Т.А. Шапошникова - Контрольные работы (1114475)
Текст из файла
Âàðèàíòû (ïî îäíîìó èç 2õ) ñ êîíòðîëüíûõ ðàáîò Øàïîøíèêîâîé Ò. À. çà 20102011 ãîä, ïðîâåä¼ííûõâ 301 ãðóïïå ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà â ðàìêàõ êóðñà Óð×Ï. Íèæå ïðåäëàãàþòñÿ, êðîìå òîãî,ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷. Íàäåþñü, ñåé êîíñïåêò áóäåò êîìó-ëèáî áóäåò ïîëåçåí.îìàíîâ Å.
Ä., 20102011 (romanovedyandex.ru).Ïîñëåäíÿÿ êîìïèëÿöèÿ: 17 èþíÿ 2011 ã.Îáíîâëåíèÿ äîêóìåíòà íà ñàéòàõ http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Îá îïå÷àòêàõ è íåòî÷íîñòÿõ ïèøèòå íà dmvnmme.ru.Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 1. Âàðèàíò 1.+45uyy + ux uy = 0;= sin x; uy jy=0 (= ex. = y 5xv + 16 v = 0 =y+xy+xf ( ) + g()e 6 = f (y + x) + g(y 5x)e 68xf (x) + g( 5x)e 6 = sin x<îòêóäà ; ðåøàÿ ; íàõîäèì :: 1 e x6 g ( 5x) + e x6 g 0 ( 5x) + f 0 (x) = ex65ex 5 os x + 7 sin x ; g(x) = C 5 e 7x=30 + 5 e x=30 os x 6 sin x ;f (x) = Ce x=6 +7373773755x+y2y5e55yy1y=5 os xv(x; y) = ex 5 +77 + 37 e5 + 6 sin x 5 + 37 ( 5 os(x + y) + 7 sin(x + y)):Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ uxxuxyóäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì: ujy=0Çàäà÷à 1.åøåíèå.
Óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê âèäóçàìåíîé:Îáùåå ðåøåíèå:Çàäà÷à 2.. Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîëó÷àåì:Ïðèâåäèòå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó è îïðåäåëèòå òèï óðàâíåíèÿ:2uxx + 5uyy + 2uzz 6uxy 4uxz + 6uyz 3u + y 2z = 0.åøåíèå. Ïðèâåäÿ îðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, èìååì:f (x; y; z ) = 2x2 + 5y2 + 2z2f (x + z; y; z ) = 2x26xy4 +6xz8><=x+z = 2y 3z>:=z2u (; ; ) + 2u (; ; ) = 0Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî çàìåíà2p5 + 59y223xy + 4 y + 2 = 2 xyz=6xy + 5y2 = 2 x2pxzy23p ( )53 y2 + y222zïðèâîäèò óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Ïðîâîäÿ å¼, ïîëó÷àåì.
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå èìååò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.Çàäà÷à 3.xÍàéòè âñå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ ïðè êàæäîì 2 R: uxx +2uyy +2uyz + 2 uzz + uz + u = 1.åøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê â îáùåì âèäå:x 2 + 2y 2 + 2y z + 2 z 2 = x 2 + y 2 + (y + z ) 2 = 0Ïðè = 0 (x; y; z ) = f (z ), èíà÷å (x; y; z ) = . Õàðàêòåðèñòèêè â ïåðâîì ñëó÷àå - ïëîñêîñòè z=ñ. Âî âòîðîìîòñóòñòâóþò.Çàäà÷à 4.åøèòå çàäà÷ó Êîøè (x 2 R3 ,t > 0):8><utt = uujt=0 = x1 + x2 x3>:ut jt=0 = x2 + x1 x3åøåíèå. Èùåì ðåøåíèÿ â âèäå, îáíóëÿþùåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:u(x1 ; x2 ; x3 ; t) = v(x1 ; x2 ; x3 ; t) + (x1 + x2 x3 ) + t(x2 + x1 x3 ). Çàäà÷à Êîøè äëÿ v èìååò âèä:Îòêóäàv(x1 ; x2 ; x3 ; t) = 0, u(x1 ; x2 ; x3 ; t) = (x1 + x2 x3 ) + t(x2 + x1 x3 ).
