Dmitriev5 (1114440), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

вариационной задачи. Необходимые условия экстремума.

Функционалом называется отображение множества функций в множество чисел (аналогия с функцией, но заданной не на числовом, а на функциональном множестве).

Пример: время, затраченное на прохождение траектории , если скорость зависит от точки нахождения

По аналогии с дифференциалом функции вводится понятие вариации функции.

Вариацией функции (аргумента функционала) называется разность функций

причем – класс с закрепленными концами.

Т.к. в функционал кроме может входить и т.д. до , то кривые и близки в смысле k-го порядка ( ), если мало , где

Функционал называется непрерывным при в смысле близости k-го порядка, если для любого положительного можно найти такое, что

если

(функции близости порядка k).

Линейным функционалом называется функционал , удовлетворяющий условиям

П р и м е р.

Вариация функционала – это главная, линейная по отношению к , часть приращения функционала

Другое определение:

Вариационные задачи – задачи на экстремум функционала. Например, найти

где – задано, а .

Частный случай – задача о брахистроне.

Задача о геофдезических линиях

Необходимое условие экстремума функционала

О п р е д е л е н и е. Функционал достигает на кривой max (или min), если значение функционала на любой близкой к кривой не больше (не меньше), чем , т.е.

.

Т е о р е м а 33.1 Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума (или минимума) при , где внутренняя точка области определения функционала, то при

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

При фиксированных и функционал . По предположению достигает max (или min) при

Если экстремум достигается для близких к нулевого порядка, то экстремум сильный, если для близких к первого (или выше) порядка, то экстремум слабый.

Близость в или в .

п.34. Основная лемма вариационного исчисления.

Уравнения Эйлера.

Л е м м а 34.1 Основная лемма.

Если для каждой непрерывной на функции выполняется условие

где непрерывная на функция, то при .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть такое, что . Тогда из непрерывности , что окрестность т. , где сохраняет знак.

Взяв

,

получим;

Пришли к противоречию

Уравнения Эйлера.

Т е о р е м а 34.1 Необходимым условием экстремума функционала при является выполнение на экстремали уравнения Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть – экстремаль (т.е. на достигается экстремум ). Тогда зададим параметрическое семейство функций

На этом семействе имеем

Необходимые условия экстремума

– интегрируем по частям:

по основной лемме (уравнение Эйлера) или

п.35. Функционалы, содержащие производные порядка выше первого и зависящие от нескольких функций. Необходимые условия экстремума.

Функционал от нескольких функций.

.

Варьируем Так как любая непрерывная на функция, обращающая на концах в нуль , то всегда можно все взять равными нулю, кроме и тогда получим уравнение Эйлера

.

Функционал со старшими производными.

Пусть – экстремаль имеет 2n непрерывных производных. Варьируем ее в параметрическом в виде: , причем при и имеем

(*)

Тогда

,

Интегрируя по частям и учитывая (*), получим

– любая непрерывная функция. Тогда по основной лемме:

уравнение Эйлера-Пуассона.

п.36. Многомерные вариационные задачи.

Уравнение Эйлера-Остроградского.

Исследуем функционал от функции двух переменных , т.е.

.

Все допустимые поверхности проходят через контур (его проекция С).

Вариация .

,

,

,

,

.

Откуда

По формуле Грина

(т.к. на )

.

Т.к. – произвольная непрерывная функция, то по основной лемме уравнение Эйлера-Остроградского

Пример:

.

Это уравнение Лапласа.

п.37. Вариационные задачи на условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Найти экстремум функционала, зависящего от нескольких функций.

Уравнения предполагаются независимыми. Пусть они независимы как функции от первых переменных , т.е.

.

Т е о р е м а 37.1 Вектор функция , реализующая условный экстремум (*), удовлетворяет при соответствующем выборе множителей уравнениям Эйлера, составленным для функционала

Функции и определяется из уравнения Эйлера

, (37.1)

где

. (37.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если – экстремаль задачи (*), то

.

Интегрируя по частям и учитывая, что , получим

(37.3)

Но применить основную лемму нельзя из-за того, что не произвольны, т.к. есть связь через условия .

Т.к. малы, то связи можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и пренебрегая . Тогда

(37.4)

Умножив (37.4) на , проинтегрировав по x, просуммировав по i и сложив с (37.3), получим:

или, введя , получим

. (37.5)

Пока не являются независимыми и основную лемму применить нельзя.

Возьмем такими, что удовлетворяется

(37.6)

Это – линейная система с определителем, не равным нулю

система имеет решение, а(37.5) для даннных имеет вид:

.

Теперь при независимы и можно использовать основную лемму. В результате получим:

.

Учитывая (37.6), получим окончательно

Теорема доказана.

Если , т.е. нет зависимости от x, то . Задача решается проще.

Мы рассмотрели случай конечных связей, зависящих только от x и y. Такие связи называются неголономными. Возможны диф. связи:

,

которые называются голономными. Теорема 37.1 переносится и на случай голономных связей.

Содержание

Часть I. Обыкновенные дифференциальные

уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

п.1. Понятие дифференциального уравнения.

Математические модели, описываемые

обыкновенными дифференциальными уравнениями. 3

п.2. Постановка задачи с начальными данными

(задача Коши). Понятие корректной постановки

задачи. Лемма Гронуолла–Беллмана. 7

п.3. Теорема единственности решения задачи Коши

для уравнения I-порядка, разрешенного

относительно производной. 9

п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного

относительно производной. 10

п.5. Дифференциальное уравнение I-порядка,

неразрешенное относительно производной.

Теорема существования и единственности решения. 13

п.6 Особые решения уравнения I-го порядка,

неразрешенного относительно производной. 15

п.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.

Интегральный множитель. 18

п.8. Нормальные системы DУ. Теорема существования

и единственности решения задачи Коши для

нормальной системы и уравнения n-го порядка. 22

п.9. Непрерывность решений дифференциальных

уравнений по начальным данным и параметрам.

Регулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Понятие о сингулярном возмущении. 25

п.10. Линейное дифференциальное уравнение n-го

порядка и его свойства. Сведение к нормальной

системе первого порядка. Существование решения. 28

п.11. Линейное дифференциальное уравнение

2-го порядка. Понижение порядка уравнения.

Уравнение Риккати. 30

п.12. Общая теория однородных линейных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений. 32

п.13. Фундаментальная система решений и общее

решение для линейной системы дифференциальных

уравнений. 34

п.14. Решение неоднородной системы

дифференциальных уравнений. 35

п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с

постоянными коэффициентами в случае некратных

корней характеристического уравнения. 36

п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при

кратных корнях характеристического уравнения. 37

п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения 2-го порядка.

Формула Остроградского-Лиувилля. 38

п.18. Основные понятия теории устойчивости.

Устойчивость решения линейной системы. 42

п.19. Исследование устойчивости решения системы

по первому приближению. 45

п.20. Исследование траектории в окрестности точки

покоя. 47

Часть II. Краевые задачи и вариационное

исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

п.21. Постановка краевых задач для обыкновенных

дифференциальных уравнений. Формула Лагранжа. 51

п.22. Формула Грина. Построение решения краевой

задачи с помощью функции Грина. 53

п.23. Существование функции Грина. Постановка

краевой задачи при существовании решения

однородной задачи. 55

п.24. Обобщенная функция Грина и представление

решения с ее помощью. 58

Характеристики

Список файлов лекций