Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (1118012), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Качественные и приближенные методы составляют основное содержаниесовременной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Пример 1.ДвижениематериальнойточкимассыmподдействиемсилыF ( r ) = { Fx ( x ) , Fy ( y ) , Fz ( z )} , которая зависит только от положения точки (не зависит явно отвремени), а каждая декартова проекция силы зависит только от соответствующей проекциирадиуса–вектора.
Уравнения движения имеют вид••m r = F (r )или в координатах••••••m x = Fx ( x ) ,m y = Fy ( y ) ,m z = Fz ( z ) .Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах. Рассмотрим,например первое из них и проделаем следующие выкладки••m x = Fx ( x )222•1 d ⎛•⎞1dx221⎛•⎞⎛•⎞xFxdxFxdx=>=>==x x = Fx ( x ) x =>()()⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x ⎟ = ∫ Fx ( x ) dx + C1xx2 dt ⎝ ⎠mdtmm⎝ ⎠ m⎝ ⎠• ••1/ 2•⎛2⎞x = ± ⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠1/ 2=>dx⎛2⎞= ± ⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟dt⎝m⎠t + C2 = ± ∫=> dt = ±dx1/ 2⎛2⎞⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠Если заданы начальные условия••x(t0 ) = x0 , x(t0 ) = x0 ,то решение задачи выражается в квадратурах и имеет вид.dx1/ 2⎛2⎞⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠dξxt − t0 = ± ∫1/ 2ξ• ⎞x0 ⎛ 2⎜ ∫ Fx (η ) dη + x02 ⎟⎜mx⎟⎝ 0⎠.Пример 2.Решение уравнения y′ = y 2 − x нельзя записать в виде интеграла от элементарнойфункции, т.е. в квадратурах.§3.Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальныхуравнений.
Дополнительные условия.Наряду с ОДУ для постановки задач используют начальные и граничные условия,количество и вид которых определяются «физической» постановкой задачи.10.Начальная задача (задача Коши) (Огюстен Луи Коши (1789-1857) - французский математик):( n)y ( x) = f x, J n −1 y(J n −1 y ( x0 ) = Y 0Пример 1.)илиy ( x0 ) = Y00 , y′( x0 ) = Y10 ,… , y (n −1)( x0 ) = Yn0−1–начальные условия.Рассмотрим задачу Коши2dy= y3.dxy (0) = 13⎛ x+3⎞Ее решение y = ⎜⎟ – существует и единственно.⎝ 3 ⎠Пример 2.Рассмотрим задачу Коши2dy= y3dxy (0) = 03⎛ x⎞Решениями этой задачи являются функции y = ⎜ ⎟ и y = 0 , т.е.
решение существует, но не⎝3⎠единственно.20.Краевая задача (2-х точечная):y′′( x) = f ( x, y, y′ ) ,граничные условия первого рода (задача Дирихле):граничные условия второго рода (задача Неймана):x ∈ ( a, b )y ( a ) = ya ,y′(a ) = ya ,y (b) = yb ;y′(b) = yb ;граничные условия третьего рода:y′(a) + α y ( a ) = ya ,y′(b) + β y (b) = yb ;периодические граничные условия:y (a) = y ( b ) ,y′(a) = y′ ( b )Пример 1.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 1, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ ⇒ y = x (1 − x ) – решение задачи существует и единственно.y (0) = 0, y (1) = 0 ⎪⎭Пример 2.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 1, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ – решение задачи не существует.y′(0) = 0, y′(1) = 0 ⎪⎭Пример 3.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 0, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ ⇒ y = C – задача имеет бесконечное множество решений.y ′(0) = 0, y ′(1) = 0 ⎪⎭30.Периодическая задача.В общем случае задача о периодических решениях – это•задача о нахождении T -периодического решения уравнения x = f ( t , x ) с T -периодической попеременной t правой частью: f ( t , x ) = f ( t + T , x ) .
Эта задача весьма важна в приложениях,поскольку такие решения описывают периодические колебательные процессы в реальныхсистемах, например в механических и электрических устройствах.40.Задача Штурма-Лиувилля (краевая задача на собственные значения).Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный оператор 2-го порядкаd ⎛dy ⎞Ly = ⎜ p ( x) ⎟ − q ( x) y , где коэффициенты p( x) ∈ C1[a, b], p( x) > 0 , q( x) ∈ C[a, b], q( x) ≥ 0 .dx ⎝dx ⎠Поставим вопрос: при каких значениях параметра λ существует нетривиальное решениекраевой задачи ( α12 + α 22 ≠ 0, β12 + β 22 ≠ 0 )Ly + λρ ( x) y = 0⎧,⎨β1 y (b) + β 2 y′(b) = 0⎩α1 y (a) + α 2 y′(a ) = 0,где ρ ( x) ∈ C[a, b], ρ ( x) > 0 .Такая задача называется краевой задачей на собственные значения и собственныефункции для оператора Штурма-Лиувилля (сокращенно – задача Штурма-Лиувилля); числаλn , при которых существуют нетривиальные решения, называются собственнымизначениями, а соответствующие нетривиальные решения – собственными функциями.Пример.Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля⎧ y′′ + λ y = 0, x ∈ ( 0, l ).⎨⎩ y (0) = 0, y (l ) = 0Решение.
