Материалы с контрольных и зачетов по линейной алгебре (1113181)
Текст из файла
Материалы с контрольных и зачетов по линейной алгебреПреподаватель — И. А. ДынниковII семестр. 2005 г.Набрано П. Рахмоновым, отредактировано и свёрстано DMVN Corporation.Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1. Контрольная 15 марта 2005 г.1. Найти базис суммы U + V и пересечения U ∩ V пространств U и V , если U = h(1, 1, −1, 2), (1, −1, 7, 0)i,V = h(2, −1, 1, 4), (1, 1, 8, −1)i.2. В пространстве, двойственном пространству симметричных матриц размера 2 × 2 дан базис:e1 = tr(AX), e2 = tr(BX), e3 = tr(CX)Найти координаты trX, еслиA=1010, B=0010, C=0 01 −1,3.
Найти матрицу оператора проектирования пространства U = h(1, −1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)i параллельно пространству V = h(1, 1, 0, −1), (0, 0, 0, 1)i в стандартном базисе R44. Найти cos( π2 A), если4 3 1A = 0 1 −1 1 2 32. Контрольная 28 апреля 2005 г.2.1. Вариант 11. Найти расстояние между прямой l : (9, −2, −1, 1) + h(2, −2, −1, −1)i и подпространством R, где2x + 4y + z + t= 8R:2x + 7y + 4z − 2t = 292. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис ортогонального оператора, заданного в стандартном базисе R4 матрицей:47 −41148 A=98 −413. Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:0 0 03 −1 11 0 A = 0 0 0 ,G = −10 2 010 14.
Представить оператор A, заданный своей матрицей в некотором ортонормированном базисе в виде произведения A = BU положительного самосопряженного B и ортогонального U операторов, если1A=10317323103− 23− 43 3062.2. Вариант 21. Найти расстояние между прямой l : (2, 4, 0, 14) + h(0, 1, −2, 5)i и подпространством R, где2x − 2y + z + t = 9R:4x + 2y + 3z + t = 172. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис кососимметрического оператора,заданного в стандартном базисе R4 матрицей:0 −3 4 4 30 2 2 A= −4 −2 0 0 −4 −2 0 03.
Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:0 0 021 −12 −1 A = 0 0 0 ,G= 10 0 2−1 −114. Представить оператор A, заданный своей матрицей в некотором ортонормированном базисе в виде произведения A = BU положительного самосопряженного B и ортогонального U операторов, если 14− 9 − 98 − 1994− 22A = − 119992414−9992.3. Вариант 5 (задания 1, 4 отсутствуют)2. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис ортогонального оператора, заданного в стандартном базисе R4 матрицей:−47 −411 −4 −8 A=984 −13.
Представить матрицу A линейного оператора в виде суммы B + C симметрического (самосопряженного) оператора B и кососимметрического оператора C, если данный оператор и скалярное произведении имеютматрицы:2 0 02 −1 05 2 A = 0 0 0 ,G = −10 0 002 13. Самостоятельная работа №13.1. Вариант 7.2Найти жорданову нормальную форму матрицы A и жорданово разложение матрицы A (т.е.
представитьматрицу A виде A = N + P, где N — нильпотентная, P — полупростой операторы), вычислить e−A , если−9 124 −9 12 −101 −12 A = −230 −33 3 −5 −22 −5 00 −10 −224. Самостоятельная работа №2Доказать, что для любого n ∈ N существует такой многочлен Pn (x1 , . . . , xn ), что для всех матриц порядка nимеет место равенство det A = Pn (tr A, tr A2 , .
. . , tr An ). Найти P2 , P3 .5. Контрольная 13 мая 2005г.5.1. Вариант 11. Привести кососимметрическую билинейную функцию f (x, y) = (x1 y2 − x2 y1 ) + (x1 y3 − x3 y1 ) − 2(x1 y4 −x4 y1 ) − (x2 y3 − x3 y2 ) + 3(x2 y4 − x4 y2 ) + (x3 y4 − x4 y3 ) к каноническому виду методом Лагранжа.2. Для данной пары квадратичных функций f1 (x, y) = 8x2 − 12xy + 5y 2 и f2 (x, y) = 4x2 − 4xy + 5y 2 выяснить, какая из них является положительно определенной, и найти базис, в котором эта функция приводится кнормальному, а другая — к каноническому виду, найти матрицы квадратичных функций в этом базисе.5.2.
Вариант 31. Привести кососимметрическую билинейную функцию f (x, y) = (x1 y2 −x2 y1 )−(x1 y3 −x3 y1 )−(x1 y4 −x4 y1 )+3(x2 y3 − x3 y2 ) + 2(x2 y4 − x4 y2 ) − 4(x3 y4 − x4 y3 ) к каноническому виду методом Лагранжа.2. Для данной пары квадратичных функций f1 (x, y) = 4x2 + 4xy − y 2 и f2 (x, y) = 8x2 − 20xy + 13y 2 выяснить, какая из них является положительно определенной, и найти базис, в котором эта функция приводится кнормальному, а другая — к каноническому виду, найти матрицы квадратичных функций в этом базисе.6.
