Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Во многих задачах математической статистики рассматриваются последовательности случайных величин «т)„[, сходящиеся в том илн ином смысле к некоторому пределу т) (случайиой величине или константе)„когда л-ьоо. В настоящей книге используются два вида сходнмости: сходимость по вероятности н сходимость по распределению, или слабая сходимость. Напомним, что последовательность «1)„[ называется сходящейся по вероятности к»), если 11п1 Р(~т)„— т!')е)-+.О, !»е)0, что кратко записывается так: »)л — »).
Под сходимостью по распределению [иля кратко: Х (»)„) Ж (»))) понимается сходнмость Таблица В.! соответствующих функций распределения в каждой точке непрерывности предельной функции. Известно, что из сходимостя по вероятности следует слабая сходимость. Остальные обозначеипя и понятия вводятся по тексту. 3. Некоторые типичные статистические модели, В теории вероятностей наиболее часто встречающиеся законы распределения имеют общепринятое наименование и обозначенне. Так, например, нормальный закон со средним р и дисперсией ов обозначается символом Ф (р, о'); пуассоновский закон со средним )ь — символом П()ь) и т.
д. Если наблюдаемая случайная величина $ имеет распределение некоторого стандартного типа, то соответствующая статистическая модель имеет такое же наименование. Например, говорят о нормальной модели, пуассоновской модели н т. д. В табл. В.! приведены наиболее распространенные в приложениях статистические модели, которые встречаются в дальнейшем изложении (фуцкция ) равна нулю для не указанных в таблице значений х). Например, запись Х(й) ыы» (Оы 0«) для общей нормальной модели означает, что модель задается классом допустнмых функций распределения Т=«г'(х; О), О ен 6), где плотность ) (х; О) и параметрическое множество В имеют указанный в таблице впд. Первые семь моделей в таблице являются абсолютно иепрерьюными, а три последние — дискретными.
Отметим также, что некоторые частные случаи приведенных моделей имеют специальные названия. Так, модель й (1, 6) называют бернуллисвской моделью, а модель Й (1, 9) — гсолсл!рической. В заключение несколько слав а фвзической природе перечисленных распределений. Замечательным фактом являегся»о, ч»о сущесгвуе» иечколько распрелелений большой общности, встречающихся в самых разнообразных задачах теории вероятностей и магематической стзгистнкн Прежде всего это нормальное распределение, биномиальное распределение и распределение Пуассона. Нормальная модель возникает в таких ста»истическнх эисперимен»ах. когда на исход эксперимента оказывает влияние большое число независимо действующих случайных фаигороэ, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат.
В танях ситуациях на основании центральной пределшюй теоремы теории вероятностей мткно заключить, что наблюдаемая случайная величина 8 имеет приблизительно нормальное распределением/"(р, а»), параметры которого (или их часть) могут быть неизвестны, типичный пример гикай ситуацвн †измерен некоторой физической величины: в теории ошибок измерений (разработанной К. Гауссом) считается, чта результирующая ошибка измерения представляег собой сумму большого числа незначнгельных частных ошибок (связанных, например, с точностью настройки измеригельнога прибора, погрешнос»ью округления при считывании данных, психофизическим состоянием оператора и т, д.) и являегся поэтому нормально распределенной случайной величиной. Бннамнальная модель В!(л, О) описывает распределение числа «успехоз» в л независимых испытаниях с двумя исходами (»успех» †«неуспех») и неизменной вероятностью »успеха» 0 (схема Бернулли), Частный случай этой наделив бернуллневская модель В!(1, 8) †особен часто встречается в приложениях теории вероятностей и математической статистики, так как эксперимент с двумя исходамн является простейшим статистическим экспериментом.
Прн этом случайная величина с распределением В1(л, 6) мо»кет быгь реализована каи сумма 1О л ис,ы>шспмых слгчаипых величин с одипаковыч рзсирсдслсипсм В> (1, 6). Если рассматривзть бескопечпую последовательность я«иы>аний Бернулли, то число испытаний, предшествующих первому «неуспеху», подчиияегся геометрическому распределении> В) (1, 6), а число «успехов» предшествующих г-му «неуспеху»,— отрицательному биномиаэьиому распределению В( (г, 6), Случайнан величина с распределением В> (г, 6) также ьюжет быть реализована как сумма г независимых случайных величин с одинаковым распределением В1(1, 6).
Указанные модели часто используюгся, например, при разработке матемзти. чесиих методов контроля качества промышленной продукции. Пуассоповская модель П (6) обычно описывает схему редки» собыши>1: при некоторых предположениях о характере процесса появления случайных событий число событий, происшедших за фиксированный промежуток времени иш> в фиксированной области пространства, часто подчиияетск пуассоиовскому распред.пению. Примерами могут служить число частиц радиоактивного распада, зарегястрнроваяных счетчиком в течение некоторого времена й число вызовов, поступивших на телефонную станцию за время б число изюминок в кексе и т.
д. Мозель гамма-распределения часто используется в задачах теории надежности н теории массового обслуживания. Особчю раль играет прн этом частный случай Г (6, 1), который называют также йокаэательным нли зкслонеийи. альныи распри)«лени«и. Этому распределению часто подчиняются случайные длины интервалов между последовательными моментами наступления событий в пуассоновских потокак, времена «жизни» различных техннческик устройств н т. д.
При целом а ~ 1 распределение Г(6. Д) называют также распр«делением Эрлангп порядка Х. Это распределение суммы Х независимых случайных вези. чин с одинаковым распределением Г (6, 1). В задачах математической статистики гамма-распределение играет большую роль бчагодаря тесной связи с нормальным распределеленнем, в частности там, где рассматриваются квадра. тичиые формы от нормальных случайных величии.