В случае λ = − μ 2 < 0 имеем общее решение y ( x) = C1e μ x + C2e − μ x . Учитываяграничные условия, получаем единственное решение y ( x) = 0 , т.е. собственных функций (исобственных значений) нет.y( x) = C1 x + C2 . С учетомВ случае λ = 0 общее решение рассматриваемого уравненияграничных условий получаем y ( x) = 0 – нет собственных функций.Пусть λ = μ 2 > 0 , тогда общее решение уравнения имеет вид y ( x) = C1 sin μ x + C2 cos μ x .Дополнительные условия дают y (0) = 0 ⇒ C2 = 0 , y (l ) = 0 ⇒ C1 sin μl = 0 , откуда получаем2πn⎛πn ⎞, n ∈ N . Следовательно, искомые собственные значения λn = μ = ⎜sin μ l = 0 ⇒ μ n =⎟ ,l⎝ l ⎠πnx.n ∈ N , а отвечающие им собственные функции имеют вид yn ( x) = C sinl2nВ курсе интегральных уравнений доказано следующее утверждение.Теорема (Стеклова).Любая функция f ( x) ∈ C 2 [a, b] , удовлетворяющая однороднымкраевым условиям, представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Фурье поортонормированной с весом ρ ( x) системе собственных функций yn ( x) задачи ШтурмаЛиувилля (с теми же краевыми условиями)∞f ( x ) = ∑ f n yn ( x ) ,n =1bгде коэффициенты Фурье определяются формулой f n = ∫ f ( x) yn ( x) ρ ( x) dx .a§4.Геометрическая интерпретация ОДУ.Графики решенийотносительно производнойy = y( x)скалярногоОДУпервогопорядка,разрешенногоy ′ = f ( x, y ) ,(1)называются его интегральными кривыми.
В геометрических терминах данное уравнениевыражает следующий факт: кривая на (x, y)-плоскости является его интегральной кривой в томи только том случае, когда в любой точке (x0, y0) этой кривой она имеет касательную сугловым коэффициентом k = f(x0, y0).Таким образом, зная правую часть уравнения (1), можно заранее построить касательныеко всем интегральным кривым во всех точках: для этого каждой точке (x0, y0) нужносопоставить проходящую через нее прямую с угловым коэффициентом k = f(x0, y0). Полученноесоответствие между точками плоскости и проходящими через нее прямыми, называется полемнаправлений уравнения (1).Конечно, фактически поле направлений можно построить лишь в виде достаточногустой сетки отрезков с отмеченными на них точками.
После этого задача построенияинтегральных кривых становится похожей на отыскание нужного пути в большом парке,снабженном густой сетью стрелок-указателей.Метод изоклин. Построение поля направлений значительно облегчается предварительнымнахождением изоклин – кривых на (x, y)-плоскости, вдоль которых угловой коэффициент kсохраняет неизменное значение. Уравнение изоклин имеет вид f ( x, y ) = k . Вдоль изоклинотрезок,принадлежащийполюнаправлений,переноситсяпараллельносвоемупервоначальному положению: переход к другой изоклине осуществляется изменением k ипостроением отрезка с новым угловым коэффициентом.Например, для уравнения y′ = x 2 + y 2 изоклины описываются уравнением x 2 + y 2 = k ипредставляют собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат.На рисунке изображены изоклины (синим цветом), поля направлений (черные стрелки) иинтегральные кривые (красные линии).§5.Примеры задач, приводящих к ОДУ.Пример 1: нормальное размножение.
Пусть x — количество особей в некоторойбиологической популяции (например, количество рыб в пруду). При нормальных условиях:достаток пищи, отсутствие хищников и болезней, — скорость размножения пропорциональначислу особей:•x = kx,k > 0.Решение с начальным условием x(t0 ) = x0 имеет вид x(t ) = x0eотношениеx(t + T )= ekTx (T )k ( t −t0 ).
Заметим, что при всех T > 0не зависит от x0 и t . Для населения Земли известен период удвоения T ≈ 40 лет, и можноln 2.определить коэффициент k из соотношения ekT = 2 , т.е. k =TПример 2: радиоактивный распад. Пусть x – количество радиоактивного вещества. Тогдаскорость распада будет пропорциональна количеству этого вещества, т.е.:•x = kx,k <0 .Как и в примере 1, решением с начальным условием x(t0 ) = x0 будет функция x(t ) = x0e ( 0 ) .Время, необходимое для уменьшения количества радиоактивного вещества вдвое, называется1ln 2периодом полураспада и определяется из уравнения e kT = , т.е.
T = −. Для радия-226 онk2составляет 1620 лет, для урана-238 – 4,5 ⋅109 лет.k t −tПример 3: взрыв. В физико-химических задачах часто встречается ситуация, когда скоростьреакции пропорциональна концентрации обоих реагентов. В задачах динамики популяций внекоторых случаях скорость прироста также пропорциональна не количеству особей, аколичеству пар, т.е.•x = kx 2 ,k >0 .В данном случае рост решения происходит гораздо быстрее экспоненциального, ивеличина x(t ) неограниченно возрастает за конечное время: интегральная кривая решения сначальным условием x(0) = x0 описывается формулойВ данном случае рост решения происходит гораздо быстрее экспоненциального, и величинаx(t ) неограниченно возрастает за конечное время: интегральная кривая решения с начальнымусловием x(0) = x0 описывается формулой⎧⎪⎪x(t ) = ⎨⎪⎪⎩11,⋅k 1 −tkx00,и имеет вертикальную асимптоту ("момент взрыва")x0 ≠ 0x0 = 0t=1.kx0Пример 4: уравнения Лагранжа для механических систем. Рассмотрим систему из Nс массами m j , j = 1, 2,..., N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
