Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Åñëè µ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû B = A + F , íî íåÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A, òî 1/||(A − µI)−1 ||2 ≤ ||F ||2 .Äîêàçàòåëüñòâî.âûðîæäåííàÿ⇒B − µI = (A − µI) + F âûðîæäåííàÿ||(A − µI) ||2 ||F ||2 ≥ ||(A − µI)−1 F ||2 ≥ 1. 2Ìàòðèöà⇒ìàòðèöàI + (A − µI)−1 F−1Ñëåäñòâèå.
Ïóñòü A äèàãîíàëèçóåìàÿ ìàòðèöà, è ïðåäïîëîæèì,÷òî AX = XΛ, ãäå X ìàòðèöàèç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, Λ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1 , . . . , λn ìàòðèöû A.Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû B = A + F ïðèíàäëåæàò îáúåäèíåíèþ êðóãîâ âèäàKi = {z ∈ C : |z − λi | ≤ ||X||2 ||X −1 ||2 ||F ||2 },3511 ≤ i ≤ n.352Ëåêöèÿ 64Äîêàçàòåëüñòâî.çíà÷åíèå äëÿ64.2µÏóñòüΛ + X −1 F X , ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿíî íå äëÿΛ.B,íî íå äëÿA.Òîãäàµåñòü ñîáñòâåííîåÎñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó ÁàóýðàÔàéêà.2Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïåêòðàìè íîðìàëüíûõ ìàòðèöÒåîðåìà ÂèëàíäòàÕîôôìàíà. Ïóñòü A è B íîðìàëüíûå ìàòðèöû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 (A), .
. . , λn (A) è λ1 (B), . . . , λn (B). Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}nX|λi (A) − λσ(i) (B)|2 ≤ ||A − B||2F .i=1Äîêàçàòåëüñòâî.A = QΦQ∗ , B = ZΨZ ∗ , ãäå Q, Z óíèòàðíûå ìàòðèöû, à Φ è Ψ äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé φi = λi (A) è ψi = λi (B).  ñèëó óíèòàðíîé èíâàðèàíòíîñòè∗∗íîðìû Ôðîáåíèóñà, ||A − B||F = ||Φ − V ΨV ||F , ãäå V = Q Z óíèòàðíàÿ ìàòðèöà.
Äàëåå,||Φ − V ΨV ∗ ||2FÇàïèøåìtr(Φ∗ − V Ψ∗ V ∗ )(Φ − V ΨV ∗ ) = tr(Φ∗ Ψ) + tr(Φ∗ Ψ) − 2Re (tr(Φ∗ V )(ΨV ∗ ))nnn XnXXX=|φi |2 +|ψi |2 − 2αij sij ,αij = Re(φi ψj ), sij = |vij |2 .=i=1i=1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìàòðèöài=1 j=1S = [sij ] ÿâëÿåòñÿ äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêîé (ñì. ðàçäåë 37.9). Ïîýòîìó ïðèαij ôóíêöèîíàëôèêñèðîâàííûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõf (S) =n XnXαij siji=1 j=1ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ìíîæåñòâå äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêèõ ìàòðèö. Ýòîçàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî⇒ìàêñèìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íà íåì äîñòè-ãàåòñÿ â êàêîé-òî óãëîâîé òî÷êå (ñì. ðàçäåë 26.7). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óãëîâûìè òî÷êàìèìíîæåñòâà äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêèõ ìàòðèö ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöû ïåðåñòàíîâîê è òîëüêî îíèíåêîòîðîé ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêèPè ñîîòâåòñòâóþùåé åé ïîäñòàíîâêåmax f (s) ≤ f (P ) =S||A − B||2F ≥nXαi σ(i) =i=1nXäëÿRe (φi ψσ(i) ) ⇒i=1n X|φi |2 + |ψσ(i) |2 − 2Re (φi ψσ(i) ) =|φi − ψσ(i) |2 . 2i=1Çàìå÷àíèå.nX⇒σi=1Òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà îò êîýôôèöèåíòîâ â äàííîì äî-êàçàòåëüñòâå íå èñïîëüçîâàëàñü.
