Лекционный курс DOC (1111788)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§14. Теория кратных интегралов

R^N ;Q-невырожденный параллелепипед.

Q={ (x¹..,x^N) : a¹x¹b¹ .. a^Nx^Nb^N }

Построим разбиение

- весь набор индексов

(x¹..x^N)

 - интегральная сумма (по всем возможным индексам)

-разбиение

-промежуточные точки

Опр.: J называется пределом, если для любого >0  >0:  ,  , если

- диаметр разбиения

Если существует предел интегральных сумм, то функция интегрируема.

Для введения определения

1. A- измеримое множество  A- ограничено.

A  Q

Предположим, что (x) задано на A.

Доопределим.

1. A- измеримое множество.

Предположим, что ; А_k - измеримое :A_k, A_n при kn не пересекаются.


_k  A_k

Теорема

Функция интегрируема по первому определению  она интегрируема по второму определению и пределы совпадают. Оказывается, что

§15. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному

a<b, c<d; Q={(x,y):axb,cyd}

(x,y) интегрируема на Q

Предположим, что для каждого x  [a,b] (x,y) интегрируема по переменной y на [c,d].

Тогда функция вида

интегрируема на [a,b], причем

Док-во:

Построим разбиение {x_k­}[a,b].

_k  [x_k-1,x_k]

 -интегральная сумма для внешнего интеграла по форме {y_n} [c,d].

 ({y_n})({x_k})

Тогда справедлива оценка для (x,y)  Q_k,n

m_k,n(x,y)M_k,n

Мы воспользовались, что

sS (для двойного интеграла)

s-нижняя сумма Дарбу для двойного интеграла .

S- верхняя сумма Дарбу для двойного интеграла .

Если ({x_k})0, то ({Q_k,n})0.

ч. т. д.

Ф ормула для криволинейной трапеции.

Доопределяем нулями.

§16. Теорема Фурбини для n-мерного случая

Q₁  R^N1; Q₂  R^N2.

Тогда Q₁Q_2­={(x,y):x  Q₁, y  Q₂}R^N1+N2

Предположим, что  интегрируема на Q: для каждого x  Q_1­ функция (x,y) интегрируема по у на Q₂. Тогда  интеграл

§17. Замена переменных в кратных интегралах

Опр.: R^N: A  R^N.

Будем говорить, что А- область, если А- большое, непустое, открытое множество.

Опр.:. А- замкнутая область, если А   .

Опр.: А- регулярное множество (Reg [A,R^N]), если А .

: R^N1  R^N2

(t)=(¹(t).. ^N2(t)), t=(t¹,...t^N1).

Опр.: Матрицей Якоби назовем матрицу

Если N₁=N₂  матрица квадратная   определитель

.

Отображение :R^N1R^N2

Отображение :R^N2R^N3

N₁=N₂=N₃=N

Теорема о замене переменных

Пусть:

А- измеримое множество,

- интегрируемая функция на этом множестве. (т.е.   R(A)).

A^* – измеримое множество.

S  A,

A\S- открытая (не равное пустому множеству) область.

S^*  A^*, .

A^*\S^*- область.

: R^NR^N

  C¹(A^*\S^*)

 взаимно однозначно отображает A^*\S^* на A\S

при t  A^*\S^*.

при t  A^*\S^*.

F- ограниченная на A^*.

Тогда F  R(A^*) и

Пример:

Перейдем к полярным координатам:

х=cos, 0, 02

у=sin

 = 0 (якобиан превращается в 0).

Второй вариант теоремы

Пусть:

А- замкнутая область,

  C(A),

A_*­­-замкнутая область.

: R^N R^N,

  C¹(A_*),

 взаимно однозначно отображает А_* на А.

при t  A_*.

Тогда

, и

Док-во:

1) Докажем теорему только для линейного отображения

Формулировка

Лемма 1

Пусть:

А- измеримое множество.

  R(A).

A^*- измеримое множество.

T- матрица mn.

det(T)0

Тогда

{(Tt)|det(T)|} R(A_*)

и справедлива формула А=TA_*

Доказательство в Ильине, Позняке.

ч. т. д.

