А.В. Лебедев - Задачи по теории вероятностей с решениями (1115314), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали?Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005. Применяяпуассоновское приближение с λ=np=5, получаем531) P1000(3) e 5 ;3!25m2) P1000(m3)=1P1000(m<3)=1[ P1000 (0)  P1000 (1)  P1000 (2) ]1  e 5 ,m  0 m!и Р1000(3)0,14; Р1000(m3)0,875.Задача 7.

Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75.Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.7Решение.В данном случае n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Находим80  100  0,75x 1,16 , и определяем (x)=0,2036, тогда искомая вероятность равна100  0,75  0,250,2036Р100(80)= 0,047 .100  0,75  0,25Задача 8. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страховогослучая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что такихслучаев будет не более 870.Решение. По условию задачи n=40000,p=0,02.

Находим np=800, npq  28 . Длявычисления Р(m870) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:0  800870  800Р(0<m870)= Ф0(х2) –Ф0(х1), где x1  28,57 и x 2  2,5 .2828Находим по таблице значений функции Лапласа:Р(0<m870)=Ф0(х2)–Ф0(х1)=Ф0(2,5)–Ф0(–28,57)=0,4938+0,5=0,9938.Задача 9. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величинаотклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала.Решение.

По условию задачи p=0,8, n=400. Используем следствие из интегральнойmn .теоремыМуавра-Лапласа:P  p     0,99  2 0  Следовательно,npqn   0,495 . По таблице для функции Лапласа определяем  n  2,58 . Отсюда 0  pq pq=0,0516.Задача 10. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%,опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%.Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.Решение. Возможны только следующие два варианта развития событий:1) курс растет 2 дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня;2) курс растет 3 дня, падает 1 день, не меняется 1 день.Таким образом,5!5!P( A)  P5 (2,0,3)  P5 (3,1,1) 0,52  0,30  0,23 0,53  0,31  0,21  0,02  0,15  0,17.2!0!3!3!1!1!5.

Дискретные случайные величиныЗадача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебираютдо тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения дляслучайной величины  – числа опробованных ключей.Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали толькоодин ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятностьтакого события равна 1/3. Итак, P(  1)  1 / 3.

Далее, если опробованных ключей было 2,т.е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этогособытия равна 2/3×1/2=1/3. То есть, P(  2)  1 / 3. Аналогично вычисляется вероятностьP(  3)  1 / 3. В результате получается следующий ряд распределения:1238P 1/3 1/3 1/3Задача 2. Построить функцию распределения F(x) для случайной величины  иззадачи 1.Решение. Случайная величина  имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовуюось на четыре промежутка: (,1),[1,2),[2,3),[3,) .

Если x<1, то неравенство xневозможно (левее x нет значений случайной величины ) и значит, для такого x функцияF(x)=0.Если 1x<2, то неравенство x возможно только если =1, а вероятность такогособытия равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F(x)=1/3.Если 2x<3, неравенство x означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случаевероятность P(<x)=P(=1)+P(=2)=2/3, т.е.

F(x)=2/3.И, наконец, в случае x3 неравенство x выполняется для всех значенийслучайной величины , поэтому P(<x)=P(=1)+P(=2)+P(=3)=1, т.е. F(x)=1.Итак, мы получили следующую функцию:x 10,1 / 3, 1  x  2F ( x)  2 / 3, 2  x  31,x  3.Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин  и  задан c помощьютаблицы12–11/163/1601/163/1611/83/8Вычислить частные законы распределения составляющих величин  и .Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность P    2  .Решение. Частное распределение для  получается суммированием вероятностей встроках:P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  0  P  0,  1  P  0,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 8  3 / 8  1 / 2 .Аналогично получается частное распределение для :P  1  1 / 16  1 / 16  1 / 8  1 / 4 ;P  2  3 / 16  3 / 16  3 / 8  3 / 4 .Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротивсоответствующих значений случайных величин:–101p11/161/161/81/423/163/163/83/4p1/41/41/21Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин  и .

С этой цельюдля каждой клетки совместного распределения вычислим произведение P   xi P   y j (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности9P   xi ,  y j  в этой клетке. Например, в клетке для значений =1 и =1 стоитвероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно1/16, т.е.

совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется воставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайныевеличины  и  независимы.Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, товеличины следовало бы признать зависимыми.Для вычисления вероятности P    2  отметим клетки, для которых выполненоусловие     2 . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клеткахравны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычислениеэтой вероятности можно записать так:P    2  P  1,  1  P  0,  2   P  1,  2  1 / 8  3 / 16  3 / 8  11/ 16.Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:–102P 1/4 1/4 1/2Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическоеотклонение .Решение.

