chapter6 (1115283), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 6.6.

Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (,) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью и плоскостью z=0, и основанием которого является множество B. Аналитически этот факт записывается с помощью двойного интеграла:

Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A. Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (, ), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (, ) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства >.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин ,  равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества и ½ внутри множества . Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и . Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

.

Если задана совместная плотность распределения для пары (, ), то плотности и составляющих  и  называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

Случайные величины ,  называются независимыми, если при любых х и у независимыми являются события <х и у, т.е.

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями р_(х), р_(у) независимость означает, что

.

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора  и ?

Решение. Вычислим частные плотности и . Имеем:

Аналогично,

Очевидно, что в нашем случае , и потому случайные величины  и  зависимы.

Числовые характеристики для случайного вектора (, ) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть — совместная плотность величин  и , а (х, у) — функция двух аргументов, тогда

.

В частности,

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

,

двойной интеграл можно вычислить как повторный:

§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин

Пусть  и  — независимые случайные величины с плотностями и . Плотность случайной величины  +  вычисляется по формуле свертки

Задача 8. Пусть  и  — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы .

Решение. Так как  и  распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

Поэтому

Если x<0, то в этой формуле аргумент у функции отрицателен, и потому . Поэтому Если же , то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Теоретические задачи.

1. Найти плотности распределения: а) суммы; б) разности; в) произведения; г) частного двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на 0; а.

2. Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами а и ². Показать, что величина нормально распределена с параметрами 0 и 1.

3. Случайные величины ₁ и ₂ независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а₁, и а₂, соответственно. Доказать, что ₁ + ₂ имеет нормальное распределение.

1. Случайные величины ₁, ₂, ... _n распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения

.

Найти функцию распределения и плотность распределения величин:

а) ₁ = min ₁ , _2, ..._n ; б) ₍₂) = max _1,₂, ... _n 

1. Случайные величины ₁, ₂, ... _n независимы и равномерно распределены на отрезке а, b. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин

₍₁₎ = min ₁,₂, ... _n и ₍₂₎= max_1, _2, ..._n.

Доказать, что М .

1. Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание  не существует.

2. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром  (0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти  и D; найти вероятности событий  и {< }.

3. Случайная величина  подчинена закону Симпсона на отрезке -а, а, т.е. график её плотности распределения имеет вид :

Написать формулу для плотности распределения, найти М и D.

Вычислительные задачи.

1. Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния  точки до центра круга. Показать, что величина ² равномерно распределена на отрезке 0, R².

2. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
   
   Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

3. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
   
   Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

4. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
   
   Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

5. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
   Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность

6. Случайная величина имеет функцию распределения
   
   Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность

7. Проверить, что функция =
   может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины:  и D.

8. Случайная величина равномерно распределена не отрезке 2;6. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок 2, 5 и на отрезок 5; 7.

9. Плотность распределения  равна

.

Найти постоянную с, плотность распределения  = и вероятность

Р (0,25<0,64).

1. Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром  = 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию плотности

р(х) = .

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

1. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня?

2. Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка?

3. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [1,3]. Найти плотность распределения случайной величины .

4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти плотность распределения случайной величины

5. Случайная величина имеет функцию распределения
   
   Найти функцию распределения случайной величины

6. Случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение (с параметрами а = 0 и ² = 1). Найти плотность случайной величины .

7. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром . Найти функции плотности распределения случайных величин:

а) ₁=  ; б) ₂ =²; в) ₃= г) .

1. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке 0, 1. Найти плотности распределения случайных величин:

а) ₁ = 2 + 1; б) ₂ =-ln(1-); в) ₃ = .

1. Показать, что если  имеет непрерывную функцию распределения

F(x) = P(x), то случайная величина = F() имеет равномерное распределение на отрезке 0, 1.

1. Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин  и  c равномерными законами распределения на отрезках 1, 3 и 0; 1 соответственно.

2. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены на отрезках [0, 2] и [3,4] соответственно. Вычислить плотность суммы +.

3. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены на отрезках [0, 4] и [1,2] соответственно. Вычислить плотность суммы +.

4. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены на отрезках [1, 3] и [2,4] соответственно. Вычислить плотность суммы +.

5. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы.

6. Найти распределение суммы независимых случайных величин  и , где  имеет равномерное на отрезке 0;1 распределение, а  имеет показательное распределение с параметром .

7. Найти Р , если  имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и ² ; б) показательное распределение с параметром ; в) равномерное распределение на отрезке -11.

8. Совместное распределение ,  является равномерным в квадрате
   К =х, у): х +у 2. Найти вероятность . Являются ли  и  независимыми?

9. Пара случайных величин  и  равномерно распределена внутри треугольника K= . Вычислить плотность  и . Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность .

10. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены на отрезках [0,1] и [-1,1]. Найти вероятность .

11. Двумерная случайная величина (, ) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1).

12. Случайный вектор (, ) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность .

13. Пара случайных величин  и  равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли  и ?

14. Случайная пара (, ) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности  и , исследовать вопрос об их зависимости.

15. Совместная плотность двух случайных величин  и  равна .
    Найти плотности , . Исследовать вопрос о зависимости  и .

16. Случайная пара (, ) равномерно распределена на множестве . Найти плотности  и , исследовать вопрос об их зависимости. Найти М().

17. Случайные величины  и  независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти

14

Характеристики

Список файлов книги