Е.Г. Скляренко - Программа экзамена по классической дифференциальной геометрии (1117989)
Текст из файла
Программа экзамена по классической дифференциальной геометрииЛектор — Е. Г. СкляренкоIV семестр, 2005 г.1. Гладкие кривые. Параметризации. Касательная прямая.2. Гладкие поверхности. Способы задания.3. Координаты на поверхности, координатные линии. Карта участка поверхности. Геометрия гладких кривых,касательных векторов в координатах карты (внутренних координатах).4. Замены координат на поверхности, связи между соответствующими картами (диффеоморфизмы карт).Матрица Якоби как матрица перехода для локальных базисов.5. Касательная плоскость, её уравнения при разных способах задания поверхности. Расстояние до касательной плоскости.6. Вектор скорости кривой и длина дуги кривой.
Натуральны параметр.7. Кривизна кривой. Соприкасающиеся плоскость и окружность. Кривизна плоской кривой.8. Трёхгранник Френе и кручение кривой. Формулы Френе.9. геометрический смысл кручения. Вращение трёхгранника Френе.10. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.11. Натуральные уравнения плоских и пространственных кривых.12.
Метрика поверхности (первая квадратичная форма). Длины и углы, площади во внутренних координатах.Зависимость первой квадратичной формы от выбора координат. Её вид при разных способах заданияповерхности.13. Кривизны и центры кривизн линий на поверхности, имеющих общий касательный вектор (теорема Менье).14. Кривизны нормальных сечений поверхности в точке. Главные кривизны и направления.
Вторая квадратичная форма.15. Главные кривизны и направления как инварианты второй квадратичной формы. Формула Эйлера. Гауссова кривизна и её геометрический смысл. Средняя кривизна.16. Вычислительные формулы для главных кривизн и направлений (для различных способов задания поверхностей).17. Координаты на k-поверхностях (геометрических многообразиях) в евклидовом пространстве, локальныебазисы.
Карты участков многообразия, замены координат и диффеоморфизмы карт, преобразования локальных базисов.18. Задание k-поверхности (многообразия) системами уравнений.19. Криволинейные координаты в области евклидова пространства. Гладкие кривые, касательные векторыв криволинейных координатах. Замены координат и диффеоморфизмы области. Координатные линии,локальные базисы. Матрица Якоби как матрица перехода для локальных базисов.
Инвариантность размерности евклидова пространства, размерности k геометрического многообразия.20. Локальное продолжение координат с k-поверхности до криволинейных координат в объемлющем пространстве.21. Первая квадратичная форма k-поверхности (многообразия). Евклидова метрика в криволинейных координатах области пространства. Длины и углы. Преобразование метрики при замене координат. Полярныекоординаты на плоскости, цилиндрические и сферические координаты в трёхмерном пространстве.22.
Метрика Римана в области пространства, примеры (карты поверхности). Длина кривой, угол между кривыми. Замены координат. Изометрии областей и совпадение метрических тензоров. Примеры метрик, эквивалентных евклидовой.23. Объёмы фигур в евклидовом пространстве. Площади участков поверхностей. Объёмы в области с римановой метрикой.24. Псевдоевклидовы пространства. Ортогональные дополнения.
Ортонормированные базисы.25. Псевдоортогональные матрицы и преобразования.26. Псевдовращения плоскости, аналитический вид, композиции. Угол между векторами на псевдоевклидовойплоскости.127. Ортогональная группа евклидова пространства. Строение групп псевдовращений плоскости и трёхмерногопространства.28. Геометрия на двумерной сфере и псевдосфере.
Неравенство треугольника для центральных сечений.29. Однородность сферы и псевдосферы, описание их групп движений.30. Псевдосфера как плоскость Лобачевского. Модель Клейна для плоскости Лобачевского и её группы движений. Независимость пятого постулата Евклида.
Планиметрии Евклида, Римана и Лобачевского.31. Метрика сферы и плоскости в полярных координатах. Длина окружности, площадь круга.32. Метрика на сфере и псевдосфере в координатах стереографической проекции.33. Метрика на поверхности вращения, главные кривизны. Реализация участка плоскости Лобачевского наповерхности вращения, полная кривизна реализации.34. Конформно-евклидовы метрики, изотермические координаты.
Оценка суммы углов в треугольнике насфере и плоскости Лобачевского. Конформно-эквивалентные метрики.35. Дифференцирование векторного поля в аффинном пространстве по вектору, по векторному полю. Основные свойства.36. Дифференцирование векторных полей, касающихся k-поверхности, по отношению к этой поверхности(внутреннее, или ковариантное, дифференцирование), основные свойства.37. Вид операции ковариантного дифференцирования во внутренних координатах k-поверхности. СимволыКристоффеля.38.
Симметрия символов Кристоффеля. Тождества Кристоффеля.39. Геодезическая (внутренняя) кривизна линий на k-поверхности. Геодезические линии.40. Уравнения геодезических линий. Существование и единственность геодезической в заданном направлении.Геодезические линии на сфере и плоскости Лобачевского.41. Геодезические радиусы и сферы вблизи точки. Геодезическая через две точки.42. Выход геодезических ограниченной длины за пределы компактных множеств.43. Полугеодезические координаты на двумерной поверхности.44.
Геодезическая как локально кратчайшая (на двумерной поверхности).45. Параллельный перенос вектора вдоль кривой, всего касательного пространства к k-поверхности. Определение производной векторного поля, использующее параллельный перенос.46. Вращение векторного поля по отношению к кривой на двумерной поверхности. Скорость вращения и уголповорота. Поворот касательного вектора, в том числе для замкнутой кривой в результате её обхода.47.
Угол от вектора до его образа при параллельном переносе по замкнутому контуру на (двумерной) поверхности, связь с вращением касательного вектора, суммой углов геодезического треугольника.48. Угол от вектора до его образа при параллельном переносе по замкнутому контуру и кривизна поверхностивнутри контура.49. Инвариантность гауссовой кривизны. Формула Гаусса – Бонне. Сумма углов геодезического треугольникана сфере и плоскости Лобачевского.50. Сферическое отображение поверхности.51.
Понятие комплексной структуры на поверхности. Комплексная структура на сфере. Комплексная записьконформно-евклидовой метрики.Замечание. Последний вопрос в программу 2005 года не вошёл.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
