chapter5 (1115282)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть II. Случайные величины.

Глава 5. Дискретные случайные величины

§ 1. Случайная величина и ее закон распределения.

Случайной величиной  называется любая действительная функция =(), , определенная на пространстве элементарных событий . Если множество значений такой функции конечно или счетно, то такую случайную величину называют дискретной. В результате опыта случайная величина может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Например. При двукратном подбрасывании монеты возможны следующие исходы: , т.е. пространство элементарных событий имеет вид , причем каждый элементарный исход имеет вероятность ¼. Пусть () – число выпадений герба при двукратном бросании монеты, тогда (₁)=0, (₂)=1, (₃)=1, (₄)=2. Зная вероятности для элементарных исходов, можно вычислить вероятности для соответствующих значений случайной величины :

Полученные вероятности можно свести в таблицу(в первой строке перечислены значения случайной величины, а второй – их вероятности):

	0	1	2
P	1/4	½	¼

Такая таблица уже не содержит информацию о том, на каком вероятностном пространстве определена случайная величина, в ней приведены лишь значения случайной величины (в первой строке) и их вероятности (во второй строке).

Законом (или рядом) распределения дискретной случайной величины  называется таблица, в которой перечислены все возможные значения x_1, x₂,…, x_n этой случайной величины и соответствующие им вероятности :

	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Здесь Если множество значений случайной величины счетно, то эта таблица является бесконечной справа, а сумма

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины  – числа перепробованных ключей.

Решение. Число перепробованных ключей может равняться 1, 2, 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если перепробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий закон распределения:

	1	2	3
P	1/3	1/3	1/3

§ 2. Функция распределения

Функцией распределения случайной величины  называется функция F_(x), определенная для любого действительного х и выражающая вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее х:

F_(x)=P(<x).

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Для любого справедливо неравенство 0F_(x)1.

2. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть, если F_(x₁) ≤ F_(x₂), если х₂<х_1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала [x₁,x₂), равна разности значений функции распределения на концах интервала, то есть P(x₁x₂)=F_(x₂)-F_(x₁).

4. Если возможные значения случайной величины расположены на всей числовой прямой, то справедливы следующие предельные соотношения
   

5. Функция распределения непрерывна слева, то есть F_(x)=F(a).

6. Справедливо равенство: P(x)=1-F_(x).

Задача 2. Построить функцию распределения F_(x) для случайной величины  из задачи 1.

Решение. Случайная величина  имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре интервала: . Если x≤1, то неравенство <x невозможно (левее x нет значений случайной величины ) и значит, для такого x функция F_(x)=0.

Если 1<x≤2, то неравенство <x возможно только если =1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F_(x)=1/3.

Если 2<x≤3, неравенство <x означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случае вероятность P(<x)=P(=1)+P(=2)=2/3, т.е. F_(x)=2/3.

И, наконец, в случае x>3 неравенство <x выполняется для всех значений случайной величины , поэтому P(<x)=P(=1)+P(=2)+P(=3)==1, т.е. F_(x)=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

§ 3. Примеры дискретных случайных величин

Распределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется как закон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли. Эта случайная величина  может принять любое из значений 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи, то

,

Распределение Пуассона. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множество значений), а их вероятности задаются формулой

, 0.

Геометрическое распределение имеет случайная величина , равная числу испытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью «успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимает значения =1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:

Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче о выборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные. Делается выборка из n деталей. Случайная величина  определяется как число стандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0 до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этих значений определяются гипергеометрической формулой

,

§ 4. Дискретный случайный вектор.

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов  заданы две случайные величины  и , принимающие значения х_i (i = 1, 2,...) и у_j (j = 1, 2,...), соответственно. Упорядоченная пара (,) называется случайным вектором или двумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностей дискретных величин  и  задается вероятностями одновременного осуществления событий { = х_i} и { = у_j}:

и представляется в виде таблицы

 	y1	y2	…	ym
x1			…
x2			…
…	…	…	…	…
xn			…

При этом .

Вероятность события типа {(, )В} — «случайная точка (,) попадает в заданную область В» — вычисляется по формуле

,

т.е. суммирование идет по всем возможным парам (х_i, y_j) значений случайных величин ,, для которых соответствующая точка (x_i y_j) входит в область В.

Частным законом распределения случайной величины  называется вероятность события { = х_i}. Если задан совместный закон распределения, то частный закон распределения для  можно получить с помощью формулы:

.

Аналогично, частным законом распределения  называется вероятность события { = y_i}, которую также можно вычислить с помощью формулы:

.

Дискретные случайные величины ,  называются независимыми, если их совместный закон распределения представляется в виде произведения их частных законов распределения:

для всех значений х_i и у_j,

то есть если независимы случайные события { = х_i} и { = у_j}.

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин  и  задан c помощью таблицы

 	1	2
-1	1/16	3/16
0	1/16	3/16
1	1/8	3/8

Вычислить частные законы распределения составляющих величин  и , определить, зависимы ли они? Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для  получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для :

;

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги