Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике (1115346), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ПодставивВо весь экранОМП νi,· /n для pxi и ν·,j /n для pyj в функциюρ=УйтиX νi,j − npxi pyji,jnpxi pyj2(см. (24)),получим (26). Всего есть k·m интервалов, и по теореме 8 при верной H10 предельное χ2 -распределениеимеет k·m−1−(k+m−2) = (k−1)(m−1) степеней свободы.Стр. 147Замечания 19 и 20 по поводу числа k · m интервалов группировки остаются в силе.8.6. Совпадение дисперсий двух нормальных выборокЕсть две независимые выборки из нормальных распределений: X = (X1 , . . . , Xn )из Na1 ,σ2 и Y = (Y1 , . . . , Ym ) из Na2 ,σ2 , средние которых, вообще говоря, неизвестны.1Оглавление2Критерий Фишера предназначен для проверки гипотезы H1 = {σ21 = σ22 }.Обозначим через S20 (X) и S20 (Y) несмещенные выборочные дисперсии:1 X(Xi − X)2 ,n−1nS20 (X) =JJII1 X(Yi − Y)2m−1mS20 (Y) =i=1i=1и зададим функцию отклонения ρ(X, Y) как их отношение ρ(X, Y) =JIНа стр.
... из 179НазадВо весь экранТеорема 11. Если гипотеза H1 верна, то случайная величина ρ(X, Y) имеет распределение Фишера Fn−1,m−1 с n−1, m−1 степенями свободы.Доказательство. По лемме Фишера, независимые случайные величиныξ2n−1 =Уйти(n−1) S20 (X)σ21иξ2m−1 =(m−1) S20 (Y)σ22имеют распределения Hm−1 и Hn−1 соответственно. При σ21 = σ22 отношениеξ2n−1 /(n−1)ξ2m−1 /(m−1)Стр.
148S20 (X).S20 (Y)=S20 (X)6 σ22·= ρ(X, Y)S20 (Y)6 σ21имеет распределение Фишера с n−1, m−1 степенями свободы по определению 18 исовпадает с ρ(X, Y).С условием K1(б) дело обстоит сложнее.Упражнение. Доказать, что для любой альтернативы σ21 6= σ22pρ(X, Y) −→ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 149σ216= 1 при n, m → ∞.σ22(27)Построим критерий Фишера и убедимся, что (27) обеспечивает его состоятельность.Возьмем квантили fε/2 и f1−ε/2 распределения Фишера Fn−1,m−1 .
Критерием Фишераназывают критерийH1 , если fε/2 6 ρ(X, Y) 6 f1−ε/2 ,δ(X, Y) =H2 иначе.Доказательство состоятельности критерия Фишера.Покажем, что последовательность квантилей fδ = fδ (n, m) любого уровня 0 < δ < 1распределения Fn,m сходится к 1 при n, m → ∞. Возьмем величину fn,m с этим распределением. По определению, P (fn,m < fδ ) = δ, P (fn,m > fδ ) = 1 − δ при всех n, m.pПо свойству 2 распределения Фишера, fn,m −→ 1. Поэтому для любого > 0 обе вероятности P (fn,m < 1−) и P (fn,m > 1+) стремятся к нулю при n, m → ∞, становясьрано или поздно меньше как δ, так и 1−δ. Следовательно, при достаточно большихn, m выполнено 1 − < fδ < 1 + .Для доказательства состоятельности осталось предположить, что гипотеза H1 неверна, взять равное, например, половине расстояния от 1 до σ21 /σ22 и использоватьсходимость (27).
Пусть, скажем, при достаточно больших n и mσ21σ21<+ = 1 − < fε/2 .σ22σ22Тогда вероятность ошибки второго рода удовлетворяет неравенствамα2 (δ) = PH2 (fε/2 6 ρ 6 f1−ε/2 ) 6 PH2 (1 − < ρ) = PH2ОглавлениеIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр.
150!→ 0.Аналогично рассматривается случай, когда (при достаточно больших n и m)f1−ε/2 < 1 + =JJσ2ρ > 12 + σ2σ21σ21+<.σ22σ22Упражнение. Сформулировать критерий Фишера в случае, когда средние известны. Какой статистикой вы воспользуетесь теперь?Критерий Фишера используют в качестве первого шага в задаче проверки однородности двух независимых нормальных выборок. Особенно часто возникает необходимость проверить равенство средних двух нормальных совокупностей — например, вмедицине или биологии для выяснения наличия или отсутствия действия препарата.
