В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 9
Текст из файла (страница 9)
,−12 −1 −12ïîðÿäîê êîòîðîé ðàâåí N − 1. Ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íà, è ïîòîìó åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû, à ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ(v, w) :=N−1Xvi w i .i=1Íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è îòâå÷àþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (6.33).Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.33) â âèäå−yn+1 + 2(1 − λ/2)yn − yn−1 = 0,è ïðåäïîëîæèì, ÷òîò.å.|1 − λ/2| 6 1,n = 1, . . .
, N − 10 6 λ 6 4.(6.34)Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî α ìîæíî ïîëîæèòü1 − λ/2 = cos α/N(6.35)è ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå òàêyn+1 − 2 cosαyn + yn−1 = 0.NÕàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå óðàâíåíèþ (6.36), åñòüq 2 − 2 cosà åãî êîðíè ñóòüq1,2α= cos ±Nrcos2αq + 1 = 0,Nααα− 1 = cos ± i sin= e±αi/N .NNN(6.36)6.5. ÇÀÄÀ×À ÍÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß67Òåì ñàìûì,αnαn+ c2 cos(6.37)NNåñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.36). Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿëîãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (6.34). Áóäåì èìåòüyn = c1 siny0 = c2 = 0,(6.38)yN = c1 sin α = 0.Ïîñêîëüêó c1 íå ìîæåò áûòü íóëåâûì, òî îòñþäà íàõîäèì, ÷òî sin α = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,α = kπ, k ∈ Z.(6.39)Èç (6.35) íàõîäèìµkπλ = λk = 2 1 − cosN¶= 4 sin2à èç (6.38) yn = yn(k) = c1 sinkπ,2Nk ∈ Z,kπn.N(6.40)(6.41)(0)Ïðè k = 0 ðåøåíèå yn ≡ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî λ0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì(N )çíà÷åíèåì.
Ïðè k = N ðåøåíèå yn = c sin N π ≡ 0, è λN òîæå íå ìîæåò áûòüñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλk = 4 sin2kπ,2Nk = 1, . . . , N − 1(6.42)ðàçëè÷íû, èáî ôóíêöèÿ sin t ïðè 0 < t < π/2 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Ïîñêîëüêóèçó÷àåìàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà àëãåáðàè÷åñêîé çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿìàòðèöû (N − 1) ïîðÿäêà, òî ñîîòíîøåíèÿ (6.42) çàäàþò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (6.33). Ñîáñòâåííûå ôóíêöèèyn(k) = c1 sinkπn,Nk = 1, . . . , N − 1îðòîãîíàëüíû. Ïîäñ÷èòàåì èõ íîðìûkyn(k) k2=¡yn(k) , yn(k)¢=c21N−1Xn=1= c21N−1Xn=1Äàëåå,sin2kπn=N2kπn"#N−1X1N−12kπnN = c2−cos.1222 n=1N1 − cosN−1 ³´nX2ikπe2ikπ − e2ikπ/N2kπn= Ree N= Re= −1.cosNe2ikπ/N − 1n=1n=1N−1X(6.43)68 6.
ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÒåì ñàìûì,p2/N ,(6.44)k = 1, . . . , N − 1.(6.45)kyn(k) k2 = c21 N/2 = 1 ïðè c1 =à îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñóòüyn(k) =p2/N sinkπn,NÈç (6.42) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðåäïîëîæåíèå (6.34) âûïîëíåíî. Ïîýòîìó â ðàññìîòðåíèè ïðîòèâîïîëîæíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñìûñëà íåò.Óïðàæíåíèå 6.3. Ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ− yn+1 + 2yn − yn−1 ,λ− y1 + y0 + y0 = 0,2Îòâåò.λk = 4 sin2kπ,2Nk = 0, . . . , N,(k)yn =n = 1, . .
. , N − 1,λyN − yN −1 + yN = 0.2p2/N coskπn.N 7Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû7.1 Îáùèå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíûÔóíêöèþ ρ(x) 6≡ 0 áóäåì íàçûâàòü âåñîâîé ôóíêöèåé íà èíòåðâàëå (−1, 1), åñëè íàýòîì èíòåðâàëå îíà íåîòðèöàòåëüíà è èíòåãðèðóåìà.Ïóñòü íà (−1, 1) çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ(7.1)P0 (x), P1 (x), . . . , Pn (x), . . . ,â êîòîðîé êàæäûé ìíîãî÷ëåí Pn (x) èìååò ñòåïåíü n.
Åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåZ1( Pm , Pn ) :=ρ(x)Pm (x)Pn (x)dx = 0,m 6= n,−1òî ìíîãî÷ëåíû (7.1) íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè íà (−1, 1) ñ âåñîì ρ(x).Ëåììà 7.1. Åñëè â ñèñòåìå èç (n + 1) îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâP0 (x), P1 (x), . . . , Pn (x)êàæäûé ìíîãî÷ëåí Pk (x) èìååò ñòåïåíü k , òî âñÿêèé ìíîãî÷ëåí Qn (x) ñòåïåíè nìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäåQn (x) = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + · · · + an Pn (x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû Pk (x) èìåþò âèä(k)(k)(k)Pk (x) = c0 + c1 x + · · · + ck xk ,à ìíîãî÷ëåí(k)ck 6= 0,Qn (x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn .69(7.2)70 7.
ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛÏîäñòàâëÿÿ ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ â (7.2) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ xk , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿîïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ak(0)(1)(2)(n)c0 a0 + c0 a1 + c0 a2 + . . . + c0 an = c0 ,(1)(2)(n)c1 a1 + c1 a2 + .
. . + c1 an = c1 ,......................................................(n)cn an = cn .(k)Ïî óñëîâèþ òåîðåìû êîýôôèöèåíòû ck ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ îòëè÷íû îò íóëÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå. Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 7.1.
Óìíîæàÿ ñîîòíîøåíèå (7.2) íà ρ(x)Pk (x) è èíòåãðèðóÿ ðåçóëüòàò ïîèíòåðâàëó (−1, 1), ëåãêî íàõîäèì, ÷òîak =( Pk , Qn ),kPk k2kPk k2 = ( Pk , Pk ).Ëåììà 7.2. Äëÿ âñÿêîé âåñîâîé ôóíêöèè ρ(x) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîíîðìèðîâàííûõ ìíîãî÷ëåíîâ {Pn (x)}, èìåþùèõ ïîëîæèòåëüíûéêîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè x ìíîãî÷ëåíàPn (x) ÷åðåç µn .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåì ìåòîäîì ïîëíîé ìàòåìàòè÷åñêîéèíäóêöèè. Èìååì, P0 (x) = µ0 > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,( P0 , P0 ) = µ20 ( 1 , 1 ) = 1.Ïîýòîìópµ0 = 1/ ( 1 , 1 )è ìíîãî÷ëåí P0 (x) îïðåäåëåí.Ïóñòü îïðåäåëåíû îðòîíîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíûP0 (x), P1 (x), . . . , Pn−1 (x).Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåí Pn (x). Áóäåì åãî èñêàòü â âèäå Pn (x) = µn xn + Qn−1 (x).  ñèëóëåììû 7.1 íàõîäèì, ÷òîn−1XnPn (x) = µn x +ak Pk (x),k=0ãäå ÷èñëà µn è ak ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ.
Óìíîæàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñêàëÿðíî íàPm (x), m = 0, . . . , n − 1, íàõîäèì, ÷òî0 = µn ( xn , Pm (x) ) + am ,m = 0, . . . , n − 1,7.1. ÎÁÙÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛò.å.71am = −µn ( xn , Pm (x) )è, ñëåäîâàòåëüíî,"Pn (x) = µn xn −n−1X#( xn , P k ) xkk=0åñòü ïðîèçâîëüíûé îðòîãîíàëüíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Óìíîæàÿ åãî ñêàëÿðíî íàñàìîãî ñåáÿ è òðåáóÿ íîðìèðîâàííîñòè, íàõîäèìÃ!2 n−1X1 = µ2n xn −( xn , Pk )xk , 1 .|k=1{z}∨0Îòñþäà îïðåäåëÿåì µn > 0. Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 7.3. Åñëè Pn (x) ïðèíàäëåæèò ñîâîêóïíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì ρ(x)ìíîãî÷ëåíîâ, òî äëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíà Qm (x) ñòåïåíè m < n( Qm , Pn (x) ) = 0,m < n.(7.3)Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó ëåììû 7.1Qm (x) = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + · · · + am Pm (x).Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (7.3), ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû.Ëåììà 7.4. Åñëè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ρ(x) ÷åòíàÿ, òî êàæäûé îðòîãîíàëüíûé ìíîãî-÷ëåí Pn (x) ñîäåðæèò òîëüêî òå ñòåïåíè x, êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâóþ ñ íîìåðîìn ÷åòíîñòü, ò.å.Pn (−x) ≡ (−1)n Pn (x).(7.4)Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ρ(x) = ρ(−x) èZ1ρ(x)Pn (x)Pm (x)dx = 0,m = 0, . . . , n − 1.−1Çàìåíîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ x = −t ýòè óñëîâèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê âèäóZ1ρ(t)Pn (−t)Pm (−t)dt = 0,−1m = 0, . .
. , n − 1,72 7. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛò.å. Pm (−t) òîæå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. Íî â ñèëó ëåììû 7.2 ëþáîé îðòîãîíàëüíûé ìíîãî÷ëåí îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ, è ïîýòîìóPn (−x) = cn Pn (x).Îòñþäà â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî(−1)n an xn = cn an xn ,ò.å. cn = (−1)n è ïîýòîìóPn (−x) = (−1)n Pn (x).Ëåììà äîêàçàíà.Òåîðåìà 7.1. Äëÿ ëþáûõ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñïðàâåäëèâà ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà(7.5)αn Pn+1 (x) = (x − βn )Pn (x) − γn Pn−1 (x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì (7.5) â âèäåxPn (x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn (x) + γn Pn−1 (x). ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñòîèò ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n + 1.
 ñèëó ëåììû 7.1 îíìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî ìíîãî÷ëåíàì P0 , . . . , Pn+1xPn (x) =n+1X(n+1)ck(7.6)Pk (x),k=0ãäå â ñèëó çàìå÷àíèÿ 7.1(n+1)ck=( xPn , Pk ).kPk k2Íî òîãäà ñ ó÷åòîì (7.6)(n+1)ck11=(P,xP)=nkkPk k2kPk k2=1kPk k2k+1X(k+1)cjÃPn ,(7.7)k+1X!(k+1)cjPj=j=0( Pn , Pj ) .j=0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè k + 1 < n, òî(n+1)ckè ïîýòîìó= 0,k+1<n(n+1)(n+1)xPn (x) = cn+1 Pn+1 (x) + cn(n+1) Pn (x) + cn−1 Pn−1 (x),ò.å.(n+1)αn = cn+1 ,Òåîðåìà äîêàçàíà.βn = cn(n+1) ,(n+1)γn = cn−1 .(7.8)(7.9)7.2.
ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛ ×ÅÁÛØÅÂÀ ÏÅÐÂÎÃÎ ÐÎÄÀ73Òåîðåìà 7.2. Âñå íóëè îðòîãîíàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà Pn (x) äåéñòâèòåëüíû, ðàçëè÷íûè ðàñïîëîæåíû íà èíòåðâàëå (−1, 1).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí Pn (x) íà (−1, 1) ìåíÿåòçíàê n ðàç. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. ÷òî ìíîãî÷ëåí Pn (x) ìåíÿåò çíàê òîëüêî â òî÷êàõξ1 , ξ2 , . . . , ξm , ãäå m < n. Òîãäà ìíîãî÷ëåíQm (x) = (x − ξ1 )(x − ξ2 ) .
. . (x − ξm )òàêæå ìåíÿåò çíàê òî÷íî â ýòèõ æå ñàìûõ òî÷êàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèåPn (x)Qm (x) 6≡ 0 ñîõðàíÿåò çíàê íà (−1, 1) è ñëåäîâàòåëüíîZ1ρ(x)Pn (x)Qm (x)dx 6= 0,−1÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 7.3. Ïðîòèâîðå÷èå ñíèìàåòñÿ, åñëè n = m. Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 7.2.