Ïîýòîìó òåîðåìà ÂèëàíäòàÕîôôìàíà äàåò åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâîôàêòà íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû îò åå êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ñïåöèàëüíîãî êëàññà ìàòðèö äëÿ íîðìàëüíûõ ìàòðèö.Ñëåäñòâèå. Ïóñòü A è B ýðìèòîâû ìàòðèöû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 (A) ≥ . . . ≥ λn (A)è λ1 (B) ≥ . . . ≥ λn (B). ÒîãäànX(λi (A) − λi (B))2 ≤ ||A − B||2F .i=1Äîêàçàòåëüñòâî.i1 < i2 ,Ïóñòüφi = λi (A)èψi = λi (B).Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëèφσ(i1 ) < φσ(i2 )òî(φi1 − ψσ(i1 ) )2 + (φi2 − ψσ(i2 ) )2 ≥ (φi1 − ψσ(i2 ) )2 + (φi2 − ψσ(i1 ) )2 .
2ïðèÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 4065.1Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöÏîñëå îáñóæäåíèÿ ïðîáëåì è òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ ìíîãîìåðíûìè ìàññèâàìè, îñîáåííî ïðèÿòíî çàêîí÷èòü òåìó îäíèì ïîëîæèòåëüíûì ðåçóëüòàòîì, ëåãêî ïîëó÷àåìûìñ ïîìîùüþ èçó÷åííîé íàìè ìàòðè÷íîé òåõíèêè. Ðå÷ü èäåò î òàê íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèè Òàêêåðà î íåì íåðåäêî ãîâîðÿò êàê î ìíîãîìåðíîì îáîáùåíèè ñèíãóëÿðíîãîðàçëîæåíèÿ.Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòà òðåáóåò íåáîëüøîé ïîäãîòîâêè. Ïóñòü X = [xijk ] òðåõìåðíûé ìàññèâ ðàçìåðîâ n1 × n2 × n3 , è ïóñòü P = [pi0 i ], Q = [qj 0 j ], R = [rk0 k ] ìàòðèöûðàçìåðîâ n01 × n1 , n02 × n2 , n03 × n3 , ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì íîâûé òðåõìåðíûé ìàññèâX 0 = [x0i0 j 0 k0 ] ñëåäóþùèì îáðàçîì:x0i0 j 0 k0=n1 Xn2 Xn3Xpi0 i qj 0 j rk0 k xijk .i=1 j=1 k=1Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî X 0 åñòü ñâåðòêà ìàññèâà X ñ ìàòðèöàìè P, Q, R.
Îáîçíà÷åíèå:X 0 = X {P, Q, R}. Êðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ,X 1 P = X {P, In2 ×n2 , In3 ×n3 },X 2 Q = X {In1 ×n1 , Q, In3 ×n3 },X 3 R = X {In1 ×n1 , In2 ×n2 , R}.Ñîãëàñíî äàííûì îïðåäåëåíèÿì,X 0 = X {P, Q, R}= ((X 1 P ) 2 Q) 3 R = ((X 2 Q) 3 R) 1 P = ((X 3 R) 1 P ) 2 Q= ((X 3 R) 2 Q) 1 P = ((X 2 Q) 1 P ) 3 R = ((X 1 P ) 3 R) 2 Q.65.2Îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâÎáîçíà÷èì ÷åðåç X1 , X2 , X3 è X10 , X20 , X30 ìàòðèöû ñå÷åíèé ìàññèâîâ X è X 0 ïî îñÿìi, j, k . Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîX 0 = X1 P ⇔ X10 = P X1 ,X 0 = X2 Q ⇔ X20 = QX2 ,X 0 = X3 R ⇔ X30 = RX3 .Ëåììà.
