Главная » Просмотр файлов » Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика

Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 11

Файл №1115270 Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика) 11 страницаГ.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270) страница 112019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Отметим, в частности, общее )(еобходимое условие, состоящее в том, что выборочное прострап- ство 2 йн должно зависеть от неизвестного параметра 9. Рассмотрим некоторые свойства вклада У (Х; 6) для регуляр. ных моделей. Всегда имеет место тождество (по 6) )6(х; 6)бх=! (бх=бхю..дх„) (здесь и далее для дискретных моделей интегрирование заменя- ется суммированием). Если модель регулярна, то, дифференцируя зто тождество по 6, получаем Таким образом, для регулярной модели ЕВУ(Х; 6)=0, УВ Яе. (2.16) Определим теперь функцию информации Фишера, или просто ин- формацию Фишера о параметре 6, содержащуюся в выборке Х: В.

(9) = 1) У(Х; 6) = Е,У*(Х; В), играющую важную роль в статистике. Величину (д!и!(ХП 6) 16 (2.18) называют "также количеством (фии(еровской) информации, содержа- и(ейск в одном наблюдении, Из соотношений (2,15) — (2.!8) непо- средственно следует, что („(В)= п((8), т. е. количество информа- ции, содержащейся в выборке, возрастает пропорционально объ- ему выборки. Если функция !(х; 6) дважды дифференцируема по 6, то, про- дифференцнровав при п=1 выражение (2.!6) еще раз, получим эквивалентное представление для !'(8): 0 ~ (и 1п)(ю 6) ) ( .

8) б + У ~д !п((»; 6) )~ ((х; 9) бх т. е. Пример вычисления информации Фишера для бернуллл(евс((ой модели В((1, 9) имеется в 6 2.1 (формула(2,13)1; для этой модели ! (в) = 1116 (1 — 6)1. Рассмотрим еще одни пример вычисления функции 1(6) для нормальной модели»"(9, о'). здесь вклад одного наблюдения д!п!(Х(', 6) Х( — 6 д~!п/(ХП 6) 1 Отсюда по формуле (2.19) получаем 1(9)=1!аз. Видфункцвя64(6) для некоторых моделей приведен в табл. 2.1.

тК чвг( модель ~ 4'(6, а') ~.4 (и, 6'1 Г(6, »1(Ю(61 В((К 61 ( П(61 ~ ВС(». 61 з' (В) 1/о~ 2/У Л/6~, Вгв й((6 (1 — 6)) !16»ДВ (! — ВР) Приведем пример нерегулярной модели. 66усть Ж($)%)т'(О, 6). 6 в Г 1 г д(1( Здесь из тождества — бхпп! не следует, что ~ — ( — )бх =О, так как при дифференцировании интеграла по верхнему пределу появляется еще одно слагаемое.

В данном случае причина нере- гулярности заключается в том, что выборочное пространство за- висит от неизвестного параметра 8. 2. Неравенство Рао — Крамера и аффективные оценки. Рас- смотрим задачу оценивання заданной параметрической функции т(9) в модели Р =(Р(х; 9), 6 ~6). Предположим, чтомодель У регулярна, функция т(9) дяфференцируема и пусть, как и выше, и»',— класс всех несмещенных оценок с(8). Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 2.4 (неравенство Рао — Крамера).,!(ля любой оценки Т= Т(Х) ~ и»» справедливо неравенство (2.20) Равенслмо здесь и.веет место т(яда и только пкеда, когда Т— линейная функция вклада выборки, и.

е. Т(Х) — т(6)=а(6)У(Х; 6), (2.21) гдг а(8) — некоторая функция от 9. П По условию, ЕВТ (Х) = ~ Т (х) С (х; 6) бх = т (6), 78 я 6. (2.22) Модель У' регулярна, поэтому, дифференцируя зто тождество по 6 н учитывая (2.16), получаем т'(6)= ~ Т(х) ' Е(х; 9)(!х=ЕВ(Т(Х) У(Х; 8))= = сочв(Т(Х), У(Х; 6)). (2.23) Используя неравенство Коши — Буняковского и определение (2.1У), из этого соотиошення получаеи оценку 1т'(9)]'~(„(6) 06Т(Х), 47 причем неравенство здесь обращается в равенство тогда и только тогда, когда (при каждом О) Т(Х) п (/(Х; 8) линейно связаны. В Неравенство (2.20) называется неравенством Рао — Крал!эра.