Зачёт №16.1. Вариант 1.41. Найти расстояние от матрицы A до подпространства симметрических матриц в метрике (X, Y ) = tr(XGY ⊤ ),если3 01 −2G=,A=0 12 −12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно0 −1 −1 010 −1 −10−1 −1 −1оператора, заданного матрицей21 3 43.
Для ортогональной матрицы32 −7 41 428 17 A=33−7 −16 28решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).6.1.1. Вариант 1.51. Найти расстояние от матрицы A до подпространства верхнетреугольных матриц в метрике (X, Y ) =tr(XGY ⊤ ), если3 11 2G=,A=1 12 12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно оператора, заданного матрицей01 1 −2 −21 2 −4 −1 −1 2 −2 −1 −1 1 −13. Для ортогональной матрицы7661 −69 −2 A=11−6 −293решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).6.2. Вариант 1.61.
Найти расстояние от матрицы A до подпространства нижнетреугольных матриц в метрике (X, Y ) =tr(XGY ⊤ ), если2 11 2G=,A=1 21 12. Найти все гиперплоскости, инвариантные относительно оператора, заданного матрицей0 −22 −4 0230 00 −10 11 −443. Для ортогональной матрицы16 15 121 −12 20 −9 A=25−15 0 20решить уравнение exp X = A. (Указание: использовать канонический вид ортогонального оператора, найтилинейные соотношения между A и A−1 и искомой матрицей).7. Зачёт №27.1. Вариант 6.21.
Задать системой уравнений аффинную оболочку многочленов 1 − x, x2 , x3 в пространстве R4 [x], взяв закоординаты многочлена P набор (P (0), P (1), P (2), P ′ (0), P ′ (−1)).2. Найти жорданову форму и жорданов базисматриц размера 2 × 2 действу для оператораA в пространстве7 21 4ющей по формуле A : X 7−→ LXM , где L =,M =. (Указание: использовать жорданову2 10−1 5форму матриц L и M ).1 −1310 −12 , в виде произведения R⊤ R, где R3. Используя метод Лагранжа, представить матрицу −13 −1219— верхнетреугольная матрица с положительными числами на диагонали.8.
Зачёт №38.1. Вариант 7.1−30 −11 в виде1. Используя процесс ортогонализации Грама – Шмидта, представить матрицу −2 −1621произведения QR ортогональной матрицы Q на верхнетреугольную матрицу R с положительными числами надиагонали.1 0 212. Представить матрицу −1 0 2 в виде произведения симметрической неотрицательной матрицы32 0 1на ортогональную.√2515 √20 √5 √ −5√ 510√1 115 9 + 16 √2 12 − 12√ 2 , Q = √ 3 − 8√2 3√5 6 + 4√2 Ответ: S = √15 105 1020 12 − 12 2 16 + 9 24+6 2 4 5 8−3 23.
Оператор A действует в пространстве C3 [x] следующим образом: для многочлена P ∈ C3 [x] результат APприменения оператора A есть остаток от деления многочлена xP (x) на x4 − x3 − 3x2 + x + 2. Найти жордановунормальную форму оператора A и какой-нибудь жорданов базис.42 −12 −3 −1 −1Ответ: C = 01 −211121 0−3 ,J = 01 0000200 −10000 .1 −19. Пересдача9.1. Вариант 5.21. Найти базис суммы U + V и пересечения U ∩ V подпространств U и V , еслиU = h(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, −1, 3)i,V = h(1, 2, 0, 0, 0), (0, −1, 1, 1, 1), (1, −1, 2, 1, 2)i.2.
Пусть f — оператор в пространстве многочленов степени ≤ 2, который переводит многочлен P (x) вмногочлен Q(x) = P (2)+P ′ (1)·x+P ′′ (2)·x2 . Найти матрицу оператора f в базисе e1 = 1, e2 = 1+x, e3 = 1+x+x2 .3. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы7 −425 8 −527 −52 −2 −2 1 −102Вычислить exp A.4. Для пары Q1 = x2 + 2xy и Q2 = 5x2 + 2xy + 2y 2 квадратичных функций найти базис, в котором однаиз них приводится к диагональному виду, а другая к единичному.
Какой вид имеет квадратичная функцияQ3 = x2 − 4xy − y 2 в этом базисе?5. Найти угол между вектором (2, −2, 0, 1, 3) и подпространствомx1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0x1 + x2 + 2x3 − 2x4= 0−2 16 86. Представить матрицу 8 −1 4 в виде произведения A = QS ортогональной матрицы Q на сим−4 −4 7метричную S.Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