18><>:vtt = vvjt=0 = 0vt jt=0 = 0Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 2. Âàðèàíò 2.Çàäà÷à 1.Ïðè êàêèõåøåíèå. Çàìåíà1Æ2Æ92u = v + At2= uxx + A; x > 0; t > 0ujt=0 = utjt=0 = 0>:(ux + 2ut)jx=0 = sin 2t8>< vtt = vxx ; x > 0; t > 0vjt=0 = vt jt=0 = 0>:(vx + 2vt)jx=0 = 2At + sin 2tvjt=0 = vt jt=0 = 0(vx+2vt)jx=0 =t)2 + C + C 0ðåøåíèå u(x; t) 2 C 2 (x 0; y 0) çàäà÷è:ïðèâîäèò íàñ ê ñèñòåìå: îáëàñòè x>t èìååì: v=f(x-t)+g(x+t). Ó÷èòûâàÿèìååì f=-, g=, u=f+g=0. îáëàñòè x<t g îïðåäåëåíà, ïî-ýòîìó îñòà¼òñÿ íàéòè òîëüêî f. u=f(x-t)+.
Âîñïîëüçîâàâøèñü= 2At + sin 2tC + C 0 = 21íàõîäèìïîëîæèì3ÆA2R8>< uttvos(2(x t))2=A(xAt2. Äëÿ íåïðåðûâíîñòè âäîëü õàðàêòåðèñòèêè x=tu = v + 2 èìååì:At22 ; xtu=>os(2(x t)) A(x t)2 + 1 + At2 ; x t>:. Âñïîìèíàÿ ÷òî8>><222àçðûâû 2õ ïðîèçâîäíûõ, åñëè îíè åñòü, îáÿçàíû ëåæàòü íà õàðàêòåðèñòèêå. Èìååì:((0; x tA; x > tuxx =utt =2A + 2 os(2(x t)); x > tA + 2 os(2(x t)); x tu(x; t) 2 C 2 (x 0; y 0) Íàéòè âñå 2 R, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ u = O(e 300t ) ïðè t ! 1:8>< ut = uxx + u; x 2 (0; ); t > 0ujt=0 = sin x>:ujx=0 = ujx= = 0Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè A=1Çàäà÷à 2..åøåíèå. Ñâåä¼ì çàäà÷ó ê çàäà÷å Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ.u: u(x; t) =(x; t)8>< vt= uxx; x 2 (0; );vjt=0 = sin x>:vjx=0 = vjx= = 0t>01ÆÈçáàâèìñÿ îò2Æåøàåì çàäà÷ó ìåòîäîì Ôóðüå: èùåì ðåøåíèå v(x,t)=X(x)T(t).
Èìååì çàäà÷ó Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ:et v(.Òîãäà äëÿ v èìååì:Xk00 k Xk = 0Xk (0) = Xk () = 0, îòêóäàXk = sin kx, k = k2 .2Tk : Tk0 k Tk = 0. åøåíèå Tk = Ck e k t .11PP25Æ Èìååì v (x; t) =Tk (t)Xk (x) = Ck e k t sin kx. Èñïîëüçóÿ vjt=0 = sin x ïîëó÷àåì v(x; t) = e t sin x.k=1k=16Æ u(x; t) = et v (x; t) = et e t sin x. Òîãäà u = O(e 300t ) , 299. 4ÆÇàäà÷à äëÿ8>< uttÇàäà÷à 3.= u + e t sin x sin 2x; 0 < x; y < ;åøèòü çàäà÷ó: ujx=0 = ujx= = ujy=0 = ujy= = 0>:ujt=0 = utjt=0 = 0t>0åøåíèå.
Ïóñòü P - ïðÿìîóãîëüíèê, íà êîòîðîì çàäàíà çàäà÷à. ×òîáû ðåøèòü èñõîäíóþ çàäà÷ó, ðåøèì(u = uujP = 0P1Æ åøåíèå, êàê îáû÷íî, èùåì â âèäå u = T (t)X (x)Y (y ). Ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå èìååì:ìåòîäîì Ôóðüå òàêóþ çàäà÷ó:(Xk00 k Xk = 0Xk (0) = Xk () = 0(Ym00 m Ym = 0Ym (0) = Ym () = 02(îòêóäàk = k2Xk = sin kx(m = m2Ym = sin kyÈìååìk;m== sin kx sin my=0(k; m) 6= (1; 2)T100;2 + 5T1;2 = e tC1 = 16 C2 = 5p1 5k2ñèñòåìå. Òîãäàm2 , uk;mïðèïîëó÷àåì óðàâíåíèå:, òî.
