Пособие по криволинейным и поверхностным интегралам (1111807), страница 2
Текст из файла (страница 2)
17 (r = 1, R = 2) построены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность(б), к которым применяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 17. Графики кривой и поверхностиZZZZ(y −z)dydz +(z −x)dzdx+(x−y)dxdy = 2I=2S((y −z) cos α+(z −x) cos β +(x−y) cos γ)dSSНа множестве S выполнены равенства:pR−x 0y2Rx − x2 − y 2 , zx0 =, zy = −zzТак как вектор n и орт k оси Oz образуют острый угол, то в формулах для вычисленияcos α, qcos β, cos γ перед радикалом в знаменателе следует взять знак ” + ”. Учитывая, чтоdS = 1 + z 0 2x + z 0 2y , получим:z=16ZZI=2((y − z(x, y))(−z 0 x (x, y)) + (z(x, y) − x)(−z 0 y (x, y)) + (x − y))dxdy =DZZ=(y − z(x, y))(x − R) + (z(x, y) − x)y(+ x − y)dxdy = 2Rz(x, y)ZZD(1 −y)dxdy,z(x, y)Dгде D = {x2 + y 2 6 2rx}. Так какZZydxdy =z(x, y)√Zrdx√− 2rx−x20D2rx−xZ 2ydyp= 0,2Rx − x2 − y 2то окончательно имеем:ZZI = 2Rdxdy = 2πRr2DНомер 73.4(д)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz,Cгде C - сечение поверхности куба {0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a, 0 6 z 6 a} плоскостью x + y + z = 23 a ,пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной стороныоси Ox.РешениеНа Рис.
18 (a = 1) построены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), ккоторым применяется формула Стокса.17а) Криваяб) ПоверхностьРис. 18. Графики кривой и поверхностиНаправляющие косинусы к поверхности:1 1 1(cos α, cos β, cos γ) = ( √ , √ , √ )3 3 3√1√1√1 IZZ 333 ∂∂∂ dS =(y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz =∂x∂y∂z y 2 − z 2 z 2 − x2 x2 − y 2 CSZZZZ14 39a3=√(−2y − 2z − 2z − 2x − 2x − 2y)dS = − √ adS = −2332SSНомер 73.4(е)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 ∗ z 2 )dx + (z 2 ∗ x2 )dy + (x2 ∗ y 2 )dz,Cгде C - замкнутая кривая{x = a cos t, y = a cos 2t, z = a cos 3t} ,пробегаемая в направлении возрастания параметра t.РешениеНа Рис. 19 (a = 1) построена заданная кривая.18Рис.
19. График кривой с разных точек обзораПри изменении t от 0 до π подвижная точка M = (x, y, z) пробегает часть заданной кривойот точки M0 = (a, a, a) до точки M1 = (−a, a, −a), а при изменении t от 0 до 2π точка M пробегает ту же самую часть кривой в противоположном направлении - от точки M1 до точки M0 .Таким образом, точки замкнутой кривой взаимно накладываются, и эта кривая не ограничивает никакой поверхности. Поэтому I = 0.Номер 73.4(ж)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I2xydx + z 2 dy + x2 dz,C222где C - эллипс {2x + 2y = z , x + z = a} , положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.РешениеНа Рис.
20 (a = 1) построены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), ккоторым применяется формула Стокса.19а) Криваяб) ПоверхностьРис. 20. Графики кривой и поверхностиНормаль к поверхности:11→−n = ( √ , 0, √ )22Значит:I2ZZ22xydx + z dy + x dz =C√11( √ (−2z) − √ (−2x))dS = 2a22ZZdS = 2aSh= x = −a +√ZZdxdy =(x+a)2 +2y 2 62a2S2π a√ i√ Z Z√2t cos ϕ, y = r sin ϕ, J = r 2 = 2 2ardrdϕ = 2π 2a300Номер 73.4(з)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:Izdx + 2xdy − ydz,L22где L - кривая {x + y = 2ax, az = xy, z > 0} , от точки A(0, 0, 0) до точки B(2a, 0, 0), a > 0.РешениеНа Рис.
21 (a = 1) изображены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), ккоторым применяется формула Стокса.20а) Криваяб) ПоверхностьРис. 21. Графики кривой и поверхностиНормаль к поверхности:y x→−n = ( , , −1)a aЗначит:IIzdx + 2xdy − ydz +LBAZZ=ZZ(− cos α + cos β + 2 cos γ)dS =y x(− + − 2)dxdy =a ax2 +y 2 62axSπZ2 2aZcos ϕr1(− sin ϕ + 1 + r cos ϕ − 2)rdrdϕ = a2 (3π(a − 1) − 4)=a600Номер 74.2(б)Найти объем тела, ограниченного поверхностью:x = u cos v, y = u sin v, z = −u + a cos v, (u > 0, a > 0)и плоскостями x = 0 и z = 0.РешениеНа Рис. 22 (a = 1) построена заданная поверхность.21Рис. 22.