 ñèëó äîêàçàííîé òåîðåìû äëÿ íóëåé x(n)îðòîãîíàëüíîãî ìíîãîk÷ëåíà Pn (x) èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà(n)(n)(n)−1 < x1 < x2 < · · · < xk < · · · < x(n)n < 1.(7.10)7.2 Ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäàÐàññìîòðèì ñëåäóþùåå îäíîðîäíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèyn − 2xyn−1 + yn−2 = 0.(7.11)Çäåñü x ïàðàìåòð. Ïîñòàâèì äëÿ (7.11) íà÷àëüíûå óñëîâèÿy0 = 1,Òîãäày1 = x.y2 = 2x · x − 1 = 2x2 − 1,y3 = 2x(2x2 − 1) − x = 4x3 − 3x,y4 = 8x4 − 8x2 + 1, . . . .(7.12)(7.13)Î÷åâèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.11), (7.12) â óçëå n åñòü ìíîãî÷ëåí îò xñòåïåíè n.Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (7.11), (7.12) â ÿâíîì âèäå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (7.11) èìååò âèäq 2 − 2xq + 1 = 0,74 7. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛà åãî êîðíè ñóòüq1 = q = x +√x2 − 1 è q2 = 1/q.(7.14)Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.11) åñòüyn = c1 q n + c2 q −n .Ïîëàãàÿ çäåñü n = 0 è n = 1 è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (7.12),íàõîäèì, ÷òîy0 = c1 + c2 = 1,(7.15)y1 = c1 q + c2 q −1 = x.Ïðåîáðàçåì âòîðîå èç óðàâíåíèé (7.15) ñ ó÷åòîì (7.14) è ïåðâîãî óðàâíåíèÿ,√√y1 = c1 (x + x2 − 1) + c2 (x − x2 − 1) =√√= (c1 + c2 )x + (c1 − c2 ) x2 − 1 = x + (c1 − c2 ) x2 − 1 = x.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî c1 = c2 , à ñ ó÷åòîì (7.15) íàõîäèì, ÷òîc1 = c2 = 1/2,è ïîýòîìóyn =q n + q −n2(7.16)åñòü ðåøåíèå çàäà÷è (7.11), (7.12).Êàê áûëî çàìå÷åíî ðàíüøå, ýòî åñòü ìíîãî÷ëåí îò x ñòåïåíè n.
Ïóñòü |x| < 1.Òîãäà â ñèëó (7.14)√q = x + i 1 − x2è, ñëåäîâàòåëüíî, |q| = 1. Ïóñòü q = eiϕ . Òîãäàx = cos ϕ, ϕ = arccos x,einϕ + e−inϕyn == cos nϕ = cos[n arccos x].2(7.17)Îïðåäåëåíèå 7.1. Àëãåáðàè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíûTn (x) = cos[n arccos x],|x| < 1,n = 0, 1, . . .(7.18)íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäà.Îíè ïðèíàäëåæàò ê ñåìåéñòâó îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ. Îïðåäåëèì âåñîâóþôóíêöèþ ρ(x), ïðè êîòîðîé ìíîãî÷ëåíû Tn (x) áóäóò îðòîãîíàëüíûìè.
Èç (7.17) ñëåäóåò, ÷òîdx, x = 1 ïðè ϕ = 0 è x = −1 ïðè ϕ = π.dϕ = − √1 − x27.3. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍΠ×ÅÁÛØÅÂÀ75Ïðèíèìàÿ òåïåðü âî âíèìàíèå (7.18), íàõîäèì, ÷òî ïðè m 6= nZπ0=Z10Òåì ñàìûì√cos mϕ cos nϕ dϕ =−11Tm (x)Tn (x)dx.1 − x2ρ(x) = (1 − x2 )−1/2 .(7.19)7.3 Ñâîéñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà1◦ . Ïðè ÷åòíîì n ìíîãî÷ëåí Tn (x) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé x, à ïðè íå÷åòíîì n íå÷åòíîé.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç (7.19) è ëåììû 7.4.◦2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