åøàÿ,ïîëó÷àåì,Tk;mk;m=1åñòü uT1;2 txïîëó÷àåì T1;2C1. Òîãäàu=1P(t) sin kx sin myTk;m= ( ) sin sin 2py= p os( 5t) + pC2 sin(p5tt ) + e6 tujt=0 = ut jt=0 = 0u = ( 16 os( 5t) + 5p1 5 sin( 5t) + e 6 ) sin x sin 2y 8>r2 urr + rur + u'' = 4r3 os6'; 1 < r < 3; 0 < ' <><3Íàéòè ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è: u' j'=0 = u' j'= = 0>3>:ujr=3 = os3'; ujr=1 = 1u = v + Cr3 os6'C = 2744Æ31u = v + 27 r os6'(8r2 vrr + rvr + v'' = 0>>>()>>v' j'=0 = v' j'= 3 = 0<8< v jr=3 = os3' 4 os6'>>> ()>>4 os6':: v jr=1 = 127800< k + = 00 = 0 k (') = os3k' k = (3k)22Æ() : 0(0) = 0( ) = 033Ær2 Rk00 + rRk0 k Rk = 0v(r; ') = A0 + B0 ln r +1P3k3k+ (Ak r + Bk r ) os3k'k=14Æ()8(((66A0 + B0 ln 3 = 0Ak = 0; k > 2A1 33 + B1 3 3 = 1 < A2 3 + B2 3 = 44: A2 + B2 =A0 = 1Bk = 0; k > 2A1 + B1 = 02788836 3 3 (1>>>A=4< A0 = 1< A1 = 3<2Ak = 0; k > 23 33312 11 >361: B0 =>Bk = 0; k > 23 3: B2 = 4ln 3 : B1 = 33 3 3 >1 3 12r r3 r 336 3 3 6 3 3 3 6 6 1 r3 ) os6'u = v + 274 r3 os6'u = 1 lnln 3 + 33 3 3 os3' 4( 312 1 r + 1 3 12 r272Æè óäîâëåòâîðÿåò íàøåé.
Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíóþ ñèñòåìó,. Èñïîëüçóÿ.. ÈòîãîÇàäà÷à 4.åøåíèå. Èçáàâèìñÿ îò íåîäíîðîäíîñòè â óðàâíåíèè:Ïîñëå çàìåíûèç. Ïîäñòàâëÿÿ, íàõîäèì.ïîëó÷àåì çàäà÷ó:åøåíèå çäåñü êîíñòàíòà äëÿ:èåøàÿ çàäà÷ó Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ äëÿ R(r) (,.), ïîëó÷àåì, ÷òî.Èçïîëó÷àåì:Îòêóäà, ó÷èòûâàÿèìååì.8><Çàäà÷à 5.åøåíèå.8>< vu = 0Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïðÿìîóãîëüíèêå: ux jx=0 = sin y; ux jx=2 = sin 3y>:ujy=0 = os2x; ujy= = os6xàçîáü¼ì ñèñòåìó íà 2 ïî ïðîòèâîïîëîæíûì ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà (u=v+w):( =00000Xk00 + Xk = 0XYk = k = 1Æ vx jx=0 = 0; vx jx=2 = 0vk = Xk (x)Yk (y)kXYkk>X 0 (0) = X 0(2) = 0:vjy=0 = os2x; vjy= = os6x1Pkykyv(x; y) =Yk (y) os kx2k > 0 Yk (y) = Ck e 2 + Dk e 2vjy=0 = os2x vjy= = os6xk=0 8811>>< C4 =< C12 = 642y2y6y6y1 eee 6v = ( 1 e e4 + 1 e e 4 ) os2x + ee6 ee 6 os6x11>>:D =4 1 e 4 : D12 = e6 e 68>< w = 0Æwx jx=0 = sin y; wx jx=2 = sin 3y2>:wjy=0 = 0; wjy= = 01Pxx3x3xw = Xk (x) sin kyw = ( 1 ee4 1 ee 4 ) sin y+ 3(ee6+ee 6 ) sin3yk=12y2y6y6yxe xe3x +e 3x3Æ u = v + w = ( 1 e e4 + 1 e e 4 ) os2x + ee6 ee 6 os6x + ( 1 ee41 e 4 ) sin y + 3(e6 e 6 ) sin 3y , òîãäàäà.
Äëÿ,. ÈçÎòêó-,ïîëó÷àåì:Îêîí÷àòåëüíî.Àíàëîãè÷íî äëÿ 2îé ñèñòåìû:. Êîýèöèåíòû íàõîäÿòñÿ èç êðàåâûõ óñëîâèé. Èòîãî.3.Ïðîâåðî÷íàÿ ðàáîòà îò Ò.À. (îäíà çàäà÷à íà 30 ìèíóò, çäåñü îáà âàðèàíòà).jxj<12 C01 (jxj < 1), x = (x1 ; x2 ; x3 ) èìååòu(Âëàäèìèðîâ 19.35) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ óíêöèéìåñòî íåðàâåíñòâîZÇàäà÷à 1.jruj2 + u dx 45. Èìååò ëè ìåñòî ðàâåíñòâî äëÿ êàêîé-ëèáî èç îïèñàííûõ âûøå óíêöèé?åøåíèå. àññìîòðèì óíêöèîíàëI (t) = E (u+tg) =1)g dxRjxj<1RE (u) =jruj2 + u dx.jxj<1jruj2 +2t(ru; rg)+t2 jrgj2 +u+tg dx.
