KURS3A (1118022), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Мы рассматривали все свойства дифференциальных уравнений, если решение определено на конечном интервале . Возникает вопрос, что будет с непрерывностью по начальным данным при . Это и входит в теорию устойчивости.

Имеем задачу Коши - решение.

Изменим начальные данные на малую величину

.

Следовательно, , при конечном имеем

,

а при для имеем и .

Ясно,что безразлично какие начальные . Поэтому в дальнейшем рассматриваем .Причем, изучаем , т.е. задача Коши для

(25.1)

т.е. =0 является решением (25.1).

Таким образом, вопрос об устойчивости связан с тем: остается ли решение на фазовой плоскости в окрестности точки покоя( =0) или выходит из нее.

О п р е д е л е н и е.

Решение задачи (25.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для такое, что при для всех cправедливо неравенство

(25.2)

и асимптотически устойчивым, если кроме устойчивости выполняется условие: такое, что при

(25.3)

Исследуем устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами. Для исследования некобходимо иметь оценки по норме, которые даются в лемме 25.1.

Справедливы следующие оценки:

1. .

Если , то

(25.4)

2. ,

тогда . (25.5)

3. . (25.6)

4. (25.7)

5. Для импульсной функции формулы (21.2) справедливо неравенство

, (25.8)

где - положительная постоянная.

До к а з а т е л ь с т в о.

1.

.

.

3.

4.

5. Переход к новой переменной в задаче ,

приходим к .

Тогда

Характеристики

Список файлов лекций