Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (1118012)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТН.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. ВолковОсновные понятия теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. Примеры и приложения.Учебно-методическое пособиек курсу лекций «Дифференциальные уравнения»Москва – 2010Введение.Настоящее пособие является вводной частью курса лекций, читаемого на физическомфакультете МГУ.
Основной целью этого пособия является формирование языка общения состудентами, изучающими этот курс, а также иллюстрация введенных понятий на примерах иприложениях.§1.Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.Определение 1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в которомнеизвестная функция находится под знаком производной или дифференциала.Определение 2.Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнениеназывают обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).Примеры.1)Задачу отыскания всех первообразных y( x) для заданной функции f ( x) ∈ C [ a, b]dy= f ( x) . Как известно из курса математического анализа, этоdxотрезке [ a, b ] однопараметрическое семейство решений видаможно записать в виде ОДУ y′ ≡уравнениеимеетнаy ( x, C ) = F ( x ) + C , где F ( x ) – одна из первообразных функции f ( x) , а C ∈ R – вещественныйпараметр.2)Замечательным свойством функции y ( x) = e x является равенство ее своейпроизводной, что позволяет для этой функции записать уравнение y ′ = y .
Заметим, чторешением этого ОДУ является любая функция вида y ( x) = Ce x . Проверьте это самостоятельно.3)Поскольку первая производная координаты по времени в механике называетсяскоростью, то ОДУ, описывающее прямолинейное равномерное движение со скоростью v ,•dxвыглядит как x ≡= v , а его решение, удовлетворяющее начальному условию x ( t0 ) = x0 ,dtимеет вид x ( t ) = x0 + v ( t − t0 ) .4)Аналогично, ОДУ для прямолинейного равноускоренного движения с ускорением••d 2xa записывается в форме x ≡ 2 = a , а его решение, удовлетворяющее начальным условиямdt2•a ( t − t0 )x ( t0 ) = x0 , x ( t0 ) = v0 имеет вид x ( t ) = x0 + v0 ( t − t0 ) +.25)Если в уравнении окружности x 2 + y 2 = R 2 переменные x и y считатьx = x ( t ) , y = y ( t ) параметра t ,дифференцируемыми функциямито последифференцирования обеих частей равенства получится ОДУ, описывающее семейство всехокружностей с центром в начале координат:dyxdxdyxdx + ydy = 0 ,илиили=− .x +y=0,dxydtdtЛегко проверить, что одним из решений этих уравнений является пара функций x(t ) = R sin t ,y(t ) = R cos t .
Очевидно, что это пара функций является также решением следующей системыдифференциальных уравнений:6)⎧•⎪ x = y,⎨•⎪⎩ y = − x.Уравнение малых линейных свободных колебаний в системе без затухания имеет••вид x + ω02 x = 0 . Проверьте, что его решением является функция x(t ) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t , или•••x(t ) = A sin (ω0t + ϕ ) . Убедитесь в том, что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + ω02 x = 0можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −ω02 x1.7)••Уравнение малых линейных свободных затухающих колебаний имеет вид•x + 2γ 0 x + ω02 x = 0 ,0 < γ 0 < ω0 .Проверьте,чтоегорешениемявляетсяфункцияx(t ) = e −γ 0t ( C1 cos ωt + C2 sin ωt ) , или x(t ) = Ae−γ 0t sin (ωt + ϕ ) , где ω = ω02 − γ 02 . Убедитесь в том,••••что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + 2γ 0 x + ω02 x = 0эквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −2γ 0 x2 − ω02 x1.можно сопоставитьОбщий вид ОДУ.
В нашем курсе мы, как правило, будем обозначать значения неизвестнойфункции либо буквой x , тогда независимой переменной будет t , либо буквой y , тогданезависимой переменной будет x . Мы будем также использовать сокращенные обозначения⎛ • ••⎞или J n y = y, y′, y′′,…, yx( n ) .J n x = ⎜ x, x, x, … , xt( n ) ⎟ ,⎝⎠В этом случае произвольное ОДУ с одной неизвестной функцией может быть записано в видеF t, J n x = 0 ,илиF x, J n y = 0(())()Определение 3.Порядком дифференциального уравнения называетсяпорядок входящей в него производной.Например,F x, J 2 y ≡ F ( x, y, y′, y′′ ) = 0–ОДУ 2-го порядка.(наивысший)Определение 4.Уравнением,называется ОДУ видаразрешеннымотносительно(старшейпроизводной,)y ( n ) ( x) = f x, J n −1 y .Определение 4а.
