В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ïóñòü p1 , p2 , . . . , pk ñóòü íåíóëåâûå A-ñîïðÿæåííûå âåêòîðû. Òîãäà,ëèáî ñóùåñòâóåò A-ñîïðÿæåííûé ê íèì âåêòîð pk+1 , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ(10.7), ëèáî rk = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü íå ñóùåñòâóåò òàêîãî A-ñîïðÿæåííîãî ñ p1 , p2 , . . . , pk âåê-òîðà pk+1 , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî óñëîâèå (10.7), ò.å. äëÿ ëþáîãî âåêòîðàp ⊥ {Ap1 , Ap2 , . . . , Apk } = im APk(10.21)( rk , p ) = 0.(10.22)èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîÍàïîìíèì, ÷òî â ñèëó (10.14) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà p, óäîâëåòâîðÿþùåãî (10.21),( p , rk ) = ( p , b )è, ñëåäîâàòåëüíî, (ñì. (10.22)),( p , Ax ) = 0.Òåì ñàìûì, ðåøåíèå x ∈ im Pk . Íî xk ìèíèìèçèðóåò J(x) íà im Pk è, ñëåäîâàòåëüíî,xk = x, ò.å.
rk = 0. Îòñþäà æå âûòåêàåò, ÷òî, åñëè rk 6= 0, òî ñóùåñòâóåò pk+1 èç (10.21),äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî óñëîâèå (10.7). Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 10.3. Ëåììà 10.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ëèáî ìû íà k -îé èòåðàöèè çàêîí÷èëèâû÷èñëåíèÿ, ïîëó÷èâ òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è (10.2), ëèáî èìååì âîçìîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ ïðîäîëæèòü.Òåîðåìà 10.3. Ïîñëå k èòåðàöèé ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïðè êàæäîì jîò 1 äî kspan {p1 , p2 , . . . , pj } = span {r0 , r1 , . . .
, rj−1 } ==span {b, Ab, . . . , Aj−1 b} =: Kj (A, b).(10.23)Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì ïîëíîé ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè j = 1ñîîòíîøåíèÿ (10.23) èìåþò ìåñòî, èáî â ñèëó âûáîðà (10.8) íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿr0 = b, à èç (10.16) p1 = r0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (10.23) ñïðàâåäëèâû ïðè íåêîòîðîì j ,óäîâëåòâîðÿþùåì íåðàâåíñòâó 1 6 j < k . Äîêàæåì èõ ñïðàâåäëèâîñòü ïðè j + 1. êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà ïîêàæåì, ÷òîspan {p1 , p2 , . . . , pj+1 } ⊂ span {r0 , r1 , . . . , rj }. ñèëó (10.15)jpj+1 = r⊥= rj − rqj ,rqj ∈ im [APj ](10.24)101è, ñëåäîâàòåëüíî,pj+1 = rj − APj yj ,Èç (10.3) âûòåêàåò, ÷òîyj ∈ Rj .(10.25)Axj = Axj−1 + αj Apj .Âû÷èòàÿ èç îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà ïî b, áóäåì èìåòürj = rj−1 − αj Apjè, ñëåäîâàòåëüíî,(10.26)Apj = −(rj − rj−1 )/αj .Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (10.25), íàõîäèì, ÷òî· 1¸rj − rj−1r − r0 r2 − r1j+1jp=r +...yj .α1α2αjÎòñþäà è èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò âêëþ÷åíèå (10.24).Òåïåðü óñòàíîâèì âêëþ÷åíèåspan {r0 , r1 , .
. . , rj } ⊂ span {b, Ab, . . . , Aj b}.(10.27)Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âåêòîðû pj ∈ span {b, Ab, . . . , Aj−1 b}. ÏîýòîìóApj ∈ span {b, Ab, . . . , Aj b}.Åñëè òåïåðü ïðèíÿòü âî âíèìàíèå âêëþ÷åíèårj−1 ∈ span {b, Ab, . . . , Aj−1 b}, òî èç (10.26) íàéäåì, ÷òîrj ∈ span {b, Ab, . . . , Aj b}.Âíîâü ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, áóäåì èìåòü æåëàåìîå âêëþ÷åíèå (10.27).Èòàê, âìåñòî ðàâåíñòâà (10.23) ìû ïîêà èìååì òîëüêî âêëþ÷åíèÿ (10.24), (10.27)ïðîñòðàíñòâ, ðàçìåðíîñòü êàæäîãî èç êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò j+1.