Оно определяет нижнюю границу дисперсий всех несмещенных оценок заданной параметрической функции т(9) для регулярных моделей. 3 в меч ание. Если Т=Т(Х) — оценка со смешением Ь(Е)./и функция Ь (61 дифференцируема, то, используя вместо соотношения 12.22) тождество )" т (х) л (х; 6) е =т 16) -, ь (61, с помошьво аналогичных рассуждение можно установить неравенство (также называемое неравенством Рао — Крамера) (т' (6)+ь' (6)Р Гает хм .! (6) обобшаювцее (2. 20). Если существует оценка Т* ~ ив' т, для которой нижняя гра- ница Рао — Крамера достигается, то ее называют эффективной.

Эффективная оценка является оптимальной, и, согласно теореме 2,1, она единственна. Из теоремы 2.4 следует, что крите- риел! эффективности оценки являеп!ся представление (2.21). Будем называть этот критерий оптимальности оценки кри!дернем Рвов Крамера. Если для оценки Те выполнено соотношение (2.21), то из формулы (2.23) следует т (9) = — 'О,Т*, а (е) т. е. для дисперсии эффективной оценки справедлива формула Ову' = а (9) т' (0). (2.24) Отметим следующее обстоятельство.

Вклад выборки (/(Х; В) однозначно определяется моделью, поэтому представление (2.21) (когда оно имеет место) единственно и, следовательно, эффектив- ная оценка может существовать только для одной определенной параметрической функции т(В) и не существует ни для какой другой функции параметра 6, отличной от ат(В)+Ь, где а н Ь— константы. 3.

Зкспоиенцмальная модель. Введем важный класс параметрических моделей, называемых экснонен/4иальними, для которых всегда существует эффективная оценка некоторой параметрической функции. По определению, модель У =(Р(х; 6), ВенВ) — эюаоненциальная, если соответствующая функция )'(х; 9) имеет вид ) (х; 9) = ехр (А (8) В (х) + С (8) + О (х) ). (2. 25) Многие часто встречающиеся в приложениях модели удовлетворяют этому условию. В частности, это модели о/" (9, о'), е;()х, В'), Г(6, Л), Вв(Ь, 9), П(6), Вт(г, 8), приведенные в табл.

2.1. Модель 48 Таблица 2,2 Модель ~ т вв! ет о Х=„- ~Х, в=! ! чгт — ~~(Х рР а 'в в=! Х/л Х/Ь Х Х/г оэ (Е. ох) В /" (р, ех) ех 26в/и Гф, Л) В!(Ь, 6) п (е) Вв'(г, 61 6 е е е/(! — 6) ех/Ли 'Е (! — 6)/Ьи 6/и е/(гл (! — 6)х) Коши и» (6), очевидно, не экспоненциальная, а равномерная.! модель. Я(0, 9) хотя и удовлетворяет условию (2.25), но не является регулярной Вклад выборки для экспсненциальной модели равен ч л ивх; в!=я!в! ~ хвхв-;-.с ввв=,х ввв(-.'- Л авхвв;-„—,~„',1, в=! Это равенство можно записать в виде (2.21), если положить Т'=Т*(Х)= — ' '~' В(Х!)' т(9)= л (е ' а(8)= л' ' (2'2$) в'=! Таким образом, для регулярной экспоненциальной модели еуществует эффективная (а значит, и оптимальная) оценка Т' для параметрической функции т(9), где Т" ит(0) определены в (2.26).

При этом согласно формулам (2.24) и (2.26) в ВэаТ* ~ — '„,"', . (2.27) Верно и обратное утверждение: если эффективная оценка дли некоторой функции т(9) существует, то модель является экспоненциальной. Действительно, интегрируя по 9 равенство (2.2!), получаем 1п 7. (Х; 0) = Ах (9) Т (Х) + С! (9) + (.)х (Х). Отсюда следует, что функция /(х; 8) должна иметь вид (2.25). Таким образом, эффективные оценки существуют для некоторых функций т(9) только в случае экспоненциальных моделей. Для перечисленных шести стандартных регулярных экспоненв цнальных моделей вид функции т(О), оптимальной оценки т* для нее и соответствую!цей дисперсии (2.27) приведены в табл. 2.2.

Отметим также, что для (регулярных) экспоненцнальных мо. делей функцию информации 4(9) можно вычислять по формуле ! (9) = т' (6) А' (6). Действительно, из соотношений (2.20) и (2.27) имеем равенство [т' (6)»вг(п! (6)) = т' (6)/(пА' (В)), откуда н следует предыдущее утверждение. 4.

Критерий Бхаттачария оптимальности оценки. Неравенство Рао — Крамера (2.20) дает иеулучшаемую границу дисперсии иесмещеиных оценок (для регулярных моделей) в тех случаях, когда существует эффективная оценка. Однако если этой оценки не супгествует [представление (2.21) не имеет места ни для какой статистики Т(Х)», то можно найти лучшую (т. е. ббльшую) нижнюю границу для дисперсии несмещеииых оценок. Основное условие достижения нижней границы дисперсии в неравенстве (2.20» состоит в существовании оценки Т, для которой Т вЂ” т (9) — лииейд1 Ь 1д/.

