ^ ,(4 9)ще Н — напряженность, В — индукция магнитного поля, I —намагниченность (магнитный момент единицы объема вещества),= 4jt • 107 Гн • м” 1.Согласно первому уравнению, учитывая, что rot grad s 0, можно следующим образом выразить Н:Н = - grad £/,(4.10)ще U — скалярная функция, называемая магнитным потенциалом.68Рис.
4.2. Мировая магнитная карта склонения DРис. 4.3. Мировая магнитная карта наклонения J4.4. Мировая карта вертикальной составляющей Z для эпохи 1985 г. Сплошные линии — положительные величины Z и Z - 0 (личащая со штриховкой). Штриховые линии — отрицательные величины Z. Интервалы между изолиниями равны 4000 нТ± 40 ООО нТл и 2000 нТл для Z > ± 40 000 нТл (по Jacobs)Итак, чтобы найти //, надо знать выражение для магнитного потенциала. Магнитный потенциал диполя (рис.
4.5) в точке Q (х, у, z) равена д --»(4.11)(7 - 7 ) .Разложим это выражение в ряд Тейлора по г' и ограничимся двумячленами, учитывая, что / « г (г2 = X2 + у2 + Z2) :г = 7 + /* ^ ( т - ) + /^ ( тПодставим (4.12) в (4.11) и учтем, чтод ( 1|d * l r j -')(I(4.12)cos (лс, г),3-,2:cos (z, г)г2( * ) 'Так как магнитный момент М = т 1, окончательно получаемcos (у, л) _д_Р’ dzU(Q) = ——г cos (р = -7 cos у.(4.13)г*Предположим, что в центре Земли под углом к оси вращениярасположен магнитный диполь (рис.
4.6). Точка Р с координатамиФо* ^0 — геомагнитный полюс, N — географический полюс, Q(<p, А) —точка, в которой мы ищем выражение для U и соответственно дляэлементов геомагнитного поля.Для того чтобы рассматриватьмодель Земли в сферическойсистеме координат, введем угол0 = K/i —<р, который являетсядополнением до географической широты. Тогда длина дугиNQ — 0 , длина NP = 0 О, длинадуги PQ = у.+Л7Рис.
4.5. Схема магнитного диполя: +ш,-щ — фиктивные магнитные заряды, / — расстояние между нимиРис. 4.6. Схема земного магнитного диполя(по Б.М. Яновскому, 1978)Согласно теореме косинусов сферической тригонометрии, cos у == cos © cos ©q + sin © sin ©0 cos (A —A0). С учетом этого запишемвыражение для магнитного потенциала земного диполя:тт ММU = - у cos у =cos 0 cos ©0 + sin © sin ©0 cos A cos AQ+Iг(4.14>+ sin © sin ©0 sin A sinA0Учтем, чтоM = /К = | л Л 3/,где / — однородная намагниченность земного шара, R — его радиус.Введем обозначения:« р -1 , ■ 4= 3 л1 C0S ®0’ ^ = 3 711 sinC0S(4.15)Aj; =sin ©о sinA0.Очевидно, что £ р £ |\ Л |' являются постоянными величинами дляданного расположения диполя.
Окончательно выражение для U сферической Земли будет таким:U=jVj* cos © +' cos A + h x' sin A^ sin©j.(4.16'Далее в соответствии с (4.10) получим значения элементов геомагнитного поля на поверхности Земли (г = /?). Дифференцированиепроизводится в сферической системе координат:X = -~Y =Z= —дг---------.cos в “ («Г cos А + h {' sin А^ cos ©j ,--г =r sin © d A/ # , ' sin A -\dl/t/cosA ^,1J= 2 $ cos © + (gj' cos A + h{' sin A^ sin( 4. 17)©j.Система (4.17) — основные уравнения теории Симонова, которыепредставляют аналитические зависимости геомагнитного поля от координат поверхностных точек.Естественно, что расположение реального земного диполя нам неизвестно, поэтому неизвестны и значения коэффициентов gp ^ \Однако эти коэффициенты могут быть рассчитаны из уравнений(4.16), если известны из измерений X, У, Z и координаты 0 == л/2 — <р и Я точек, в которых производились измерения. А знаязначения g p £ i',A j \ можно рассчитать поле в любой точке земнойповерхности!Более простая модель геомагнитного поля получается в случае,если ось диполя совпадает с осью вращения Земли.
При этом геомагнитный полюс совпадает с географическим, поэтому (р0 = V2,a ©Q = 0. Согласно уравнению (4.15), получаем следующие значенияэлементов поля для осесимметричного диполя:X = $ sin 0 = ^/?„0ад.cos (р;2МY = 0;.Z = 2gV cos © = —R i5- sm ф .(418)Магнитное склонение D в этом случае равно нулю, а магнитноенаклонение J имеет простую связь с географической широтой:(4.19)tg / = -}— ----- j = 2 tg <р.УХ2 + Y2В 1838 г. К.
Гауссом была создана общая теория аналитическогопредставления геомагнитного поля как функции координат точекземной поверхности. Теория Гаусса не ограничивалась какой-либоконкретной моделью поля, как это имело место в теории Симонова.В основе теории Гаусса было только предположение о том, что источники геомагнитного поля находятся внутри земного шара и имеютпотенциальный характер, т.е. Н = - grad U.Рассмотрим уравнения (4.9).