Ïîñêîëüêó âåêòîðûp1 , p2 , . . . , pj+1 íåíóëåâûå è A-ñîïðÿæåííûå, òîdim span {p1 , p2 , . . . , pj+1 } = j + 1.Îòñþäà è èç âêëþ÷åíèé (10.24), (10.27) ñëåäóåò èñêîìîå ðàâåíñòâî (10.23).Ëåììà 10.2. Ïîñëå k èòåðàöèé ïî ìåòîäó ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ íåâÿçêà rjîðòîãîíàëüíà âñåì âåêòîðàì ñïóñêà p1 , . .
. , pj , ò.å.PjT rj = 0,j = 1, k.(10.28)102 10. ÌÅÒÎÄ ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÕ ÃÐÀÄÈÅÍÒÎÂÄîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó (10.9) ñóùåñòâóåò âåêòîð yj ∈ Rj òàêîé, ÷òî xj = Pj yj .Ïîýòîìó1J(xj ) = J(Pj yj ) = (APj yj , Pj yj )n − (b, Pj yj )n =21= [Pj yj ]T [APj yj ] − [Pj yj ]T b =21= yjT PjT APj yj − yjT PjT b =21= ([PjT APj ]yj , yj )j − (PjT b, yj )j ,2ò.å. yj åñòü ðåøåíèå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ñ ìàòðèöåé PjT APj è âåêòîðîì PjT b, è,ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð yj ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ñèñòåìû[PjT APj ]yj = PjT b.ÎòñþäàPjT rj = PjT (b − Axj ) = PjT (b − APj yj ) = 0.Ëåììà äîêàçàíà.Òåîðåìà 10.4. Ïîñëå k øàãîâ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ íåâÿçêè r0 , r1 , . .
. , rkâçàèìíî îðòîãîíàëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 10.3pj ∈ span {r0 , r1 , . . . , rj−1 }.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî p1 âûðàæàåòñÿ òîëüêî ÷åðåç r0 , p2 òîëüêî ÷åðåç r0 è r1 è ò.ä., ò.å.Pj = [p1 p2 . . . pj ] = [r0 r1 . . . rj−1 ]Uj =: Rj Uj ,(10.29)ãäå Uj âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ (j × j)-ìàòðèöà.Ïîñêîëüêó âåêòîðû p1 , p2 , . . . , pj , à â ñèëó òåîðåìû 10.3 è âåêòîðû r0 , r1 , . . .
, rj−1ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî Uj íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Ïîäñòàâëÿÿ ïðåäñòàâëåíèå(10.29) ìàòðèöû Pj â (10.28), áóäåì èìåòü£¤T0 = UjT RjT rj = UjT (r0 , rj ) (r1 , rj ) . . . (rj−1 , rj ) .Ðàññìàòðèâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî (ri , rj ) ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî (ri , rj ) = 0ïðè i 6= j . Òåîðåìà äîêàçàíà.Ìû òåïåðü èìååì âñå íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü òåîðåìó 10.1, ò.å.pk+1 = rk + βk+1 pk .(10.30)103Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 10.1.  ñèëó (10.15)kpk+1 = r⊥= rk − rqk ,ò.å.k+1pk=r −rqk ∈ im AP k ,kXck+1,j Apj .j=1Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû 10.3 pj ∈ Kj (A, b), òîApj ∈ Kj+1 (A, b),(10.31)à, ñíîâà èñïîëüçóÿ òåîðåìó 10.3 íàõîäèì, ÷òî Apj ∈ span {p1 , p2 , .