Ïóñòü ìàòðèöû P, Q, R îðòîãîíàëüíûå. Òîãäà åñëè X 0 = (X 1 P ) 2 Q, òîñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè â ìàòðèöàõ X30 è X3 îäèíàêîâû. Àíàëîãè÷íî, åñëè X 0 = (X 1 P ) 3 R, òî îäèíàêîâû ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê353354Ëåêöèÿ 65â ìàòðèöàõ X20 è X2 ; åñëè X 0 = (X 2 Q) 3 R, òî îäèíàêîâû ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿñòðîê â ìàòðèöàõ X10 è X1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X 0 = (X 1 P ) 2 Q.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîx0i0 j 0 k=n1 Xn2Xpi0 i qj 0 j xijk .i=1 j=1Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê ìàòðèöû X30 ñ íîìåðàìè k1 è k2 :!!XX XXXXXXpi0 i1 qj 0 j1 xi1 j1 k1pi0 i2 qj 0 j2 xi2 j2 k2 =x0i0 j 0 k1 x0i0 j 0 k2 =i0j0i0j0i1j1i2!XXXX Xi1j1i2j2XXXXi1j1i2pi0 i1 pi0 i2i0j2!Xqj 0 j1 qj 0 j2xi1 j1 k1 xi2 j2 k2 =j0δi1 i2 δj1 j2 xi1 j1 k1 xi2 j2 k2 =j2XXi1xi1 j1 k1 xi1 j1 k2 .j1Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè òàê íàçûâàåìûé ñèìâîë Êðîíåêåðà:0, α 6= β,δαβ =1, α = β.Ïîëó÷åíî ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû.
Îñòàëüíûå äâà óòâåðæäåíèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿàíàëîãè÷íûì îáðàçîì. 265.3Ðàçëîæåíèå ÒàêêåðàÒåîðåìà. Äëÿ ëþáîãî òðåõìåðíîãî ìàññèâà X = [xijk ] ðàçìåðîâ n1 × n2 × n3 ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû P, Q, R òàêèå, ÷òî òðåõìåðíûé ìàññèâS = [sijk ] ≡ X {P, Q, R}îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) êàæäàÿ èç òðåõ ìàòðèö ñå÷åíèé äëÿ S èìååò ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå ñòðîêè;PPP 2(2)s1jk ≥ s22jk ≥ . . . ≥ s2n1 jk ;(3)Ps2i1k ≥Pi,jPs2i2k ≥ . . .
≥s2ij1 ≥Pi,jPi,ki,ki,k(4)j,kj,kj,ks2ij2 ≥ . . . ≥Pi,js2in2 k ;s2ijn3 .Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X1 , X2 , X3 ìàòðèöû ñå÷åíèé ìàññèâà X ïî îñÿìi, j, k è ðàññìîòðèì èõ ñèíãóëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ:X1 = P > Σ1 V1 ,X2 = Q> Σ2 V2 ,X3 = R> Σ3 V3 ,Å. Å. Òûðòûøíèêîâ355ãäå ìàòðèöû P, Q, R, V1 , V2 , V3 îðòîãîíàëüíûå, à Σ1 , Σ2 , Σ3 äèàãîíàëüíûå ïðÿìîóãîëüíûå ìàòðèöû, â êîòîðûõ ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà çàíóìåðîâàíû ïî íåâîçðàñòàíèþ. Îòñþäàâûòåêàåò, ÷òî â êàæäîé èç ïðåîáðàçîâàííûõ ìàòðèö ñå÷åíèéX1 1 P = Σ1 V1 ,X2 2 Q = Σ2 V2 ,X3 3 R = Σ3 V3ñòðîêè ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû è ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ èõ äëèí.Äàëåå, ñîãëàñíî äîêàçàííîé âûøå ëåììå, ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê â ìàòðèöåñå÷åíèé ïî îñè i äëÿ ìàññèâà S = X {P, Q, R} òå æå ñàìûå, ÷òî è â ìàòðèöå ñå÷åíèéïî òîé æå îñè äëÿ ìàññèâà X 1 P . Òî æå âåðíî â îòíîøåíèè ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèéñòðîê äëÿ ìàòðèö ñå÷åíèé ïî îñè j äëÿ ìàññèâîâ S è X 2 Q, à òàêæå è äëÿ ìàòðèöñå÷åíèé ïî îñè k äëÿ ìàññèâîâ S è X 3 R.