Подставив во второе уравнение выражение для В с учетом того, что Н = - grad U, получимdiv В = - /и0 div grad U + fi0 div I = 0.(4.20)Положим, что div I равна некоторой плотности фиктивных магнитных зарядов /о. Тогда из (4.20) получаем уравнение ПуассонаV2U = р (дс, у, z).(4.21)При р = 0 (отсутствие магнитных зарядов) оно переходит в уравнение ЛапласаV2t/ = 0.(4.22)Считая, что земной шар обладает намагниченностью / с произвольным распределением ее величины и направления, и используя решения уравнений (4.21) и (4.22) в сферической системе координат(г, в ,Л ), Гаусс получил следующее выражение для магнитного потенциала:* " Rn+2 ,VU = 2 ) 2 ) Тл+Т (^COS'WA + A^sinmAj /^ (c o s O ),я=1 w=o г 1\/ще(4.23)— радиус Земли, gJJ1, к™ — постоянные коэффициенты:m _ (я - от) ! с пп(п + т) ! ц л+2r’nP™(cos 0 ') cos тХ' dm ,(4.24),.т _ (Я ~ « ) ! СПЛ (л + т ) ! д я+2r 'V ? (cos 0 ') sin wA' dm.(4.25)В этих уравнениях г', 0',Л ' — сферические координаты для магнитных масс, находящихся внутри земного шара, dm — дифференциалэтих масс.
Так как распределение магнитных масс нам неизвестно,но оно, естественно, постоянно, тоh™ суть постоянные коэффициенты, которые определяются, как это будет показано ниже, наоснове измерений элементов геомагнитного поля. Далее в (4.24)и (4.25) Сп = 1 при т = 0 и Сп = 2 при т > О,(cos 0 ;) и Р™ (cos ©)в (4.23) — присоединенные функции Лежандра:/ ~ \V2 dm pn (cosQ)Р% (cos 0 ) = (sin2 0 ) ------ ^,"V1d (cos©)(4.26)ще в свою очередь Рп (cos 0 ) — полиномы Лежандра:Рп (cos 0 ) = —*----------4— — (cos2 0 - 1) "."2 п ! d (cos ©) '’(4.27)Дифференцируя (4.23) по соответствующим сферическим координатам, получим выражения для элементов геомагнитного поля, которыми и исчерпывается теория Гаусса. После дифференцированияположим r = R и найдем значения элементов на поверхности Земли:" "гд0 = - 2 2 ( « ? cosn=l m = 0 'У= -dU> sin ©ад = 2 2/(mC s i n - mC c o s шя]P%(cos©), (4.28)'n=lm=0'z — O L=.
2"+ hn sin m^ ) dp d®2 * (« + 1) f e 1cos mA + A™sin mA^ 7>™(cos ©).n= 1 m =0''ncЭто разложение магнитного потенциала в бесконечный рад по сферическим функциям, каковыми являются функции Лежандра, получило название сферического гармонического анализа. Уравнения (4.28)позволяют вычислить значения Х у У, Z для любой точки земной поверхности, если известны gJJ1 и А™, которые могут быть рассчитаны наоснове измерений X , У, Z в ограниченном числе точек. Для практического пользования (4.28) необходимо ограничиться конечным числомп членов.
При этом число N постоянных коэффициентов g и h будет равно N = п (п + 2). Для расчета N коэффициентов необходимоиметь N уравнений, т.е. иметь измеренные значения трех компонентов поля в N / 3 точках или значения одной компоненты в Nточках.Случайные влияния местных аномалий или погрешности измерений могут исказить результат, поэтому для большей достоверностинеобходимо брать число уравнений (и число измерений), превышающее число неизвестных.
Гаусс, ограничиваясь членами четвертогопорядка (п = 4), определил 24 коэффициента по наблюдениям трехкомпонент в 12 точках, т.е. решил 36 уравнений с 24 неизвестнымиспособом наименьших квадратов.Практическое значение теория Гаусса может иметь только в томслучае, если ряды (4.28) будут достаточно быстро сходиться. Многочисленные сферические гармонические анализы, проводившиеся современ Гаусса до наших дней, показали, что значения g и h с ростомп уменьшаются и начиная с п > 8 они находятся в пределах погрешностей измерений и расчетов.СТРУ КТУРА И ОСНОВНЫ Е ХАРАК ТЕРИ С ТИ К ИГЛАВНОГО М АГН ИТН ОГО П ОЛЯКак показал анализ рядов (4.28), члены ряда с п = 1 соответствуютнолю геомагнитного диполя.
Вид выражений для Х> У, Z при п = 1аналогичен виду уравнений (4.17) теории Симонова с одной толькоразницей: в теории Симонова предполагалась однородная намагниченность Земли, в теории Гаусса — неоднородная. Член ряда Гаусса сп = 2 соответствует полю квадруполя (два диполя) и так далее: членс любым п описывает поле мультиполя соответствующего порядка.Сферические гармонические анализы показали, что главное геомагнитное поле состоит из дипольной части (более 80%) и недипольной(рис. 4.7). Чтобы получить недипольную часть, нужно из главногополя вычесть дипольное поле, рассчитанное по формулам (4.17).Недипольное поле называют также полем мировых аномалий илиостаточным полем (рис.
4.8). Описание главного поля с помощьюРис. 4.7. Соответствие различных моделей главного геомагнитного поля реальному, полученному по даннымПаркинсону, 1986): 1 — аксиальный диполь, 2 — наклоненный диполь, 3 — квадруполь, 4 — октупольизмерений(кружки)(поРис. 4.8. Недипольная часть z-компонентыглавного геомагнитного поля (по Паркинсону, 1986)сферического анализа будет тем точнее, чем больше мультиполейвсе более высокого порядка (но не более чем п = 10), расположенных в центре Земли, будет учтено при построении соответствующихрядов.Помимо главного поля вклад в полное поле, наблюдающееся наповерхности Земли, дают еще аномальное поле и внешнее электромагнитное поле. Однако сферический анализ не отражает этихполей, так как они очень малы по сравнению с главным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