dtd I (t) jt=0 ==jruj2 + u dx =îòêóäàRjxj<1dÈìååìRjxj<1r2 1 ,= 12r2 1136 + 12 dx = 9uRjxj<1( 2u+8<Èùåì ðåøåíèå êàê óíêöèþ îò ðàäèóñà:112 .jxj<1+2(ru; rg)+g dx =u = 21:ujjxj=1 = 0u = R(r)8<u = R00(r) + 1r R0(r) = 21:ujjxj=1 = R(1) = 0C + d + r2r12. Ïîëó÷àåì âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó:Îáùåå ðåøåíèå ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:R.
Òîãäà. u - ãàðìîíè÷åñêàÿ â øàðå ñ öåíòðîì â íóëå, îòêóäàC = 0; u(1) = 0,íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì óíêöèîíàëà. Òåïåðü ïðîâåðèì íåðàâåíñòâî:r2Rjxj<14312r2 dx1= 91 R 4r45450= 445545=45 , îòêóäà íåðàâåíñòâîu. Çàäà÷à 2. (Âëàäèìèðîâ 19.29) Ïóñòü Q - êóá f0<x1 <1; 0<x2 <1; 0<x3 <1g. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé óíêöèè f 2 H01 (Q) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:âåðíî, ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ íà íàéäåííîé óíêöèèkf k2L2 31 2 krf k2L2I (t) = E (f +tg) =RQRQ2(f + 312 f )g dxRE (f ) = f 21232 jrf j dx.Rf 2 +2tfg+t2g2 31 2 jrf j2 + 2t(rf; rg) + t2 jrgj2 dx.
dtd I (t) jt=0 = 2fg 32 2 (rf; rg) dx =åøåíèå. àññìîòðèì óíêöèîíàëQQ. Ïîëó÷àåì âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó:(f = 32ff jQ = 0Èùåì ðåøåíèå â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì:âèäåòü, ÷òî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿf= a sin x1 sin xR 2 sin x13óíêöèîíàëà. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâàRR1 R1 R1Qf=1Pk;l;m=1Ëåãêî. Íà òàêèõ óíêöèÿ äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì íàøåãî232 jrf j dx f2Aijk sin kx1 sin lx2 sin mx3 .0:(sin x1 sin x2 sin x3 )2 dx1 dx2 dx3 = 18 ,000111111R 12 dx= R R R 2 (os x1 sin x2 sin x3 + : : :) dx1 dx2 dx3 =3 2 R R R os x1 sin x2 sin x3 dx1 dx2 dx3 = 32 ,jrfj238000000Q211 38 32 8 = 0, îòêóäà íåðàâåíñòâî âåðíî è äîñòèãàåòñÿ íà óíêöèÿõ âèäà a sin x1 sin x2 sin x3 .
Qf 2 dx =4Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 3. Âàðèàíò 1.Çàäà÷à 1.Íà ïëîñêîñòè çàäàí êâàäðàò ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A(0,1), B(1,0), C(0,-1), D(-1,0). Ïóñòüâ D R2 . (x; y) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ óíêöèÿ ýòîãî êâàäðàòà. Íàéòè xx yy( xx yy ; ') = ( ; 'xx('xx = + 2 + 'yy = 2 + åøåíèå.Òîãäà'yy ) =RABCD( )'xx 'yy dS . Ñäåëàåì çàìåíó:( =x+y.=x y. Êðîìå òîãî, êîãäà ñäåëàåì çàìåíó â èíòåãðàëå, ïîÿâèòñÿ ÿêîáèàí, ðàâíûé12.(1; 1)R112'xx 'yy dS =4 2 dS = (; ) d db = 2 (; 1) (; 1) d = 2 (1; 1)1 11ABCDA0 B 0 C 0 D02 ( 1; 1) 2 (1; 1) + 2 ( 1; 1) = 2'(1; 0) 2'(0; 1) 2'(0; 1) + 2'( 1; 0) xx yy = 2Æ(x 1; y) 2Æ(x; y + 1) 2Æ(x; y 1) + 2Æ(x + 1; y) krÄîêàæèòå, ÷òî E (r) = os4r , r = jx x0 j, ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà23 + k (x 2 R ).1 +2r(eikr )r( 1 )+( 1 )eikr :1E = eikr 4reikr 4rÆ4r4r1Êâàäðàò ABCD ïåðåéä¼ò â êâàäðàò A'B'C'D' ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõÈìååìR.R1 R1R, îòêóäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:.Çàäà÷à 2.åøåíèå.Ïåðâîå ñëàãàåìîåäà¼ò-óíêöèþ,R3 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
