Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

- параметрическое задание

2) Допустим, что , задана в полярных координатах

Замечание:

В трехмерном случае криволинейный интеграл вводится совершенно аналогичным образом:

В этом случае:

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

L – астроида:

Параметрическое уравнение астроиды:

Т о, что рассматриваемая область состоит из четырех одинаковых фрагментов еще, не является достаточным условием для перехода

Достаточным условием такого перехода является то, что и значения функции на всех идентичных сегментах будут совпадать.

§4. Криволинейные интегралы второго рода

Также, как и раньше устроим разбиение кривой L

Пусть на кривой L заданы две функции:

Составим следующие интегральные суммы:

Для указанных сумм I_m, m =1,2 аналогичным образом вводится понятие интегральной суммы.

Пределы интегральных сумм обозначим:

I₁ , I₂

Если указанные пределы интегральных сумм существуют пределы интегральных сумм, то они называются криволинейными интегралами второго рода:

При этом вводится понятие общего криволинейного интеграла второго рода:

,

где знак интеграла относится ко всему выражению.

Замечание:

Для криволинейных интегралов второго рода справедливо следующее свойство:

.

R^N [a,b]

{x(t)} Î C¹([a,b])

a¹(x).. a^N(x)

§5. Формула Грина

Теорема

1) G Í R²- замкнутая ограниченная область на плоскости.

¶ G состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких кривых.

2) Пусть на границе задано направление обхода, причем таким образом, чтобы область оставалась слева.

3) P,Q Î C¹(G)- гладкие.

Тогда справедлива формула Грина.

Можно сказать иначе.

Опр. 1: G- y – трапециевидная область, если это замкнутая ограниченная область,

Причем её можно представить в виде криволинейной трапеции:

G={(x,y):x₁£x£x₂;y₁(x)£y£y₂(x)},

y₁,y₂- кусочно-гладкие кривые.

Опр. 2: G- x – трапециевидная область, если это замкнутая ограниченная область, представимая в следующем виде.

G={(x,y):y₁£y£y₂;x₁(y)£x£x₂(y)}

х₁,x₂ –кусочно-гладкие кривые

Опр. 3: G- простая область, если

1. G можно разбить на конечное число y-трапециевидных областей;

2. При этом G можно также разбить и на конечное число х- трапециевидных областей.

§6 . Упрощенный вариант формулы Грина:

1. G- простая область.

2. На ¶G задано направление обхода таким образом, чтобы при движении на этом направлении область оставалась слева.

3. P,Q Î C¹(G)- гладкие.

Тогда справедлива формула Грина.

И справедливы два равенства отдельно.

Док-во:

1. Пусть G- y- трапециевидная область

Докажем для нее утверждение:

l_1: y=y₁(x), x₁£x£x₂

x=x,

l_2: y=y, y₁(x₂)£y£y₂(x₂)

x=x₂

(так как x₂=const)

l_3: y=y₂(x)

x=x, x₁£x£x₂

l_4: y=y, y₁(x₁)£y£y₂(x₁)

x=x₁

(так как x₁=const)

Þ -

это совпадает с тем, что мы получили для двойного интеграла

1. Пусть G- простая область.

Опираясь на результат, полученный в первом пункте, докажем формулу

G_k- у - трапециевидная область, k¹n :

G_k и G_n не имеют общих внутренних точек,

(т.е. )

=конечное число дуг.

Запишем двойной интеграл.

1. Пусть G- x – трапециевидная область.

Доказательство аналогично пункту 1.

С другой стороны

1. G- простая область. Докажем, что

= конечное число дуг.

ч. т. д.

§7. Теорема о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

G- открытая область;

P,Q Î С(G).

Предположим

1)

2) Предположим, что

(А не зависит от формы пути).

l- кусочно-гладкая замкнутая кривая

l₁, l₂ – кусочно-гладкие.

1. Предположим

Предположения (1), (2), (3) эквивалентны друг другу.

Док-во:

1. Þ (2) Þ (3) Þ (1)

доказать самостоятельно.

ч. т. д.

Теорема

Предположим, что P,Q Î C¹(G) – гладкие

4) Предположим:

Тогда из (3) Þ (4)

Док-во

ч. т. д.

Опр. 4: G- линейно-связанное множество, если любые две его точки можно соединить непрерывной дугой

Опр. 5: G- односвязное множество, если оно

1. линейно связано;

2. любые две кривые, целиком лежащие и с общими концами, можно непрерывно продеформировать одну в другую.

Теорема

Если G- односвязная область, а функции P и Q Î C¹(G) – гладкие, то из (4) Þ (1)

-не только необходимое, но и достаточное условие или условие интегрируемости.

Док-во:

Применим формулу Грина.

ч. т. д.