Наиболее ярким примером является распределение Г (2, л!2) суммы квадратов и кезавнсимых случайных величин с одинаковым распределением а Ф"(О, 1). которое называется распределением ки-квадрат с и «шел«нами гаабоды, Равномерное распределение )«(а, Ь) описывает процесс «выбора точки наудачу» в интервале (а, Ь). Так, если (а, Ь) — интервал между последовательными отьездзми автобусов от остановки, то времи ожидания пассажира, прибывшего на остановку, если неизвестно расписание, есть случайная величина с распределением )! (а, Ь).
Распределение >х (О, 1) играет особую роль в методах моделирования с помощью ЭВМ случайных величин с заранее заданнымн распределениями. Такие методы широко используют для приближенных вычислений интегралов, решения диффереяциальных и интегральных уравнений и т. д. Распределение Коши интересно своими связями с другннн распределениями, возникает в некоторых физических задачах, связанных с блужданием частиц, имеет ряд оригинальных аналитических свойств. Отметим, в частности, что по закову Коши распределены отношение двух иеэавяснмых нормальных случайных величин н функция 12 Ч, где о (Ч) = ((( — п>2.
и,'2); лая распредеиия Коши не существует моментов, в точ числе и математического .Ъжидания, Основные понятия и элементы выборочном теории Глава В этой глава Рассматривается ситуация, соответствующая модели поаториьж независимых наблюдений над некоторой скалярной случайной величиной $. Здесь вводятся основные понятия выборочной твори», которая изучает стохастичвские свойства случайной выборки; приводятся фуидаментаньиые теоремы математической статистики„исследуются в точной н асимптотической (т. е.
при большом обьвмв выборки) постановках свойства некоторых характеристик случайной выборки, рассматриваются распределения, играющие важную роль в статистике. 5 1.1. Вариационный ряд выборки и эмпирическая Функция распределения 1. Порядковые статистики и вариационный ряд выборки. Пусть Х=(Х,, ..., Х„) — выборка объема и из распределения ь ($) и х=(х„..., х„) — наблюдавшееся значение Х. Каждой реализации х вьгборки Х можно поставить в соответствие упорядоченную последовательность х,,) « х;,) « ... ==. х(„), (1.1) где х(т) = ппп (х„..., х„), х з) — второе по велнчнне значение среди хт, ..., х„и т.
д., х,„) =гпах(х,, ..., х„). Обозначим через Х(„1 случайную величину, которая для каждой реализации х выборки Х принимает значение х,ь>, й = 1, ..., и, Так по выборке Х определяют новую последовательность случайных величин Х,>1...., Х,„), называемых порядкоэыми сп>атистиками выборки; при этом Х1»1 — А-я порядковая статистика, а Х(т) и Х(„1 — экстремально>с значения еыборки. Из определения порядковых статистик следует, что онн удовлетворяют неравенствам Хпб Х„=... ХГ (1.2) Последовательность (1.2) называют еариационным рядом выборки. Симметричные относительно концов элементы последовательности (1 2) Х( 1 и Х( м т) иногда называют соответственно т-м наименьшим и т-м наибольшим значениями выборки (т=1, 2, ...); при т = 1 получаем экстремальные значения выборки. Итак, вариационный ряд — это расположенные в порядке возрастания их величин элементы выборки.
Отметим, что для заданной реа- 13 лизацпи х=(хз, ..., х„) выборки Х=(Х„..., Х„) реализацией последовательности (1.2) является последовательность (1.1). 2. Эмпирическая функция распределения. Определим для каж- дого действительного х случайную величину р,„(х), равную числу элементов выборки Х=(Х„..., Х„), значения которых не пре- восходят х, т.
е. !ь„(х) = ~ (1': Х, «: х) ~, (1.3) где через ( А ) обозначено число элементов конечного множества А, и положим Г.(х) =(з„(х)lл. Функция Р„(х) называется эмпириче- ской функцией' распределения (соответствукицей выборке Х). Функ- цию распределения Р (х) наблюдаемой случайной величины в этом случае называют иногда теоретической функцией распре- деления. По своему определению эмпирическая функция распре- деления — случайная функция: для каждого х е= Я значение Р, (х)— случайная величина, реализациями которой явлаотся числа О, 1!л, 2/л, ..., (л — 1)/л, л/л=1, и прн этом Р (Р„(х) = Ьл) = Р (р.„(х) = й).
Но из определения ра(х) следует, что л,(ря(х))=В((л, р), где р —.Р($~х)=Р(х). Поэтому Р(Е,(х)=Й,'л)=СьГ'(х)(1 — Р(х))'-", й=О, 1, ..., и. (1.4) Итак, эмпирическая функция распределения (как и вариацион- иь1й ряд) — некоторая сводная характеристика выборки. Для каж- дой реапиэяцни х выборки Х функция Е„(х) однозначно опреде- лена и обладает всеми свойствами функции распределения: изме. няется от 0 до 1, не убывает и непрерывна справа. Прн этом она кусочно-постоянна и возрастает только в точках последова- тельности (1.1). Если все компоненты вектора к различны (в по- следовательности (1.1) все неравенства строгие), то функция Ра(х) задается, очевидно, соотношениями 0 при х<х1 и Р„(х) = -й!л при х<ю -х(х(д зп й=1, ..., л — 1, при х =- 'х1ю т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