Этазадача решается с помощью критерия Стьюдента (с ним мы познакомимся на следующей странице), но только в случае, когда неизвестные дисперсии равны. Для проверкиэтого предположения пользуются сначала критерием Фишера. Самое печальное, еслигипотеза равенства дисперсий отвергается критерием Фишера, либо если сразу заведомоизвестно, что неизвестные дисперсии различны. Задачу о проверке равенства среднихв этих условиях называют проблемой Беренса — Фишера. Ее решение возможно лишьв частных случаях, и больше о ней мы ничего говорить не будем.8.7.ОглавлениеСовпадение средних двух нормальных выборок с равными дисперсиямиЕсть две независимые выборки: X = (X1 , .
. . , Xn ) из Na1 ,σ2 и Y = (Y1 , . . . , Ym )из Na2 ,σ2 , причем дисперсия σ2 одинакова для обоих распределений, но, вообще говоря,неизвестна. Проверяется сложная гипотеза H1 = {a1 = a2 }.Эта задача есть частный случай задачи об однородности. Для ее решения построимкритерий Стьюдента точного размера ε.JJIIJIИз леммы Фишера вытекает следующее утверждение.Теорема 12. Случайная величина tn+m−2 , равнаяНа стр.
... из 179rНазадВо весь экранtn+m−2 =(X − a1 ) − (Y − a2 )nm·sn+m(n − 1)S20 (X) + (m − 1)S20 (Y)n+m−2имеет распределение Стьюдента Tn+m−2 с n+m−2 степенями свободы.УйтиДоказательство теоремы 12.Стр. 1511. Легко видеть, убедиться, что легко! что X − a1 имеет распределение N0,σ2/n , а Y − a2имеет распределение N0,σ2/m . Тогда их разность распределена тоже нормально снулевым средним и дисперсией равнойD (X − a1 ) − (Y − a2 ) =σ2 σ2n+m+= σ2 ·.nmnmНормируем эту разность. Величина1ξ0 =σОглавлениеrnm(X − a1 ) − (Y − a2 )n+mимеет стандартное нормальное распределение.2. Из леммы Фишера следует, что независимые случайные величины (n−1) S20 (X)/σ2и (m−1) S20 (Y)/σ2 имеют распределения Hm−1 и Hn−1 соответственно, а их суммаJJIIJIНа стр.
... из 179НазадВо весь экранS2 =1 22(n−1)S(X)+(m−1)S(Y)00σ2имеет χ2 -распределение Hn+m−2 с n+m−2 степенями свободы и не зависит от Xи от Y.ξ03. По определению 17, отношение qкак раз имеет распределение СтьюS2 /(n+m−2)дента Tn+m−2 . Осталось подставить в эту дробь ξ0 и S2 и убедиться, что σсократится и получится в точности tn+m−2 из теоремы 12.УйтиrВведем функцию ρ(X, Y) =Стр. 152nmX−Y·s.2n+m(n − 1)S0 (X) + (m − 1)S20 (Y)n+m−2Из теоремы 12 следует свойство K1(а): если H1 верна, т. е. если a1 = a2 , товеличина ρ = tn+m−2 имеет распределение Стьюдента Tn+m−2 .Упражнение.
Доказать свойство K1(б): для любой альтернативы к основной гипотезе (т. е. как только a1 6= a2 ) величина |ρ| неограниченно возрастает по вероятностис ростом n и m.ОглавлениеУказание. Воспользовавшись ЗБЧ или свойствами 2–4 из 1-й лекции, доказать, чточислитель и знаменатель сходятся к постоянным:pX − Y −→ const 6= 0,JJIIJIНа стр. ... из 179(n − 1)S20 (X) + (m − 1)S20 (Y) p−→ const 6= 0,n+m−2тогда как корень перед дробью неограниченно возрастает.Поэтому остается по ε найти C = τ1−ε/2 — квантиль распределения Tn+m−2 . Длятакого C величина tn+m−2 из распределения Tn+m−2 удовлетворяет равенствуНазадВо весь экранУйтиP (|tn+m−2 | > C) = 2P (tn+m−2 > C) = ε.И критерий Стьюдента выглядит как все критерии согласия:H1 , если |ρ(X, Y)| < C,δ(X, Y) =H2 , если |ρ(X, Y)| > C.Упражнение.