. . , pj+1 } è, ñëåäîâàòåëüíî,k+1Xk+1kp=r −dk+1,j pjj=1èëèk+1(1 + dk+1,k+1 )pk=γ −kXdk+1,j pj .(10.32)j=1Êîýôôèöèåíò (1 + dk+1,k+1 ) ïðè pk+1 íóëþ íå ðàâåí, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àåkr =kXdk+1,j pj = Pk [dk+1,1 dk+1,2 . . . dk+1,k ]T = Pk dkj=1è ñ ó÷åòîì ëåììû 10.2TTTTkrk k2 = rk rk = rk Pk dk = (rk Pk dk )T = dk (PkT rk ) = 0,ò.å. rk = 0, ÷òî â ñèëó ëåììû 10.1 âîçìîæíî ëèøü ïî çàâåðøåíèè èòåðàöèé.Òàê êàê âåêòîð pk+1 èç (10.32) äîëæåí áûòü A-îðòîãîíàëåí âåêòîðàì pj , j =1, 2 . . . , k , òî(rk , Apj )dk+1,j =, j = 1, 2, . . . , k.(10.33)(Apj , pj )Ñíîâà îáðàùàÿñü ê (10.31) è òåîðåìå 10.3, íàõîäèì, ÷òîApj ∈ span {r0 , r1 , . .
. , rj },à ïî òåîðåìå 10.4kj(r , Ap ) =jXi=0lj,i (rk , ri ) = 0,j = 1, 2, . . . , k − 1.104 10. ÌÅÒÎÄ ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÕ ÃÐÀÄÈÅÍÒÎÂÑëåäîâàòåëüíî,dk+1,j = 0,j = 1, 2, . . . , k − 1,à (10.32) ïðèíèìàåò âèä(1 + dk+1,k+1 )pk+1 = rk − dk+1,k pk ,ãäå dk+1,k îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (10.33) (ñð. ñ (10.18)), ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî äëèíûâåêòîðà pk+1 (ñì. Çàìå÷àíèå 10.2) ñîâïàäàåò ñ (10.17). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèÿ (10.19) ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ.
 ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ íàèáîëåå òðóäîåìêèìè ÿâëÿþòñÿ äâå îïåðàöèè: âû÷èñëåíèå âåêòîðîâ Axkè Apk . Îäíàêî îïåðàöèþ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðà Axk ìîæíî èñêëþ÷èòü. Ïîñêîëüêó ýòîòâåêòîð èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî ïðè âû÷èñëåíèè íåâÿçêè rk , òî ìîæíî çàìåíèòü ïåðâóþèç ôîðìóë (10.19) íà (10.26)rk = rk−1 − αk Apk ,k = 1, 2, . . . ,r0 = b.(10.34)Ïðåîáðàçóåì åùå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ αk+1 è βk+1 .
Ïîäñòàâëÿÿ âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (10.19) â ÷åòâåðòîå è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ëåììó 10.2, íàéäåì,÷òîαk+1 = (rk , rk )/(pk+1 , apk+1 ), k = 0, 1, . . . .(10.35)Äàëåå, çàìåíÿÿ çäåñü k + 1 íà k è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ (pk , Apk ) âïîñëåäíåå èç ñîîòíîøåíèé (10.19), áóäåì èìåòüβk+1 = −αk(Apk , rk ).(rk−1 , rk−1 )Òåïåðü ïîäñòàâèì ñþäà âìåñòî Apk åãî âûðàæåíèå èç (10.34).
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèåòåîðåìó 10.4, íàéäåì, ÷òîβk+1 =(rk , rk ),(rk−1 , rk−1 )k = 1, 2, . . . .(10.36)Ñ ó÷åòîì (10.34)-(10.36) ôîðìóëû ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (10.19) ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäórk = rk−1 − αk Apk , k = 1, 2, . . . , r0 = b,pk+1 = rk + βk+1 pk ,k = 1, 2, .
. . ,xk+1 = xk + αk+1 pk+1 ,k 2k+1αk+1 = kr k /(p, Apβk+1 = krk k2 /krk−1 k2 ,k = 0, 1, . . . ,k+1),p1 = r 0 ,x0 = 0,k = 0, 1, . . . ,k = 1, 2, . . . .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêår0 = b, p1 = r0 , Ap1 , α1 , x1 ,r1 , β2 , p2 , Ap2 , α2 , x2 , . . . .(10.37) 11Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé11.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏóñòü A- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è òðåáóåòñÿ íàéòèñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîé ìàòðèöû. ÍàïîìíèìÎïðåäåëåíèå 11.1. ×èñëî λ íàçûâåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A, åñëèîäíîðîäíàÿ ñèñòåìàAξ = λξ(11.1)èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå kξk 6= 0. Ýòî íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàdet [A − λI] = 0,ñòåïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì ìàòðèöû è åñòü n.
