Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Тогда оспимачьиая оценка,для т(8) имеет аиа 1 х* = Г ()сн) Г !)») Г Р, ( — 1)) ~ р(/Т(Х))/ь- (! — /)"- х- д/. Получить отсюда при ср (х) =х/)с результат, приведенный в тэбэ 2.2. У к аз а н н е. Использовать тот факт, что Е (Т (Х)) = Г (8.

Элс) (си. замечание в п. ! 6 1.5). 21. Провери~ь, что в условиях зааачи 20 оптимальной оценкой для ф)икцин надежности х (6, Г) =Рв $.~/) является статистика при Т (Х) ( /, 1 — В ОУТ (Х); )., )с (л — !)) прн Т(Х) )/, где В (з; а, Ь)=~ х"-с(! — х)в-сдх, О~а~! — неполная бетафункция. В частности, для экспоненциального распределения Г (9, 1) 0 при Т(Х)~Г, (! — //Т (Х))" ' при Т (Х) ) Е ( 0 прн хС/, к а з а и и е.

Взять ср (х) =/,гиш (х) =(( ( ! при х~/. г„), (» 22.,Показать, по для рсхнргделгниа Вейбула, задаваемого плотностью -' 3.хх-с (л/8)Ь /(х; О) = — е, х. О, волной достаточной статистикой для 6 яаля- 8» ! 4 За»э» Ю Юб! 9? стоя Т (Х) = ~ц~~ Х!', а оптимальная оценка функция т (8) = ЕО!р [0), гас !р— 1=! 1 заданная функция, имеет внд т* =(л — 1) ~ !р [[(Т (Х)) ' (1 — !)л э Й.

23, Показать, что для функция г'(8), входжцей в определение распределении тяпа степенного ряда [см. Оюрмулу (2 4!)) («=Ьл«1[Т)!Ьл(Т) Т.= = Х1-[-... + Хл, †оптимальн оценка по выборке Х =(Х„ ..., Х„) [Ьл(Т) определены в [2.42)). Ук а линие. Пряменнть формулу (2.43). 24. Показать, что т«=(1+1!л)~ — оптимальная оценка функции т(0)=е" в случае пуассоновской модели П(0). Вычислить Рэт* и показать, что Рэт' Оееа/н, н- сс. У к аз а н не. Воспользоваться результатом задачи 23 [здесь Ь (!) =и!(В!, Рэт*=е'0(е01» — 1)). 2$. Паказат!ь что т' (1 — 1/л) — оптимальная оценка дэя пуассоновской вероятности т(8)=ра [0=0)=е-О н при этом Рэт«=е я1(е 1л — 1) Ое ю/н, л-ь со. У к а э а и не. Воспользоваться результатом примера 2.13.

29. Поназать, что оптимальной оценкой для т(6)=6 усеченного в нуле пуассоновского распределении является статистика т'=Т5 (п, Т вЂ” !)15(п, Т), л Т вЂ”.л+1, где 5 (и, Ь)= ~ ( — 1)»- С,',га. Указание. Положить в фарг=о муле (244) ![6)=еа — 1. 27. Показать, что в случае выборки нз распределения Б!'(и, 6) статистика т'= Ц(1 — Т7(Т.[ гл — Д вЂ” оптимальная оценка для вероятности т(8) = 1=! РО(5= 0) =(1 — 8)'.

У к а з а и не. Воспользоваться результатами примера 2.14. 28. Составить уравнения правдоподобия для модели в4 (61, 6„') и найти их решения. 29. Доказать, что полученная в примере 2.18 оценка максимального правдоподобия Й(Х) ковариацяш!ной матрицы Х многомерного нормкчьиого л †! распределения в4 Ог, 2) удовлетворяет соотношению ЕХ (Х) = — Х н, и л и 1 жт следовательно, — й (Х) = — у (Х! — Х) (Х! — Х)' — несмещенная оцеп'и — 1 л — 1»'г 1=1 на 2. Ук аз анне. Рассмотреть случайную велячяну Хн — Х!р днсперсяя которой ранив ан+2ам+аьн н воспользоватьсЯ известНым Результатом о несмещенном оценивании дисперсии скалярной случайной величины.

30. Найти выражение для абсолютнога максимуыа функции правдоподобия в случае распределения ы4" [)ь, Х). ()амаль !. (х )г, Х) — (2ле) алга ! Х ~ «)э. 01,' Пусгь Х=(Хы ..., Х«) — выборка из распределения )7(0, 20). Показать'; что: а) в данном случае ие существует одномерной достаточной статистики; б) любое значение 6 сэ [Х!л!/2, Хп,) можно взять в качества оденки макснмальнога правдоподобия. Рассмотреть оценки вида Она 9,=!хХ!«!+ОХ и, !х, [)» О, и найти среди них оптимальную (несмещенную с минималыюй дисперсией). Указ а ияе. Воспользоваться результатами задачи 13 гл. 1. Ожвэне, Оптимальная опенка определяется значениями (л -[-1) (л.[-2) (2» — 1) 2 (и+ 1) (2лэ+ 4л! — Зл — 3) 8«+4 ' (л+2) [Он+4) 32.

Показать, что в случае выбора иэ распределения Г(0, Х) оценкой м«яцнмшгьного правдоподобия гараметрической функции т [О) =1!6 является л 1 т =31Х„г е Х=— л='1 „д = — ~~ Хь Проверить состоятельность этой оценки и найти а' =! ее предельный при и- со закон распределения. Онмгю, Жз(тл) л4 (Щ 1/(л«Ое)). 33. Показать, что О=Х/(и+Х) — оценка максимальяого правдоподобвн параметра 9 для модели хг!(г, 8). Вычислить ее асвмптотическую дисперсию.

