Понятия вектора и линейного векторного пространства (1113069)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 1Понятия вектора и линейного векторного пространства05/09/20131Обозначения•••••••••••2P =⇒ Q: Если P , то Q.P ⇐⇒ Q: P тогда и только тогда, когда Q; P эквивалентно Q.P ∧ Q: P и Q.P ∨ Q: P или Q.x ∈ A: x является элементом множества A; x принадлежит A.{x ∈ A | P (x)}: множество элементов A, удовлетворяющих свойству P .{f (x1 , . . . , xn ) | P (x1 , . . . , xn )}: множество результатов применения операции f ко всемx1 , . .

. , xn , удовлетворяющим P .∀x, P (x): P (x) истинно для всех x.∃x, P (x): P (x) истинно для некоторого x. Аналогично, ∀x ∈ A, P (x) и ∃x ∈ A, P (x)означают, что P (x) истинно для всех (некоторых) x из A.f : A → B: f — это функция с областью определения A и областью значений B.N, Z, Q, R — множества натуральных, целых, рациональных, и действительных чисел.Отношения эквивалентностиУпорядоченная последовательность, или просто последовательность, элементов из множестваA отличается от подмножества A тем, что в последовательности важен порядок элементов.Перестановка элементов дает другую последовательность, но не меняет подмножество. Упорядоченные последовательности длины n можно отождествить с функциями из {1, 2, . .

. , n} в A.Если s — такая функция, то соответствующая последовательность есть (s(1), s(2), . . . , s(n)).Будем заключать упорядоченные последовательности в круглые скобки: (a1 , a2 , . . . , an ).Две последовательности равны, если равны их i-е элементы для всех i.

В частности,(a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒ a1 = b1 ∧ a2 = b2 .В отличие от этого, для равенства множеств мы имеем{a1 , a2 } = {b1 , b2 } ⇐⇒ (a1 = b1 ∧ a2 = b2 ) ∨ (a1 = b2 ∧ a2 = b1 ) .Декартово произведение множеств A и B, обозначаемое через A × B, — это множествовсевозможных упорядоченных пар, где первым элементом является элемент A, а вторым —элемент B, т.е.A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} .Множество A × A также обозначается через A2 . Аналогично, An — это множество всехупорядоченный последовательностей длины n, состоящих из элементов A.1Отношение R между множествами A и B — это любое подмножество A × B. Если A = B,то R называется отношением на A.

Если (x, y) ∈ R, то часто пишут xRy по аналогии стакими отношениями, как ≤ и <. Заметим, что f : A → B можно рассматривать как частныйслучай отношения между A и B, обладающего следующим свойством: (x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈f =⇒ y = z, т.е. функция сопоставляет единственный элемент каждому аргументу.Отношение R на множестве A называется отношением эквивалентности при выполненииследующих условий.1.

R рефлексивно, т.е. xRx для всех x ∈ A.2. R симметрично, т.е. xRy =⇒ yRx для всех x, y ∈ A.3. R транзитивно, т.е. xRy ∧ yRz =⇒ xRz для всех x, y, z ∈ A.Примеры.1. Отношение < на множестве чисел не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.Отношение ≤ рефлексивно, не симметрично и транзитивно.2. Отношение дружбы на множестве людей симметрично, но в общем случае не транзитивно.3.

Пусть R — отношение на множестве людей, такое что xRy ⇐⇒ x и y имеют одинаковый рост. Тогда R — отношение эквивалентности.4. В общем случае, если f : A → B, то {(x, y) | x, y ∈ A ∧ f (x) = f (y)} является отношением эквивалентности. В пункте 3 функцией f является отображение, сопоставляющеекаждому человеку его рост.5. Однако утверждение пункта 4 в общем случае неверно, если f не функция, а произвольное отношение.

Например, пусть xRy, если x — человек, y — язык (русский,английский и т.п.) и x знает y. Тогда {(x, y) | ∃z, xRz ∧ yRz} — отношение, содержащеепары людей, могущих объясняться друг с другом. Такое отношение симметрично, но необязательно транзитивно.6. Отношение {(x, y) | x, y ∈ Z ∧ xy > 0} на Z симметрично и транзитивно, но не рефлексивно. Однако оно является отношением эквивалентности на Z \ {0}. Этот примерпоказывает, что для установления рефлексивности важно, на каком множестве заданоотношение.Пусть R — отношение эквивалентности на множестве A. Тогда классом эквивалентностиэлемента x ∈ A называется множество {y ∈ A | xRy}.

Класс эквивалентности x обозначаетсячерез [x]. Таким образом, y ∈ [x] по определению означает, что xRy.Теорема 1.1. Каждый элемент A принадлежит классу эквивалентности.2. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.Доказательство. 1. Пусть x ∈ A. Так как R рефлексивно, xRx, поэтому x ∈ [x].2. Пусть [x] и [y] пересекаются, т.е. существует z ∈ A, такой что z ∈ [x] и z ∈ [y]. Поопределению класса эквивалентности, это означает xRz и yRz, а это по симметричности Rвлечет zRy.