Доказать, что этот критерий имеет точный размер ε.Стр. 153Упражнение. Построить критерий для проверки гипотезы о равенстве среднихдвух независимых нормальных выборок с произвольными известными дисперсиями.8.8.ОглавлениеГипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсиейИмеется выборка X = (X1 , . . . , Xn ) из нормального распределения Na,σ2 с известной дисперсией σ2 . Проверяется простая гипотеза H1 = {a = a0 } против сложнойальтернативы H2 = {a 6= a0 }.Построим критерий точного размера ε с помощью функции отклонения ρ(X)ρ(X) =JJIIJI√ X − a0n.σОчевидно свойство K1(а): если H1 верна, то ρ(X) имеет стандартное нормальноераспределение.pНа стр.
... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 154Упражнение. Доказать свойство K1(б): если a 6= a0 , то |ρ(X)| −→ ∞.По ε выберем C = τ1−ε/2 — квантиль стандартного нормального распределения.Тогдаε = PH1 (|ρ(X)| > C).Критерий выглядит как все критерии согласия:H1 , если |ρ(X)| < C,δ(X) =H2 , если |ρ(X)| > C.(28)Упражнение. Доказать, что этот критерий имеет точный размер ε и являетсясостоятельным.Упражнение. Построить критерий для различения трех гипотез: H1 = {a = a0 },H2 = {a < a0 } и H3 = {a > a0 }.8.9. Гипотеза о среднем нормальной совокупности с неизвестной дисперсиейОглавлениеПроверяется та же гипотеза, что и в предыдущем разделе, но в случае, когдадисперсия σ2 неизвестна.
Критерий, который мы построим, тоже называют критериемСтьюдента, только одновыборочным.Введем функцию отклонения ρ(X) равнуюρ(X) =JJIIJI√ X − a0n q,S201 X(Xi − X)2 .n−1nгде S20 =i=1Сразу по п. 4 следствия леммы Фишера имеем K1(а): если a = a0 , то ρ имеетраспределение Стьюдента Tn−1 .На стр. ... из 179Упражнение. Доказать свойство K1(б).НазадВо весь экранУйтиКритерий строится в точности как в (28), но в качестве C следует брать квантильраспределения Стьюдента, а не стандартного нормального распределения. почему?Упражнение. Нарисовать критерий и доказать, что этот критерий имеет точныйразмер ε и является состоятельным.Упражнение.
В самом ли деле три последних критерия состоятельны?Напоминание. А вы доказали выполнение свойства K1(б) для функций отклонения этихкритериев, чтобы говорить о состоятельности?Стр. 155Примечание. А что такое «состоятельность» критерия?8.10.ОглавлениеКритерии, основанные на доверительных интервалахИмеется выборка X = (X1 , . . . , Xn ) из семейства распределений Fθ . Проверяетсяпростая гипотеза H1 = {θ = θ0 } против сложной альтернативы H2 = {θ 6= θ0 }.Пусть имеется точный (асимптотически точный) доверительный интервал (θ− , θ+ )для параметра θ уровня доверия 1 − ε. Взяв произвольное θ 0 , для выборки из распределения Fθ 0 имеемPθ 0 (θ− < θ 0 < θ+ ) = 1 − εJJIIJIНа стр.
... из 179Тогда критерийδ(X) =(→ 1 − ε).H1 , если θ0 ∈ (θ− , θ+ ),H2 , если θ0 6∈ (θ− , θ+ )имеет точный (асимптотический) размер ε. Действительно,Назадα1 (δ) = PH1 (δ=H2 ) = Pθ0 (θ0 6∈ (θ− , θ+ )) = 1 − Pθ0 (θ− < θ0 < θ+ ) = ε (→ ε).Во весь экранЕсли доверительный интервал строится с помощью «функции отклонения» G(X, θ),то эта же функция годится и в качестве «функции отклонения» ρ(X) для построениякритерия согласия.УйтиПример 33. Посмотрим на критерий (28). Основная гипотеза H1 принимается,только если |ρ(X)| < C = τ1−ε/2 , что равносильно неравенству√ X − a 0 n < τ1−ε/2 ,σ Стр.
156илиX−τ1−ε/2 στ1−ε/2 σ√< a0 < X + √.nnСравните то, что получилось, с точным доверительным интервалом (13) для параметра aнормального распределения с известной дисперсией.9. Исследование статистической зависимостиОглавлениеJJIIJIНа стр. ...
из 179НазадВо весь экранУйтиЧасто требуется определить, как зависит наблюдаемая случайная величина от однойили нескольких других величин. Самый общий случай такой зависимости — зависимость статистическая: например, X = ξ + η и Z = ξ + φ зависимы, но эта зависимостьне функциональная.Для зависимых случайных величин имеет смысл рассмотреть математическое ожидание одной из них при фиксированном значении другой (других).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