Òåì ñàìûì äîêàçàíû ñâîéñòâà (1)(4). 2Ðàçëîæåíèå S = X {P, Q, R} ñ óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè (1)(4) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Òàêêåðà. Êîðíè êâàäðàòíûå èç ñóìì â (1)(4) ñóòü ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöñå÷åíèé ìàññèâà X ïî îñÿì i, j, k , ñîîòâåòñòâåííî.Âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ Òàêêåðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíî äàåò íàäåæíóþ áàçó äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé ìàññèâà X ñóììàìè ñ ìàëûì ÷èñëîì÷ëåíîâ ñ ðàçäåëåíèåì èíäåêñîâ i, j, k : äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåíèòü ñòðîêè ñ îòíîñèòåëüíî ìàëûìè äëèíàìè íà íóëè. Ïîëó÷åííàÿ îò òàêîé çàìåíû ïîãðåøíîñòü ëåãêîîöåíèâàåòñÿ. çàäà÷àõ î âû÷èñëåíèè àïïðîêñèìàöèé ìàëîãî òåíçîðíîãî ðàíãà ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû ïîëó÷èòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå.Çàìåòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìàòðè÷íûõìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ.
 ïðèíöèïå, àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿìîæíî âûïîëíèòü è íà îñíîâå êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè ñ ïîíèæåíèåìðàíãà, ïðèìåíÿåìûõ ê ìàòðèöàì ñå÷åíèé ìàññèâà X .Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìû îãðàíè÷èëèñü îáñóæäåíèåì òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ, ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ëåãêî ïåðåíîñèòñÿ è íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ìíîãîìåðíûõ ìàññèâîâ.Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è î äðóãèõ ïîñòðîåíèÿõ äàííîé ëåêöèè, â ÷àñòíîñòè î ôàêòååäèíñòâåííîñòè ïîëèëèíåéíûõ àïïðîêñèìàöèé ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.356Ëåêöèÿ 65Ëèòåðàòóðà1. Ñ. Â. Áàõâàëîâ, Ï. Ñ. Ìîäåíîâ, À. Ñ. Ïàðõîìåíêî, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, Ì., Íàóêà, 1964.2.
Á. Ë. âàí äåð Âàðäåí, Àëãåáðà, Ì., Íàóêà, 1976.3. Ý. Á. Âèíáåðã, Êóðñ àëãåáðû, Ì., Èçäàòåëüñòâî Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002.4. Â. Â. Âîåâîäèí, ×èñëåííûå ìåòîäû àëãåáðû (òåîðèÿ è àëãîðèôìû), Ì., Íàóêà,1966.5. Â. Â. Âîåâîäèí, Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, Ì., Íàóêà, 1980.6. Â. Â. Âîåâîäèí, Âû÷èñëèòåëüíûå îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû, Ì., Íàóêà, 1977.7. Â. Â. Âîåâîäèí, Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû ñ òåïëèöåâûìèìàòðèöàìè, Ì., Íàóêà, 1987.8. Ô. Ð. Ãàíòìàõåð, Òåîðèÿ ìàòðèö, Ì., Ôèçìàòëèò, 1967.9. Ñ. Ê.
Ãîäóíîâ, Ñîâðåìåííûå àñïåêòû ëèíåéíîé àëãåáðû, Íîâîñèáèðñê,Íàó÷íàÿ êíèãà, 1997.10. Äæ. Ãîëóá, ×. Âàí Ëîóí, Ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ, Ì., Ìèð, 1999.11. Õ. Ä. Èêðàìîâ, Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå, Ì., Íàóêà, 1975.12. Õ. Ä. Èêðàìîâ, ×èñëåííîå ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé, M., Íàóêà, 1984.13. Õ. Ä. Èêðàìîâ, ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì, M.,Íàóêà, 1988.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