Òåì ñàìûì, ó êàæäîéêâàäðàòíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò n ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, äåéñòâèòåëüíûõ èëè êîìïëåêñíûõ, ïðîñòûõ èëè êðàòíûõ. Ñ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ñèòóàöèÿ ñëîæíåå: èõ÷èñëî ìîæåò áûòü îò 1 äî n.Îïðåäåëåíèå 11.2. Ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòíåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà S (ìàòðèöà ïîäîáèÿ) òàêàÿ, ÷òî B = S −1 AS .Ïîäîáíûå ìàòðèöû èìåþò îäèíàêîâûé íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.Ëþáàÿ ìàòðèöà A ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ S −1 AS ñ ïîäõîäÿùåé ìàòðèöåé ïîäîáèÿ S ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê íîðìàëüíîé (Æîðäàíîâîé) ôîðìå. (Íà ãëàâíîéäèàãîíàëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à íà íàääèàãîíàëè íóëè è (èëè) åäèíèöû)105106 11.
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉλ1 σ1 0 0 . . .00 0 λ2 σ2 0 . . .00 0 0 λ3 σ3 . . .00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . λn−1 σn−1 0 0 0 0 ...0λnÎïðåäåëåíèå 11.3. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïðîñòîé ñòðóêòóðû (èëè äèàãîíàëèçóåìîé), åñëè åå æîðäàíîâîé ôîðìîé ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.• Ìàòðèöà ïðîñòîé ñòðóêòóðû èìååò ðîâíî n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ. Ïðî òàêóþ ìàòðèöó åùå ãîâîðÿò, ÷òî îíà èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.• Åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A ðàçëè÷íû, òî îíà çàâåäîìî èìååòïðîñòóþ ñòðóêòóðó.• Ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó, è ïîýòîìó ó íåå èìååòñÿ nëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
Åå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå îáû÷íîãîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿy T x = (x, y) =nXxi y i ,i=1à ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå êðàòíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ êðàòíîñòè m îòâå÷àåò m ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ), ìîãóò áûòü îðòîãîíàëèçèðîâàíû.• Ìàòðèöà AT èìååò òå æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ÷òî è ìàòðèöà A, à ñîáñòâåííûåâåêòîðû ξi è ηj ìàòðèö A è AT , ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû (îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó).• Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A è A−1 ñîâïàäàþò, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì λi (A−1 ) = λ−1i (A).• Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A è B = A+αI ñîâïàäàþò, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè λi (B) = λi (A) + α.Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿïîëíîé ïðîáëåìîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Ýòà ïðîáëåìà â îáùåì ñëó÷àå äîâîëüíîñëîæíà.Íàðÿäó ñ ïîëíîé ïðîáëåìîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñóùåñòâóþò ÷àñòè÷íûå ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, îòûñêàíèå ðåøåíèé êîòîðûõ ìíîãî ïðîùå.Ê ïîñëåäíèì îòíîñÿòñÿ:11.2. ÑÒÅÏÅÍÍÎÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÁËÅÌ1071) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ìàêñèìàëüíîãî èëè ìèíèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿ è, áûòü ìîæåò, îòâå÷àþùåãî åìó ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.2) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ äâóõ íàèáîëüøèõ ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.3) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, íàèáîëåå áëèçêîãî ê çàäàííîìó ÷èñëó.Ýòèìè çàäà÷àìè ìû è çàéìåìñÿ.11.2 Ñòåïåííîé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîáëåìÈçëîæèì ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ðåøèòü íåêîòîðûå èç ÷àñòíûõ ïðîáëåì ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé ïðè ïîìîùè âû÷èñëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèé ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà.
Èçëàãàåìûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì èòåðàöèîííûììåòîäîì.11.2.1 Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÁóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìàòðèöà A èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó, à åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû, ò.å.Aξi = λi ξi ,Im λi = 0,1/2kξi k = kξi k2 = (ξi , ξi )i = 1, n,= 1,i = 1, n.Äîïóñòèì, ÷òî|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > · · · > |λn |.(11.2)(11.3)(11.4)Çàäàäèì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x0 . Åãî ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ξi ìàòðèöû A èìååò âèäx0 = c1 ξ1 + c2 ξ2 + · · · + cn ξn .(11.5)Çäåñü c1 , c2 , . . . , cn êîîðäèíàòû âåêòîðà x0 â áàçèñå ξ1 , ξ2 , . . . , ξn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