Чтобы доказать, что [x] и [y] совпадают, мы покажем, что каждый элемент u ∈ [x]принадлежит также и [y] и наоборот. Итак, пусть u ∈ [x], т.е. xRu. По симметричности, uRx.Дальше, используя xRz, zRy и применяя транзитивность два раза, мы получаем uRy, что посимметричности влечет yRu, т.е. u ∈ [y]. Тот факт, что каждый u ∈ [y] принадлежит также и[x], доказывается аналогично.2Идея доказательства предыдущей теоремы проста.

Если R — отношение эквивалентности,то мы можем говорить, что элементы x и y связаны R, не заботясь о том, какой элемент идетпервым, в силу симметричности. Тогда если классы эквивалентности x и y пересекаются,то у них есть некоторый общий элемент z, т.е. x, z и y связаны. Если же теперь есть ещенекоторый u ∈ [x], то u связан с x, а значит с z и y.

Аналогично, любой u ∈ [y] связан сx. Таким образом, все элементы в этих двух классах оказываются эквивалентными, т.е. этоодин класс.Таким образом, множество A, на котором есть отношение эквивалентности, разбиваетсяна непересекающиеся классы. Интуитивно, это соответствует взгляду на A с высоты, когдавидны не отдельные элементы A, а только целые классы. Можно также сказать, что всеэлементы A определены “с точностью до R”: нам не важен конкретный представитель класса,а только сам класс.Например, пусть R определено на множестве студентов ННГУ следующим образом: xRy,если x и y принадлежат одной группе. Тогда R — отношение эквивалентности, и его классы— это группы.

Это взгляд на множество студентов “с точностью до группы”.3Операции на классах эквивалентности и их корректностьОпределение функции должно однозначно описывать, как аргументы преобразуются в результат. Есть ситуации, когда наиболее естественное описание такого преобразования включаетвыбор элемента из множества или использует объект, существование которого не очевидно.В этом случае необходимо доказать, что определение корректно, т.е. результат функциине зависит от выбора элемента, или что используемый объект действительно существует иединственен.Приведем примеры некорректных определений функций. В каждом из них присутствуетвыбор, от которого зависит конечный результат.1. f (x) : R → Z, f (x) есть первая цифра в десятичном представлении x.

Вспомним,что некоторые числа имеют два представления: например, 1 = 0,999 . . .. Определениеговорит, что f (1) = 1 и f (0,999 . . . ) = 0. Но тогда f отображает одно и то же числов два разных числа; следовательно, f не является функцией. Проблема заключается втом, что выбор разных представлений может привести к разным результатам.2.

Пусть1 g : Q × Q → Q, g(a/b, c/d) = (a + c)/(b + d). Тогда f (1/3, 1/5) = 2/8 = 1/4, ноf (2/6, 1/5) = 3/11 6= 1/4, несмотря на то, что 1/3 = 2/6. Здесь проблема в выборе одного из многих представлений рационального числа в виде дроби; разные представленияведут к разным результатам.3. (Пример использует материал последующий лекций.) Пусть h(a, b, c) есть двойное векторное произведение векторов a, b и c в этом порядке, но без указания, какое изпроизведений: a на b или b на c, находится первым. Поскольку векторное произведениене ассоциативно, результат зависит от того, какая пара векторов умножается первой.В отличие от векторного произведения, произведение чисел или матриц ассоциативно,поэтому h(x, y, z) = xyz является корректным определением даже без указания, какоеиз умножений xy или yz производится первым.Операции на классах эквивалентности обычно определяют через уже известные операции на представителях этих классов.

Поскольку в таких определениях присутствует выборпредставителя, необходимо доказывать, что результат операции от него не зависит.1 См.Gowers’s Weblog.3Рассмотрим пример. Пусть R — отношение на Z, такое что mRn ⇐⇒ m − n четно. Легкопроверить, что R — отношение эквивалентности с двумя классами: множествами четных инечетных чисел.

Пусть x и y — два класса (возможно, совпадающих). Определим x + yследующим образом. Выберем m ∈ x и n ∈ y; результатом операции будет [m + n]. Такоеопределение часто записывают так: [m] + [n] = [m + n]. Надо проверить, что результат независит от выбора m и n. Это следует из того, что четность суммы целых чисел зависиттолько от четности слагаемых, т.е., от их класса эквивалентности.Посмотрим теперь, какой класс эквивалентности дает операция деления на два на представителях [0], т.е.

на классе четных чисел. Так, [0/2] = [0]. а [2/2] = [1] 6= [0] несмотря нато, что и 0, и 2 принадлежат одному классу. Другими словами, четность результата деленияна два зависит не от четности аргумента (а от остатка при делении на 4).4Векторы и операции над нимиСм. [1, с.

1–4].Сложение ненулевых свободных векторов a и b состоит из четырех шагов: (1) выбратьпроизвольный закрепленный вектор a1 ∈ a, (2) отложить закрепленный вектор b1 от концаa1 , (3) получить закрепленный вектор c1 , соединяющий начало a1 с концом b1 , и (4) вернуть[c1 ].

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций