Пособие по криволинейным и поверхностным интегралам (1111807)
Текст из файла
Номер 69.3(а)Найти длину дуги пространственной кривой:x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t , 0 < t < +∞РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 1Рис. 1. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораДлина дуги OA вычисляется по формуле:ZdSL=OAНайдем дифференциал дуги:pdS = e−2t (cos t + sin t)2 + e−2t (cos t − sin t)2 + e−2t =p√= e−t cos2 t + 2 sin t cos t + sin2 t + cos2 t − 2 sin t cos t + sin2 t + 1 = e−t 3Значит, длина дуги равна:Z+∞ √√L=e−t 3dt = 30Номер 69.3(б)Найти длину дуги пространственной кривой:9(x − y)2 = a(x + y), x2 − y 2 = z 28от точки O(0; 0; 0) до точки A(x0 ; y0 ; z0 )1РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 2 (график построен при a = 1)Рис.
2. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораСделаем замену:x−y =sx+y =t√2 2√stz=3Откуда:s2 + as2as2 − asy=2a√2 2 √z= √ s s3 ax=Длина дуги равна:Zt0 rL=(2s + a)2 (2s − a)2 2++ sds =4a24a2a0Zt0 r 2Zt0 r1 2ss 12 2 + + sds =2( + )2 ds =a2 aa 20rt0√ Z s 13z0 3 3z03 p= 2 ( + )ds = √+ √ 3 az0 2a 2a4 22 2020Номер 69.3(в)Найти длину дуги пространственной кривой:pyx2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 cosh(arctg ) = axот точки A(a; 0; 0) до точки B(x; y; z)РешениеДанная кривая выглядит, как изображено на Рис. 3 (график построен при a = 1)Рис.
3. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораВоспользуемся сферической заменой координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψЗначит:ψ = arccos(1)cosh ϕОткуда:a cos ϕcosh ϕa sin ϕy=cosh ϕx=sz =a 1−1= a tanh ϕcosh2 ϕ3dx− sin ϕ cosh ϕ − cos ϕ cosh ϕ=adϕcosh2 ϕdycos ϕ cosh ϕ − sin ϕ sinh ϕ=adϕcosh2 ϕdza=adϕcosh2 ϕДлина дуги равна:arctanZL=y0x0psin2 ϕ cosh2 ϕ + cos2 ϕ sinh2 ϕ + cos2 ϕ cosh2 ϕ + sin2 ϕ sinh2 ϕ + 1dϕ =cosh2 ϕ0arctan=√Z2ay0x0√dϕy0=2a tanh(arctan )2x0cosh ϕ0Номер 69.6(а)Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой, пробегаемойпротив хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных x:Z(y − x)dx + (z − x)dy + (x − y)dz,Cгде C - окружность:x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x tan α, 0 < α < π ;РешениеКривая выглядит, как представлено на Рис.
4 (построена при a = 1, α = π6 )Рис. 4. График дуги пространственной кривой с разных точек обзора4Используем сферичекую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψТогдаϕ = α, ϕ = α + πЗначит, исходный интеграл равен:πZ2(a sin α cos ψ − a sin ψ)(−a cos α sin ψ) + (a sin ψ − a cos α cos ψ)(−a sin α sin ψ)+I=− π2πZ− 2+(a cos α cos ψ − a sin α cos ψ)a cos ψdψ + (a sin α cos ψ + a sin ψ)(−a cos α sin ψ)+π2+(a sin ψ + a cos α cos ψ)a sin α sin ψ − (a cos α cos ψ − a sin α cos ψ)a cos ψdψ =π= 2a2Z2(cos α − sin α)dψ = 2a2 π(cos α − sin α)− π2Номер 69.6(б)Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой, пробегаемойпротив хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных x:Zy 2 dx + z 2 dy + x2 dz,Cгде C - часть кривой Вивиани: 2x + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax, z > 0 ;РешениеКривая выглядит, как представлено на Рис. 5 (построена при a = 1, α = π6 )5Рис.
5. График дуги пространственной кривой с разных точек обзораИспользуем сферичекую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψТогда исходный интеграл равен:πZ2I=a2 sin2 ϕ cos2 ϕa2 cos ϕ(− sin ϕ) + a2 sin2 ϕa cos 2ϕ + a2 cos4 ϕa cos ϕdϕ+0Z0+a2 sin2 ϕ cos2 ϕa2 cos ϕ(− sin ϕ) + a2 sin2 ϕa cos 2ϕ − a2 cos4 ϕa cos ϕdϕ =− π2=−2a43pipiZ2Z2sin3 2ϕ + a3− π2pi3sin2 ϕ cos 2ϕdϕ =− π2+a2piZ2Z23cos 2ϕdϕ −− π2(1 − cos2 2ϕ)d(cos 2ϕ)+− π2pi3a2Z2a2cos2 2ϕdϕ = −πa34− π2Номер 71.1(а)Найти площадь поверхности тела, ограниченного цилиндрами:x 2 + z 2 = a2 , y 2 + z 2 = a26РешениеПоверхность выглядит, как изображено наРис.
6 (фиксировано значение a = 1). Воспользуемся заменой координат:x = a cos ϕy=yz = a sin ϕИскомая площадь равна:Рис. 6. Общий график - трехмерныйZaarcsinq21− y2S = 4aydϕdy = 8a0= 4a3ZaaZ− arcsinZ1qry arcsiny2y2y1 − 2 dy = 1 − 2 = t, dt = −2 2 dy =aaa021− y2a√arcsin tdt =h√Z1Z1i√t = u, dt = 2udu = 8a3 arcsin uudu = 8a3 4d(u arcsin u+ 1 − u2 ) =003= 4a π − 8a3Z10u arcsin udu − 2a3 π = 2πa30Номер 71.1(б)Найти площадь части сферыx 2 + y 2 + z 2 = a2 ,заключенной внутри цилиндраx2 y 2+ 2 = 1, 0 < b 6 aa2bРешениеДанная поверхность выглядит, как представлено на Рис. 7 (a = 2, b = 1)Сделаем сферическую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψПлощадь равна:Рис.
7. Общий график - трехмерный7π2arccosZ12cos2 ϕ+ a2 sin2 ϕbZa2 cos ψdψdϕ = 8a2S=800π= 8a2Z20π√Z2sqrt1 −0a2 − b2 sin ϕdϕp= [t = cos ϕ] = 8aa2 − (a2 − b2 ) cos2 ϕ2√1dϕ =2cos2 ϕ + ab2 sin2 ϕZ1a2 − b 20dtp=2a − (a2 − b2 )t2√1a2 − b2 a2 − b222t) = 8a arcsin()= 8a arcsin (aa0√Номер 71.1(в)Найти площадь части поверхностиx 2 + y 2 + z 2 = a2 ,расположенной вне цилиндровx2 + y 2 = ±ax(задача Вивиани)РешениеДанная кривая выглядит, как изображено наРис. 8Сделаем сферическую замену координат:x = a cos ϕ cos ψy = a sin ϕ cos ψz = a sin ψEG − F 2 = a4 cos2 ψОграничение на ϕ:| cos ϕ| 6 cos ψРис. 8.
Общий график - трехмерныйПоэтому искомая площадь равна:πZ2 ZϕS=800πa2 cos ψdψdϕ = 8a2Z208πsin ϕ = 8a2 (− cos ϕ)02 = 8a2Номер 71.1(д)Найти площадь части геликоидаx = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = hϕ, 0 < r < a, 0 < ϕ < 2πРешениеНа Рис. 9 построена данная поверхность приh = 1, a = 2πE = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1G = r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ + h2 = r2 + h2F = −r cos ϕ sin ϕ + r cos ϕ sin ϕ = 0EG − F 2 = r2 + h2Значит, площадь равна:Za Z2π √ZaS=r2 + h2 dϕdr = 2π dr =00"Рис. 9. Общий график - трехмерный0a= t = ln( +hr#a2+ 1) = 2πh2h2√22ln( a+ ah +h )Z22cosh tdt = πh ln(02= πh ln(a+a+√a2 + h2a)+πh2hhr1+a2=h2√√a2 + h2) + πa a2 + h2hНомер 71.1(е)Найти площадь части поверхности тораx = (b + a cos ψ) cos ϕ, y = (b + a cos ψ) sin ϕ, z = a sin ψ, 0 < a 6 b,ограниченной двумя параллелями ψ1 , ψ2 и двумя меридианами ϕ1 , ϕ2 .
Чему равна площадьповерхности всего тора?РешениеНа Рис. 10 изображена данная поверхность приa = 1, b = 2E = (b + a cos ψ)2G = a2F = −(b + a cos ψ) sin ϕ(b − a cos ψ) cos ϕ++(b + a cos ψ) cos ϕ(b − a cos ψ) sin ϕ = 09Рис. 10. Общий график - трехмерныйЗначит, площадь равна:Zϕ2 Zψ2S=a(b + a cos ψ)dψdϕ = a(ϕ2 − ϕ1 )(b(ψ2 − ψ1 ) + a(sin ψ2 − sin ψ1 ))ϕ1 ψ1Получаем, что площадь полного тора равна 4π 2 ab.Номер 71.2Вычислить поверхностный интегралZZSdSp,x + y2 + z2где S - поверхность, полученная при вращении дуги параболыx = a cos4 t, y = a sin4 tотносительно оси OxРешениеНа Рис.
11 изображена данная поверхность приa=1Значит, площадь равна:Zϕ2 Zψ2S=a(b + a cos ψ)dψdϕ =ϕ1 ψ1= a(ϕ2 − ϕ1 )(b(ψ2 − ψ1 ) + a(sin ψ2 − sin ψ1 ))Получаем, что площадь полного тора равна 4π 2 ab.Рис. 11. Общий график - трехмерныйНомер 71.3(г)Вычислить следующий поверхностный интеграл первого рода:ZZz 2 dS,Sгде S - часть поверхности конуса:x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α,0 6 r 6 a, 0 6 ϕ 6 2π, 0 < α <10π− постоянная2РешениеНа Рис. 12 изображена данная поверхность приa = 2π, α = π6При вращении относительно оси Ox кривой:x = a cos4 ty = a sin4 ty 2 + z 2 = a2 sin8 t,получаем поверхность:Рис. 12.