Указан не. Воспользонаться результатами примеров 2.12 и 2.24. 34. Случайная величина $, характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет плотность [(х, 0)=(2х/0)е х 'О, х- О. Построить по соответствующей выборке Х=(Хм ..., Х ) оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра О. л О . 9»л — лУ Х!. 1 цч л л~! 1=1 Зб. Пусть Х =(Хт, ..., Хл) — выборка из распределения Каши ль (9)» Покаэат!ь чта статистина Тл(Х)=Х ие является состоятельной оценкой яа. раметра 8. У к а з а н и е. Характеристическая функция, а следовательно, и РаспРеделение т„ие завислт от л н поэтомУ Рэ [! тл(х) — 0[-. э) одна и та Н1 | же при всех л [Езе "=е!'а '''). 38.'Доказать, что выборочная дисперсия 51= — ~' (Х.— Х)! явлвется кч а=! состоятельной оценкой 9! »в модели а4" (Оь О[).

У к аз а н не. Воспользоваться критерием состоятельности н результатамн примера 2.7. 37. Имеется выборка [(Х,, Уг), ..., (Хл, !'л)) иэ двумерного нормального !1 9!! распределения в,4 !(О. 0), ' !!1, 6!и( — 1, 1). Показать, что; ',8 ![!' а) асимптотическая дисперсия оценки 8» равна (! — О!)эул(1+6!)! б) ей(Т„; 8) [(1 — Ое)/(1-[-0!)[з — асимптотическая эффективность оценки 6 л 1 %1 виДа Тл= — Р Х!Уг (выбоРочный коэффициент коРРелации). Указан не, л С помощью характеристической функция установить, что Е (Х'У!)=1+29! и, следовательно, РОТ»=(1+Оэ)/л. 38. Доказать, что для рва«раде«ения Лапласа ! (х; 8) =(1!2) е х !и )с, о.

м. и. 8 совпадает с выборочной медианой. 39. Оценить с папашью метода максимального праздопадабия параметр 6 в модели в.4 (р, л") н найти предельное распределение 6 . Вычислить асимптотнческую эффективность оценки в задаче 3. и Он!вель Хэ 8«= ~ (Х! — [!)э л в4 (8, Оз/2«)! еП(Т»; 6) =- [1=1 1((л — 2) =0.88 .... 40. Показать, чга аснмптотическаи эффективность выборочной медианы распределения Коши равна 8!я! — 0,8 ....

Ук аз а н не. Воспользоваться теоремой 1.7, 41. Пусть Х=(Х,, Х„) — выборка иэ вогнорнавьного раслрвдглгнил, у! т. е. Х;=е г, гдеЕ(У!)=я4" (81, 9[). Показать, что; а) ЕОХ1=О,=ЕХР (О!+9[)2), РОХ1 =Ох=6[(ЕО'-1); (р, (б))з г (б)= — Еа( —,, / /б 16) 1СО б) оценки мзксимальпого правдоподобия для д! и б, имеют соответственно вид б,=етр (у-»-(1,'2) 5з(у)».

да=Уз (еэ'гг! — 1), где 7 =(у! 1п Хь /=1, ... .... л), а У н 5з (У) — соответствующие выборочные среднее н дисперсия. У к а з а в не. Воспользоваться свойством инвариа!шиостн о, м. п. 42. Показать, что еслк существует эффективная оценка Т' дзя функции т(б), то опенка 6 однозначно определяется уравтением Т*(Х)=.т(6).

Укадз1п 1. за и не. Применив равевство (2.24), убедиться, что —, (О, дбз 43. Убедиться в тон, что оценки в задачах 24 и 2» являются аснг!птоти- чески зф»ектиянымв, 44. Показа ь, что у-доверительный интервал для параметра 6 в модели с/'(Х б') имеет вид (Х/(1 — ,'.с,/)'и), Хг(! — гт/г л)), сто - Оз-! / — +' Угроз а и не. Использовать тот факт, что Жо([Л вЂ” 6)/(6/г' и)) =ч/" (О, 1). 45:гПровернггч что з случае больших выборок асиыптотически кратчай- гш)ы у- овернтельиым интервалом яилнется: а дли паРаметРа 6 гамма-РаспРеделепнЯ Г(6, Л) — (Х/Л)(1 чп гт/Р"ггй); б) для парамегра 6 отрицателю~ого бицомиалы!ого распределения /)г(г, 6)— Э /, !'Ьз ь.тгч) ' (гг,г!'хаем+и!): и+Х и) для параметра 6 нормального распределения в/" ()т, бг/— 1 'вт 7 (Хг — 1!)з(1 ьсз/)'2и). Указание.

Использовать результаты задач и и г =- ! 32, 33 и 39, 46. Покззшь. что в случае экспоненциального распределения с плотностью /(х: 6)=с 'х.", О~к.Сос, у-доверительный интервал для 6 имеет внд ! 1п (! — у) !Хп,-»-, Х„,~, где Хи,= ппп Хь Указание. Найти распрел гщг<л деление статищики Хи, и учесггч что сгюытие (Хп, ~ 8» является достоверным. 47. Пусть в полнномиальиом распределении М (л, р=(р,, ..., Рзг)) веРоятности рг= рг (б), ! = 1, ..., Л/, где 8 — неизвестный скалярный параметр. Записать урм!ненни для приближенной опенки максимзльного правдоподод1п 5 бмя б мезолом накопления. У к а з а н н е. В данном случае дб М 'чч у — 'и'(6), а количество ив(юрмации о 6 равно .м~ йт (6) !=1 48.

Характеристики

Список файлов книги