График поверхности с разных точек обзораДля вычисления объема применим формулу Остроградского:1V =3ZZSZZZZ1imitsS1 +imitsS2 )(x cos α + y cos β + z cos γ)dS = (3llS1 : z =ax − (x2 + y 2 )px2 + y 2Нормаль к S1 : sin v−1A = u cos v −a sin v−1cos vB = −a sin v −u sin v = −a sin2 v + u cos v = u sin v + a sin v cos vC=uπZZS1Z2 aZcos udS =u cos v(a sin2 v + u cos v) + u sin v(u sin v + a sin v cos v) + (−u + a cos v)ududv =− π20πππZ2 aZcos uZ2Z22a3a333=au cos vdudv =cos vdv = a(1 − sin2 v)d(sin v) =23− π20− π20S2 : z = 0, x2 + y 2 6 axНормаль к S2 :→−n = (0, 0, −1)22ZZdS = 0S2Значит, объем равен:V =2a39Номер 74.4(в)С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислите следующий поверхностный интеграл:Z(x − y + z)dydz + (y − z + x)dzdx + (z − x + y)dxdy,Sгде S - внешняя сторона поверхности{|x − y + z| + |y − z + x| + |z − x + y| = 1}РешениеНа Рис.
23 построена заданная поверхность.Рис. 23. График поверхности с разных точек обзораT - тело, ограниченное поверхностью S. Тогда:ZZZI=∂∂∂( (x − y + z) +(y − z + x) + (z − x + y))dxdydz = 3∂x∂y∂zTZZZ=T= u = x − y + z, v = y − z + x, w = z − x + y, J =13=44ZZZ|u|+|v|+|w|6123dudvdw =Z1=6Z1−u 1−u−vZZ1Z1−uZ1(1 − u)2du = 1dudvdw = 6 du (1 − u − v)dv = 62000000Номер 74.4(е)С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислите следующий поверхностный интеграл:Zy 2 dzdx − x2 dydz + z 2 dxdy,Sгде S - часть поверхности телаV = 2x2 + 2y 2 6 az 6 x2 + y 2 + a2 , a > 0РешениеНа Рис. 24 (a = 1) построена заданная поверхность.Рис. 24.
График поверхности с разных точек обзораZ222ZZZy dzdx−x dydz+z dxdy =SZZ=00Z(−2x+2y+2z)dzdxdy =(−2x+2y+2z)dxdydz =x2 +y 2 6a2VZπ Zax2 +y 2 +a2aa2 − x 2 − y 2(−2x + 2y)()rdrdϕ +aZπ Za((02x2 +2y 2ax 2 + y 2 + a2 22x2 + 2y 2 2πa4) −() )rdrdϕ = a3 +aa2024Номер 75.8(а)Найти поток поля:→−a = yi + zj + xkчерез поверхностьS=√x+√y+√z=√ r ,−если нормаль →n направлена от начала координат.РешениеНа Рис. 25 (r = 1) построена заданная поверхность.Рис. 25.
График поверхности с разных точек обзораПо формуле Остроградского:ZZZZan dS =SZZZ(ax cos α + ay cos β + az cos γ)dS =Sdivadxdydz,V−где an - проекция →a в направлении нормали.Добавим к нашей поверхности области, высекаемые ею на координатных плоскостях. ТогдаZZZZZ=S∪S1 ∪S2 ∪S3divadxdydz = 0VПоэтому наш интеграл равен:ZZZZ=−SZZ−−SyzSxy25ZZSxzZZZZan dS =√Syz(−y)dydz = y = ρ cos4 ϕ, z = ρ sin4 ϕ, J = 4ρ sin3 ϕ cos3 ϕ =√ √y+ z6 rπZ2 Zr=044ρ sin3 ϕ cos3 ϕ(−ρ cos4 ϕ)dρdϕ = [t = sin ϕ] = − r330Z12 13 1t3 (1−t2 )3 dt = − r3 ( −1+ − ) =3 24 503=−r30(−x)dxdy = −r330(−x)dxdy = −r330ZZZZan dS =√Sxy√ √x+ y6 rZZZZan dS =√Sxz√ √x+ z6 rЗначит, искомый поток равен:ZZan dS =r310SНомер 75.8(б)Найти поток поля:→−a = x2 i − y 2 j + z 2 kчерез поверхностьnopS = x2 + y 2 + z 2 6 3R2 , 0 6 z 6 x2 + y 2 − R2 , R > 0 ,−если нормаль →n направлена от начала координат.РешениеНа Рис. 26 (r = 1, R = 2) построена заданнаяповерхность.По формуле Остроградского:ZZZZZan dS =Sdivadxdydz =VZZZ(2x − 2y + 2z)dxdydz ==VРис.
26. Общий график - трехмерный26√√3R2 −x2 −y 2ZZx2 +y 2 −R2ZZZ=Z(2x−2y+2z)dzdxdy+02R2 6x2 +y 2 63R2ZZ=(2x−2y+2z)dzdxdy =p(2x − 2y) 3R2 − x2 − y 2 dxdy +ZZ+p(2x − 2y) x2 + y 2 − R2 dxdy +R2 6x2 +y 2 62R2√Z2π Z3R√2r(cos ϕ − sin ϕ) 3R2 − r2 rdrdϕ + 2π0√ZZ(3R2 − x2 − y 2 )dxdy+2R2 6x2 +y 2 63R22R2 6x2 +y 2 63R2=0R2 6x2 +y 2 62R2= 2π((x2 + y 2 − R2 )dxdy =R2 6x2 +y 2 62R2√Z3R√2RZZZ2R(r2 − R2 )rdr =(3R − r )rdr + 2π222R3R4 5R4 3R4 R4−+−) = πR4244227√R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
