chapter5 (1115282), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Полученные распределения можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

 	1	2
-1	1/16	3/16	¼
0	1/16	3/16	¼
1	1/8	3/8	½
	1/4	3/4

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин  и . Для этого в каждой клетке совместного распределения вычислим произведение и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений =-1 и =1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие проверяется во всех оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех этих клетках. Следовательно, случайные величин  и  независимы.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Формально вычисление этой вероятности можно записать так:

§ 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пусть  — дискретная случайная величина со значениями и их вероятностями р_i = P(= i = 1, 2, ..., n.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины  называется число

.

Если множество значений случайной величины  бесконечно (т.е. счетно), то математической ожидание определяется как бесконечный ряд

в случае, когда он абсолютно сходится. Если  – по-прежнему дискретная величина и (х) — некоторая функция, то математическое ожидание величины

 = () можно вычислить по формуле

при условии (в бесконечном случае), что ряд, стоящий справа, абсолютно сходится.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) МC= C (C – константа);

2) М(C) = CМ для любой константы C;

3) М(+) = М + М;

4) М() = (М)(М), если  и  независимы.

Если заданы совместное распределение вероятностей случайных величин  и  и функция (x,y) двух аргументов, то

.

Дисперсией случайной величины  называется число D=М(-М)². Величина = называется среднеквадратическим отклонением.

Из определения дисперсии вытекает формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины:

при условии абсолютной сходимости ряда. Однако чаще удобнее бывает вычислять дисперсию по другой формуле:

D=М²–(М)²

Для дисперсии справедливы следующие свойства.

1. DC=0 (дисперсия постоянной равна нулю);

2. D(C)=C²D;

3. D(+C)=D.

4. Если случайные величины  и  независимы, то D(+)=D+D.

Задача 4. Пусть случайная величина имеет следующий закон распределения

	-1	0	2
P	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическое отклонение .

Решение. По определению математическое ожидание  равно

.

Далее, , а потому .

Среднеквадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Пользуемся формулой, указанной выше. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем указанную операцию (т.е. умножение значений и ) и результат умножаем на вероятность в клетке, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Ковариацией случайных величин  и  называется число

cov(,)=М[(-М)(-М)]

(в предположении существования конечных математических ожиданий).

Из определения ковариации вытекают следующие ее свойства:

1. Если  и  - независимые случайные величины, то Обратное неверно. Если , то случайные величины  и  называются некоррелированными. Из некоррелированности не вытекает независимости.

2. ;

3. ; ;

4. и

6. Если случайные величины ₁ и ₂ имеют конечные дисперсии D₁ и D₂, то дисперсия суммы этих случайных величин существует и равняется

D(₁+₂)=D₁+D₂+2cov(₁,₂).

Этими свойствами удобно пользоваться при вычислении ковариации от сложных выражений. Например,

Обычно ковариацию вычисляют по более простой формуле:

cov(,)=М()–(М)(М).

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(,).

Решение. В предыдущей задаче уже вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

, и, значит,

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Монету подбросили 3 раза. Найти распределение вероятностей для числа появлений герба.

2. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно делают по одному выстрелу. Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий.

3. Вероятность, что лотерейный билет окажется выиграшным, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих 5 билетов.

4. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле. Стрелок стреляет до первого попадания, но делает не более трех выстрелов. Найти распределение вероятностей для числа выстрелов.

5. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный. Машина подъезжает к перекрестку в случайные моменты времени. Найти закон распределения времени ожидания у перекрестка.

6. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой детали – 0,1, а для второй – 0,05. Выбрано 4 прибора. Прибор называется бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распределения для числа бракованных приборов среди выбранных 4 приборов.

7. С конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут две доброкачественные. Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.

8. Два стрелка поражают мишень с вероятностями 0,8 и 0,9 соответственно (при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй – два раза.

9. Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой. Построить закон распределения для числа опробованных ламп.

10. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей.

11. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делается не более 4 проб. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний.

12. Среди 10 деталей – три нужного размера. Детали извлекаются поочередно, пока не появятся две детали нужного размера, при этом делается не более 4-х проб. Найти распределение числа извлеченных деталей.

13. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

Найти функцию распределения случайной величины , вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность .

1. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

Найти функцию распределения случайной величины , вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность .

1. Докажите, что для случайной величины , распределенной по закону Пуассона с параметром , математическое ожидание , а дисперсия .

2. Докажите, что для случайной величины , распределенной по закону Бернулли с параметрами n и p, математическое ожидание , а дисперсия .

3. Докажите, что для случайной величины , распределенной по геометрическому закону с параметром p, математическое ожидание , а дисперсия .

4. На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с распределением Пуассона с параметром . Мощность станции позволяет обслуживать не более 2 заявок в единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени: а) станция не справится с потоком заказов и образуется очередь; б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность; в) на станции обслуживания не образуется очередь.

5. В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор, пока не будет взято изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

6. Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.

7. ОТК должке проверить 100 комплектов, состоящих из 4 изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,8.

8. Игральная кость подбрасывается до а) второго; б) третьего появления грани с номером «три». Найти среднее число подбрасываний.

9. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков при бросании четырех игральных костей.

10. Случайная величина  имеет математическое ожидание а и дисперсию ². Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

11. В шестиламповом приемнике перегорела одна лампа. Лампы заменяют новыми одну за другой, пока приемник не заработает. Найти математическое ожидание и дисперсию числа замененных ламп.

12. Стрелок стреляет по движущейся мишени до первого попадания в нее, причем успевает сделать не более четырех выстрелов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

13. Бросают 2 правильные кости. Пусть и — число очков на 1-ой и 2-ой кости соответственно, а  – максимальное из двух выпавших чисел: . Записать совместное распределение и . Совместный закон распределения пары (,) задан таблицей

28. Совместный закон распределения пары () задан таблицей

Найти распределение вероятностей для суммы () и вычислить Исследовать вопрос о зависимости случайных величин  и .

1. Совместный закон распределения пары (,) задан таблицей

Найти распределение вероятностей случайной величины для разности (-) и вычислить Исследовать вопрос о зависимости случайных величин  и .

1. Совместный закон распределения пары () задан таблицей

Найти закон распределения вероятностей случайной величины  и вычислить cov(2-3,+2). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин  и .

10

Характеристики

Список файлов книги