ОДУ, разрешенное относительно старшей производной, правая частькоторого не содержит явно независимой переменной, называется автономным, т.е.y ( n ) ( x) = f J n −1 y .()Определение 5.Нормальной системой ОДУ называют систему дифференциальныхуравнений первого порядка вида⎧ y′1 = f1 ( x, y1 , , yn ),⎪⎪ y′2 = f 2 ( x, y1 , , yn ),,⎨,⎪⎩⎪ y′n = f n ( x, y1 , , yn )или, в векторной форме,y′( x) = f ( x, y ) ,⎛ y1 ( x ) ⎞⎜⎟y2 ( x ) ⎟⎜,y ( x) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn ( x ) ⎠где⎛ y1′ ( x ) ⎞⎜⎟y2′ ( x ) ⎟⎜,y ′( x ) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn′ ( x ) ⎠⎛ f1 ( x, y1 , , yn ) ⎞⎜⎟f ( x, y1 , , yn ) ⎟.f ( x, y ) = ⎜ 2⎜⎟…⎜⎜⎟⎟⎝ f n ( x, y1 , , yn ) ⎠Замечание.
Если правая часть нормальной системы ОДУ не содержит явно независимойпеременной, то ее называют динамической системой.Подчеркнем характерную особенность обыкновенных дифференциальных уравнений,отличающую их от прочих уравнений, содержащих производные неизвестных функций: всенеизвестные должны быть функциями одного вещественного аргумента; все они и ихпроизводные должны входить в уравнение только в виде своих значений в одной и той жепеременной точке, которая также может фигурировать в уравнении.Примеры дифференциальных уравнений, не являющихся ОДУ:1)•x(t ) = x(2t ) ;•2)x(t ) = x(t − 1) –разностное уравнение;3)•уравнение с запаздывающим аргументом или дифференциально-tx(t ) = ∫ x(τ ) dτ –интегро-дифференциальное уравнение.t0Определение 6.Если в ДУ неизвестная функция зависит от нескольких переменных, тотакое уравнение называют дифференциальным уравнением в частных производных.Примеры дифференциальных уравнений в частных производных.1)( A ( r ) , grad u ( r ) ) = F ( r , u ) – уравнение в частных производных 1-го порядка.2)∂ 2u ( r , t )– уравнение колебаний (волновое= div ( k ( r , u, t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t 2уравнение) – уравнение в частных производных 2-го порядка.3)4)∂u ( r , t )–уравнениедиффузии,= div ( k ( r , u, t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t(теплопроводности, Шрёдингера и т.д.) – уравнение в частных производных 2-гопорядка.div ( k ( r , u ) grad u ( r ) ) = − F ( r , u ) – уравнение Пуассона (Лапласа, если F ≡ 0 )уравнение в частных производных 2-го порядка.–5)∂f ( r , v , t )∂f e ⎛1⎞ ∂f+ v + ⎜ E + ⎣⎡v , B ⎦⎤ ⎟ = 0∂t∂r m ⎝c⎠ ∂v– уравнение Власова-Максвелла –уравнение в частных производных 1-го порядка.§2.Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл.Определение 7.Решением ДУобращающих уравнение в тождество.называютфункцию,илисовокупностьфункций,Определение 8.Частное решение ДУ– конкретная функция, удовлетворяющаяуравнению.Например, для ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 частными решениями будут функции y1 = π sin 2 x ,y2 = 2 cos 2 x , y3 = 3sin ( 2 x + π / 4 ) , y4 = 4 cos ( 2 x − π / 6 ) и т.д.Множество решений ОДУ n -го порядка зависит от n произвольных постоянных.Например, множество решений уравнения y′ = f ( x) есть y = F ( x) + C , где F ( x) — некотораяпервообразная функции для f ( x ) , C – произвольная постоянная.Множество решений уравнения в частных производных 1-го порядка определено с точностьюдо произвольной функции.∂u ∂uНапример, множеством решений уравнения−= 0 является любая функция вида∂x ∂yu = f ( x + y ) , где f – произвольная дифференцируемая функция, например u = ( x + y ) m ,u = cos( x + y) , u = sin e x+ y и т.д.