Общий график - трехмерныйx = a cos4 ty = a sin4 t cos ϕz = a sin4 t sin ϕОтсюда получаем:E = 16a2 cos6 t sin2 t + 16a2 sin6 t cos2 t cos2 ϕ + 16a2 sin6 t cos2 t sin2 ϕG = a2 sin8 tF =0Тогда данный интеграл равен:ZZSdSp=x + y2 + z2Z2π Z2π0√Z2π4a| cos t|| sin t|54a2 cos6 t sin10 t + cos2 t sin14 t√dt=2πdt =a cos4 t + a sin4 tcos4 t + sin4 t00πZ2= 32πa0Z1= 16πacos t sin5 t√dt = [u = sin t] = 32πacos4 t + sin4 t3v dv√= 16πa22v − 2v + 1001Z2= 8πa− 12Z1Z10u5 duq= v = u2 =(1 − u2 )2 + u412v dv2(v − 12 )2 +12Z2(w + 12 )2 dw1q= w=v−= 16πa=22+ 12w12−2121)dw2(2w +q2w2 +12Z2+16πa− 12wdwq2w2 +12√√√√11= 16 2πa( ln(1+ 2)+ √ ) = 2 2πa ln(1+ 2)+4πa84 211Номер 72.4(а)Вычислить поверхностный интеграл второго рода:ZZdydz dzdx dxdy++,xyzSгде поверхность S представляет собой часть эллипсоида:x = a cos u cos v, y = b sin u cos v, z = c sin v, u ∈hπ π ihπ π i;,v ∈;,4 36 4ориентированного внешней нормалью.РешениеНа Рис.
13 изображена данная поверхность приa = 1, b = 2, c = 3 b cos u cos v0A = −b sin u sin v c cos v = bc cos u cos2 v0 −a sin u cos vB = c cos v −a cos u sin v = ac sin u cos2 v −a sin u cos v b cos u cos vC = −a cos u sin v −b sin u sin v = ab sin v cos vРис. 13. Общий график - трехмерныйНормаль:(A, B, C)→−n =√A2 + B 2 + C 2Значит:πZZSdydz dzdx dxdy++=xyzπZ3 Z4(π4bc cos u cos2 v ac sin u cos2 v ab sin v cos v++)dvdu =a cos u cos vb sin u cos vc sin vπ6√b2 c2 + a2 c2 + a2 b2 2 1 π=(− )abc22 1212Номер 73.4(а)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz,Cгде C - кривая пересечения параболоида {x2 + y 2 + z = 3} с плоскостью {x + y + z = 2}, ориентированная положительно.РешениеНа Рис.
14 построены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), к которымприменяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 14. Графики кривой и поверхностиНормаль к плоскости z = 2 − x − y имеет следующие направляющие косинусы:1cos α = cos β = cos γ = − √3Поэтому:I222222ZZ(y −z )dx+(z −x )dy+(x −y )dz =C111(− √ (−2y−2z)− √ (−2x−2z)− √ (−2x−2y))dS =333SZZ=(2y + 2(2x − y) + 2x + 2(2x − y) + 2x + 2y))dxdy = 12πx2 −x+y 2 −y6113Номер 73.4(б)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(x2 − yz)dx + (y 2 − xz)dy + (z 2 − xy)dz,AmBгде AmB - отрезок винтовой линииx = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z =hϕ, ϕ ∈ [0; 2π]2πРешениеНа Рис.
15 (a = 1, h = 2) изображены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность(б), к которым применяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 15. Графики кривой и поверхностиПосколькуII+AmBBAZ Z cos αcos βcos γ∂∂∂=∂x∂y∂z x2 − yz y 2 − xz z 2 − xySЗначит, искомый интеграл равен интегралуZhI=ABa2 dz = a2 h014 dS = 0Номер 73.4(в)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz,Cгде C есть эллипсx = a sin2 t, y = 2a sin t cos t, z = a cos2 t, 0 6 t 6 π,пробегаемый в направлении возрастания параметра t.РешениеНа Рис.
16 (a = 1) изображены заданная кривая (а) и соответствующая поверхность (б), ккоторым применяется формула Стокса.а) Криваяб) ПоверхностьРис. 16. Графики кривой и поверхностиIСZ Z cos α cos β cos γ∂∂∂(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz =∂x∂y∂z y+z z+x x+yS15 dS = 0Номер 73.4(г)Вычислить криволинейный интеграл второго рода:I(y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x2 )dy + (x2 + y 2 )dz,Cгде C есть криваяx2 + y 2 + z 2 = 2Rx, x2 + y 2 = 2rx, 0 < r < R, z > 0 ,пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы {x2 + y 2 + z 2 = 2Rx} наименьшая область, остается слева.РешениеНа Рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