ная (для каждого О) функция от — = — —. (Здесь и далее иногда будем для краткости писать просто Л вместо Е(Х; 6).) Предположим, что такой оценки не существует, ио зато имеет место оценка Т*, для которой разность Т' — т(0) являетсялинейиой функцией от 1д1. 1дЧ, 1д'Ъ /. дз> ~. дев' ' ° ' В дв' при некотором г~2. Тогда Т" — оптимальная оценка для т(6). Этот критерий оптимальности, обобщающий критерий Рао — Крамера (2.21), называется критерием Бхапившчария н также основан на принципе достижения нижней границы дисперсии в соот« ветствующем неравенстве. Приведем точную формулировку соотд /.

„д» (в) ветствующего утверждения. Пусть Емг = —, тгю= —; тогда де» 99» имеет место следующая теорема. Теорема 2.5 (неравенство Бхаттачария). Пусть Т=Т(Х) — нгслгггцгннси оценка для т=т (6). Тогда при всех 6 еп е> вувТ) ч ', сг/а;а/, (2.28) г, г ! г/.>ь ьг>! гдг су= вы(9) =Ее ~ — — ), 4, /=1, ..., ., а коэффициенты а! = а; (6) определяются системой уравнений г „У, с;а/=тгггв 4=1,,„., г„ 'Л г=! Если матрица С =!!с!/»! нг вырождгна и С-' = [с~~, то неравенство (2.28) эквивалентно неравенству Г 0еТ~ Х сг/тгггтг11. ь (2.29) г, г=! и талы!о тогда когда г Т вЂ” т = ~1" ,агЕгг!/Ь. г=! (2.30) Практически критерий Бхаттачария (2.30' и ччитывая ста шие ) используют так: р е производные функции прайдоподобия, по бирают такую их линейную комбинацию, чтобы ия, под и- ление вида 42.30' , чт ы получить представд ( .

); при этом последовательно полагают в=2, , .... Если при некотором значении г это удается с слать кция и оптимальная оценка для нее (случаи г = в этой методике соответствует критерию Рао — К аме а . функции). Рассмотрим модель ./" (9, о'). Здесь 1 вг*; >г-, — -в(-„— ',~г.— >г).

г=! н можно проверить, что [лда3 дб, В'вв 'ДЧ 1 — ьв По критерию Бхаттачария отсюда следует, что статистика Т" =. персией) оценка для т(9) = 6'. ьная (т. е. несмещенная с минимальной дис- П 5 Критерии '"т "'льи"ти в с'учае вект'риего пар ет ° мальности оценок относятся к случаю скалярного параметра 9. щим их на случай векторного параметра. Будем пре по- ди=( в, ...,,), т. е. Π— вектор некоторой размерности г. редпологким„что ищется оценка для заданной числовой Функции т(9), диффереицируемой по всем переменным. Исходную модель по-прежнему предполагаем регулярной. Тогда имеют место ду рггый аналог неравенства Рао — Крамера и соующий критерий оптимальности. Тверям ..

ли Т = Т (Х) — произвольная песне!ценная оценка Тееремв 2.0. Если функции т =т(0), то при всех 0 ~ () г ПТ Ц" »Т ~" дг,с,сгэ (2.31) гдг /д! и /. д 1г> 6 1 Яг/=уг/(6)=ев1 дв д ' г> !=1, ...> г г а «озффицигнты сг = сг (0) определяются системой уравнений г Х дт йгггс/ = тг = — 1 = 1, ... /=! Если матрица 1„= 1„(0)=(д//1; не выроясдвна и нврменство (2.31) эквиваленпгио неравенству Г 06Т:~ ~ д"/т,т;. /, /=! Равенство в (2,31) и (2.32) ил/ест место тогда и когда Г 'Кб д 1в-Л Т вЂ” т=~с— ,1 ' дб; 11 =(дУ(м то (2.32) только тогда, (2.33) Если функция правдоподобия 1. (х; 9) дважды днфференци- руема по 9, то, продифференцнровав тождество ~ Е(х; 9)/)х=— 1 сначала по 9ь а потом по 6/, получим /сл1пс!Х; 6) Е /д-'1и/(Хп 61) (2.34) дб/ дб / ! дб; дб/ Матрица 1„(О) — аналог функции информации !„(6) для случая векторного параметра и называется инфорлюционной матрицей выборки, а 1(9) =1/(0) — информационной матрицей одного наблю- дения.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6525
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее