Т.А. Шапошникова - Контрольные работы (1114475), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü, ÷òîikr1e1ikr2ikrk 4r = 0 (èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, V (r) = Vrr + 2r Vr ). 2r(e )r( 4r ) 4r e22Çàäà÷à 3. Äàíà ãàðìîíè÷åñêàÿ â êîëüöå Q = 1 < x + y < 2 óíêöèÿ u(x,y), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:22222u(x,y)=x ïðè x + y = 2, u + (1 y )u = 0 ïðè x + y = 1. ( - âíåøíÿÿ íîðìàëü).

Íå íàõîäÿ ðåøåíèÿ,íàéäèòå max ju(x; y )j.òàê êàê4róíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà âQåøåíèå. àðìîíè÷åñêàÿ óíêöèÿ u, î÷åâèäíî, íå êîíñòàíòà, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèíöèïó ýêñòðåìóìà å¼ìîäóëü íå ìîæåò ïðèíèìàòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âíóòðè îáëàñòè. Èññëåäóåì å¼ íà ãðàíèöå. Óñëîâèå ïåðåïè- u + x2 u = 0. Ïî ëåììå î íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé u > 0 â òî÷êå ìàêñèìóìà è u < 0 â òî÷êåìèíèìóìà; ýêñòðåìóì íå ìîæåò äîñòèãàòüñÿ ïðè x=0.

Òàêèì îáðàçîì, èç u =x2 u çàêëþ÷àåì, ÷òî â òî÷êåìàêñèìóìà u < 0, à â òî÷êå ìèíèìóìà u > 0, à òàêîé óíêöèè íå ñóùåñòâóåò. Ïðîòèâîðå÷èå îçíà÷àåò, ÷òî up22ïðèíèìàåò ìàêñèìóì íà x + y = 2 ðàâíûé, î÷åâèäíî2 (òàê êàê òàì u(x,y)=x). (ut = u; x 2 R3 ; t > 0Çàäà÷à 4. Ïóñòü u(x,t) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:ujt=0 = sin(x1 ) sin(x2 ) sin(x3 )I = '; = [0; ℄3R(ïîä I ïîíèìàåòñÿ èíäèêàòîð ). Íàéòè limu(x; t) dx.t !1ñûâàåòñÿ òàê:R3åøåíèå. åøåíèå çàäà÷è Êîøè óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ïðåäñòàâèìî â âèäå:22jx yjp1t)3 '(y)e jx 4tyj dy dx. åøåíèå îò Ò.À.:u(x; t) dx = t limu(x; t) = (2p1t)3 '(y)e 4t dy. Òîãäà t lim(2!1!1R3R3R3 R3R RRRRR e 2Rjx yj2jx yj211lim(2pt)3 '(y )e 4t dy dx = t limt !1!1 '(y) (2pt)3 e 4t dx dy = '(y) 3=2 d dy = '(y) dy = 8.RR3 R3(äðóãîå ðåøåíèå) Çàìåíà:y px2 tR=R3, èìååìlimR RRt !1 R3R3u(x; t) dx = t lim!1R RR3 R3R3RR3p R3 jj?'(x +2 t)e d dx ! '(x) dx = 8R3.Ïðî ïîñëåäíèé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä: Ñâåä¼ì ê îäíîìåðíîé çàäà÷å (âïðî÷åì, äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ìîæíîïðîâåñòè è ñðàçó äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è): èùåì ðåøåíèå â âèäå(ïîëó÷àåì 3 çàäà÷è :RRp(ui)t = ui ; x 2 R; t > 0(ui)jt=0 = sin(xi )I[0;℄= u1(x1 ; t)u2(x2 ; t)u3(x3 ; t).

Ïîäñòàâëÿÿ,Äëÿ ëþáîé èõ íèõ ïîëó÷àåì ïî àíàëîãè÷íûì ñîîáðàæåíèÿìlim '(x + 2 t)e jj d dxppx +2 t 2= [0; ℄ ) '(x +2 t) = 0t !1 R Ru(x; t). Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî ÷åì áîëüøå t, òåì ìåíüøå îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ ïîejj ê 1, à ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåãðàë - ê èíòåãðàëó îò ñèíóñà. Çàäà÷à 5. Ïîñòðîéòå óíêöèþ ðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ïîëóêðóãà K = fx : jxj < 1; x2 > 0g íà ïëîñêîñòè(x1 ; x2 ) 2 R2 .åøåíèå. Ââåä¼ì åñòåñòâåííûì îáðàçîì êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû: (x1 ; x2 ) ! x1 + ix2 = z .

Êîíîðìíîåz+1 2 ïåðåâîäèò Ê íà ïîëóïëîñêîñòü fz : Im z > 0g. Íà íåé óíêöèÿ ðèíà èçâåñòíà:îòîáðàæåíèå w (z ) =z 1jzzj10G(z; z0 ) = 2 ln jz z0j , òîãäà óíêöèÿ ðèíà äëÿ ïîëóêðóãà èìååò âèä 21 ln jjww((zz)) ww((zz00))jj , êîòîðûé ýëåìåíòàðíûìè1 jz z0 jj1 zz0 jïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðèâîäèòñÿ ê âèäó2 ln jz z0 jj1 zz0 j .

), òåì áëèæå5.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)