Переход (1) Þ (2).

Можно заменить каждую из произвольных дуг на ломаную так, чтобы интеграл не изменился.

Переход (2) Þ (3)

(x₀,y₀)- фиксированные.

(х,у) – "

Используя теорему о среднем.

Глава 6. Кривые на плоскости

§1. Кривые на плоскости.

Кривая на плоскости L:

(1) ,

t – параметр

Функции ,  имеют непрерывные производные.

(2) F(x,y)=0

Тем самым получаем

Точка называется обыкновенной, если

(производные функций ,  одновременно не обращаются в нуль).

- особая точка, если

Опр. Если кривая задана (2) способом и F(x,y) является дифференцируемой в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные, тогда если

, то

является обыкновенной точкой кривой L.

Если , то такие точки называются особыми точками кривой L.

Утверждение:

Если точка - обыкновенная точка кривой L , то в некоторой ее окрестности график кривой представим в качестве графика некоторой дифференцируемой функции (либо ).

Док-во:

Т.к. точка является обыкновенной, то по крайней мере одна из производных не обращается в 0.

Пусть .

В силу непрерывности производной, сама функция будет являться дифференцируемой и строго монотонной функцией в некоторой окрестности . Можно указать окрестность точки, в которой функция сохраняет свой знак.

Следовательно, по теореме об обратной функции, существует дифференцируемая монотонная функция .

Подставляя x в функцию , получаем:

,

таким образом, мы получаем y, как функцию x.

ч. т. д.

§2. Касание кривых

Опр. Говорят, что кривые L₁ и L₂ касаются в некоторой их общей точке , если касательные к указанным кривым в данной точке совпадают (имеется в виду, соприкосновение кривых).

Получим условие касания двух кривых:

L₁:

L₂:

В точке касания выполняется условие

,

- абсцисса точки касания.

Допустим, что кривая L₁ задана параметрически , по средствам (1), а L₂ – по средствам (2).

- является условием касания двух кривых в точке .

Примеры:

§3. Однопараметрическое семейство кривых

, где - некоторый параметр.

I

II

(Жирная заштрихованная прямая – является особой прямой, т.е. прямой состоящей из особых точек.)

Остальные кривые рассматриваемого семейства получаются из кривой , в результате параллельного переноса (или параллельного сдвига) вдоль биссектрисы I и III четвертей.

Точка называется характеристической точкой однопараметрического семейства кривых, если

отвечающей данному значению .

Опр. Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая, которая:

1. в каждой своей точке касается только одной кривой данного семейства

2. в разных своих точках касается различных кривых указанного семейства.

Опр. Дискриминантной кривой называется кривая реализующая собой геометрическое место характеристических точек на плоскости.

Лемма 1

Пусть точка - характеристическая точка однопараметрического семейства , отвечающая =0.

Пусть функция и функция являются дифференцируемыми функциями в некоторой окрестности точки и их частные производные по переменным x,y непрерывны в самой точке , тогда, если в точке якобиан

(в точке ), то

дискриминантная кривая, проходящая через точку М₀, в некоторой окрестности этой точки может быть задана параметрически, как функция параметра .

,

где функции  и  дифференцируемы в некоторой окрестности .

Теорема 1

Пусть выполнены все условия леммы 1, кроме этого, выполнены следующие условия:

в некоторой окрестности точки являются непрерывными функциями.

В точке выполняются соотношения и .

Тогда дискриминантная кривая, проходя через точку , является в некоторой окрестности этой точки огибающей.

Пример:

I

Для нахождения характеристических точек запишем условие:

Проверим условия сформулированной теоремы.

Тогда, дискриминантная кривая, согласно сформулированной теореме, представляет собой ось X и является огибающей.

II

Рассмотрим семейство полукубических парабол и найдем дискриминантную кривую

1)

2)

(убедиться самостоятельно, что прямая, получающаяся в 1), не является огибающей, а в 2) – является огибающей семейства кривых)

Вычислить частные производные, указанные в теореме: в первом случае они обращаются в нуль, а во втором - нет.

§4. Кривизна плоской кривой

Кривые бывают разные.

Опр. Кривизной плоской кривой в точке М₀ называется величина

в том случае, когда кривая на плоскости задана параметрически

x=x(t), y=y(t)

Порядок соприкосновения плоских кривых

Если

,

то говорят, что кривые L₁ и L₂ имеют порядок соприкосновения равный n.

Замечание 1

Если указанный предел равен нулю, то кривые L₁ и L₂ имеют порядок соприкосновения выше, чем n.

Замечание 2

Если L₁ и L₂ имеют порядок соприкосновения выше любого значения n , то говорят, что они имеют в данной точке бесконечный прядок соприкосновения.

Характеристики

Список файлов лекций