Проверьте это самостоятельно.Определение 9.Общимрешениемдифференциальногоуравненияназываетсясовокупность всех его решений.Например, общее решение ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 может быть записано в видеy = C1 sin 2 x + C2 cos 2 x , или (что одно и то же)произвольные постоянные.y = A sin ( 2 x + ϕ ) , где C1 , C2 , A , ϕ–Определение 10.Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называютинтегрированием ОДУ.Определение 11.Еслиуравнение()Φ x, y , C = 0 ,гдеC = ( C1 , C2 ,…, Cn )–векторпроизвольных параметров, определяет все множество решений соответствующего ДУ, то егоназывают общим интегралом данного ДУ, а полученное из него параметрическое семействорешений также называют общим решением.Замечание. Определенное в 11 общее решение является более узким, по сравнению с 9,поскольку возможны еще особые решения, которые не входят в это семейство ни при какихзначениях параметров.Пример.Рассмотрим уравнение2dy= y 3 .
Проверьте, что его общим решением являетсяdx3⎛ x+C ⎞функция y = ⎜⎟ , а функция y = 0 будет особым решением. Графическая иллюстрация⎝ 3 ⎠приведена на рис. 1.3Рис. 1.2dy⎛ x+C ⎞= y3 , y = ⎜⎟ , y=0dx⎝ 3 ⎠В ряде случаев задача интегрирования ОДУ первого порядка сводится к исследованиюсоответствующей неявной функции с помощью первого интеграла.Определение 12.Функция F ( x, y ) , определенная в области G ⊂ R 2 и не равная в нейпостоянной функции, называется первым интегралом ОДУ первого порядка, если для любогорешения y = ϕ ( x ) этого уравнения, график которого лежит в области G , и для любыхx ∈ ( a, b) существует такая постоянная C такая, что F ( x, ϕ ( x )) = C .Определение первого интеграла естественным образом переносится на системы,например, на динамические системы.Определение 13.Функция V ( x ), {V : R n → R} , определенная и непрерывная в областиD ⊂ R n и не равная постоянной, называется первым интегралом динамической системыdx= f (x)dtв области D , если для любого решения x = ϕ (t ) этой системы существует постоянная C такая,что V ( x (t ) ) = C для всех t ∈ ( a, b) .Аналогично формулируется определение первого интеграла для уравнения n − гопорядка.Определение 14.()Если для любого решения y = ϕ ( x ) ОДУ n -го порядка существует()(функция F x, J ( p ) y такая, что F x, J ( p )ϕ ( x) = const при всех x , то такая функция F x, J ( p ) yназывается первым интегралом ОДУ.)В физических задачах первыми интегралами могут быть энергия, импульс, моментинерции, масса, заряд и т.д.
Некоторые примеры даны в таблице.Уравнениеy′ = f ( x)y′ = −••xyx+ ω x = 020Общий интегралЧастноерешениеОбщее решениеxПервыйинтегралF = consty − ∫ f ( x ) dx − C = 0y = ∫ f ( x ) dx + Cy = ∫ f (ξ )dξy − ∫ f ( x ) dxy 2 + x2 − C = 0y 2 + x2 = Cy 2 + x2 = 1y2 + x2x = cos ω0t⎛•⎞2 2⎜ x ⎟ + ω0 x⎝ ⎠x0x − C1 cos ω0t + C2 sin ω0t = 0 x = C1 cos ω0t + C2 sin ω0tили x − A sin (ω0t + ϕ ) = 0или x = A sin (ω0t + ϕ )2Об интегрировании ОДУ в квадратурах.Выражение общего решения или полногоинтеграла через элементарные функции и интегралы от них (берущихся или не берущихся вэлементарных функциях) называют интегрированием данного ОДУ в квадратурах.Интегрирование в квадратурах допускают лишь уравнения некоторых простейших типов.Большинство же ОДУ можно решать только приближенно или исследовать их качественнымиметодами, то есть методами, позволяющими выяснять свойства решений без явного ихотыскания.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