По определению математическое ожидание  равно3M   xi pi  1  1 / 4  0  1 / 4  2 1 / 4  1 / 4 .i 1Далее3M 2   xi2 p i (1) 2 1 / 4  0 2  1 / 4  2 2  1 / 4  5 / 4 ,i 1а потомуD  M 2  ( M ) 2  5 / 4  1 / 16  19 / 16 .Среднее квадратическое отклонение   D  19 / 4 .Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить M ( ) .Решение. Воспользуемся формулой M ( )   xi y j pij . А именно, в каждой клеткеi, jтаблицы выполняем умножение соответствующих значений xi и yi , результат умножаемна вероятность pij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы.

В итоге получаем:M ( )  1  1  1 / 16  (1)  2  3 / 16  0  1  1 / 16  0  2  3 / 16  1  1  1 / 8  1  2  3 / 8  1 / 16  3 / 8  1 / 8  3 / 4  7 / 16.Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(,).Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожиданиеM  19 / 16 . Осталось вычислить M и M . Используя полученные в решении задачи 3частные законы распределения, получаемM  1  1 / 4  0 1 / 4  1  1 / 2  1 / 4 ; M  1  1 / 4  2  3 / 4  7 / 4 ;и значит,cov( , )  M ( )  M  M  7 / 16  1 / 4  7 / 4  0 ,чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.Задача 7.

Случайный вектор (,) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1)равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин  и . Показать, что онизависимы.10Решение. Поскольку Р(=0)=3/5, P(=1)=1/5, P(=–1)=1/5; Р(=0)=3/5, P(=1)=1/5, P(=–1)=1/5, то М=3/50+1/51+1/5(–1)=0 и М=0;М()=001/5+101/5–101/5+011/5–011/5=0.Получаем cov(,)=М()–ММ=0, и случайные величины некоррелированны.

Однакоони зависимы. Пусть =1, тогда условная вероятность события {=0} равна Р(=0|=1)=1и не равна безусловной Р(=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведениювероятностей: Р(=0,=0)=15Р(=0)Р(=0)=9/25. Следовательно,  и  зависимы.Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день  и  имеютсовместное распределение, заданное таблицей:+110,30,21+10,10,4Найти коэффициент корреляции.Решение.Прежде всего вычисляем M=0,30,20,1+0,4=0,4. Далее находим частныезаконы распределения  и :1+1pОпределяемПолучаемM=0,50,5=0;10,30,10,4M=0,60,4=0,2;+10,20,40,6D=1;p0,50,5D=1–0,22=0,96;cov(,)=0,4.0,4 0,408 .1 0,96Задача 9.

Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсииD=1 и D=2, а коэффициент их корреляции =0,7. Найти дисперсию приращения ценыпортфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициентакорреляции, получаем:D (5  3 )  5 2 D  3 2 D  2  5  3 D D  25  1  9  2  30  0,7  1  2  72,7 .Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:1348\30,150,060,250,0460,300,100,030,07Найти условное распределение и условное математическое ожидание  при =1.Решение. Условное математическое ожидание равноM ( |   x1 )  y1P | ( y1 | x1 )  y2 P | ( y2 | x1 ) .Из условия задачи найдем распределение составляющих  и  (последний столбеци последняя строка таблицы).1348\P30,150,060,250,040,5060,300,100,030,070,500,450,160,280,111PПоскольку P ( x1 )  P( x1, y1 )  P( x1 , y2 )  0,15  0,30  0,45 , то условные вероятностинаходятся по формулам11P | ( y1 | x1 ) P ( x1 , y1 ) 0,15 1P ( x1 , y2 ) 0,30 2 , P | ( y2 | x1 )  ,P ( x1 )0,45 3P ( x1 )0, 45 312а искомое условное математическое ожидание равно M ( |   1)  3   6   5 .336.

Непрерывные случайные величиныЗадача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:x  [0,2],0,p ( x )   2Cx , x  [0,2].Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислитьвероятность P 1    1.Решение. Константа C находится из условия p ( x)dx  1. В результате имеем:122x3 2 p ( x)dx   Cx dx  C 3008C, откуда C=3/8.3Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал [0,2] делитобласть значений аргумента x (числовую ось) на три части: ( ,0),[0,2], ( 2,  ).Рассмотрим каждый из этих интервалов.

Характеристики

Список файлов книги