Обозначения:

||t||- норма точки

||T||- норма матрицы .

||Tt||||T|| ||t||.

- функция отображения.

R(C)={x  R^N: ||x-(t₀)||MS}

Используя теорему о неявной функции можно показать, что

(int(G))=int((G)).

(G)=(G).

G- замкнутый куб.

S(C)- 0,5 длины стороны.

C={t  R^N: ||t-t₀||S}

Лемма 2

Пусть выполнены все условия теоремы.

(1) C  A_*- замкнутый куб.

Тогда образ замкнутого куба при отображении (С)  R(C)

(2) Если G- измеримое множество,

.

(G)- измеримое множество (т.е. замена переменных сохраняет измеримость, но в том случае, когда ).

(3) Если С- замкнутый куб;

С  int(A*),

то m((С))(M(C))^Nm(C)

Докажем лемму:

(1) C  A_*

Фиксируем t  C,

(t)- (t₀)=D_u ()(t-t₀)

 - промежуточная точка.

|| (t)- (t₀)||||D_u()|| ||t-t₀||

(C)  R(C)

m(R(C))=(M(C))^N m(C)

Д окажем (2).

G  int(A_*)

(G)  A  (G) ограничено.

Чтобы доказать измеримость, нужно доказать (G) имеет меру 0.

Q- замкнутый куб.

А_*  Q

Q_k-замкнутые кубы

K- множество таких номеров, что

По построению, очевидно, что

G  D  (G)=(G)

(граница образа совпадает с образом границы)

.

Q_k  A_* (если разбиение достаточно мелкое).

Дальше будем считать, что Q_k  int(A_*).

m(D)  0 при ({Q_k})0

при ({Q_k})0

-следовательно, оно измеримо.

(3) C  int(A_*)

(С)  R©, m(©)m(R©)=(M©)^N m©

ч. т. д.

Лемма 3

Пусть G- измеримое по Жордану множество.

Тогда

Доказательство(с помощью оценок, полученных в первой лемме) в Ильине-Позняке.

ч. т. д.

Доказательство теоремы о замене переменных.

Каждый интеграл содержит неотрицательную функцию (докажем для них)

Без ограничения общности: (х) 0 при х  A

Q- замкнутый куб.

А  Q

Рассмотрим множество номеров K₁, что

при

-прообраз Q_k

при ({Q_k})0.

С другой стороны, воспользуемся леммой 2

Т.к. m_k=inf 

функция неотрицательная  можно аппроксимировать дальше

.

Переходя к пределу получаем такую оценку:

.

В нашем случае A и A_* взаимозаменяемы и все условия вообще выполняются

Применим те же рассуждения не к функции (х), а к функции g(t). Получаем:

Две встречных оценки могут выполняться, только если есть точное равенство 

(смотри второй том Ильина- Позняка).

ч. т. д.

Составим интегральную сумму для такого разбиения

Заменим параллелограмм S=произведению векторов

- это производная нашей функции по первой переменной.

- это производная нашей функции по второй переменной.

Глава 5. Криволинейные интегралы

§1. Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим плоскость XOY и кривую L на ней:

Опр.: Кривая L называется простой незамкнутой кривой, если различным значениям параметра t соответствуют различные точки кривой L.

Опр.: Кривая L называется простой замкнутой кривой, если точки .

Опр.: Кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных, вписанных в данную кривую при , где – длина наибольшего звена ломаной.

Пусть функция f(x, y) задана на кривой L, т.е. f(x, y) задана во всех точках плоскости, принадлежащих данной кривой.

Рассмотрим разбиение сегмента на n элементарных сегментов.

Указанное разбиение влечет соответствующее разбиение кривой L на элементарные дуги

.

Составим интегральную сумму:

,

где

Пусть

Опр.: Число I называется пределом интегральной суммы при , если такое, что для любого разбиения, удовлетворяющего условию , выполняется

для любого выбора точек N_k на сегменте разбиения.

Если I существует, то он называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается

или .

Замечание. Значение криволинейного интеграла I рода не зависит от «направления разбиения»: нумерация точек разбиения может идти как от A к B, так и наоборот.

Поэтому .

§2. Свойства криволинейных интегралов первого рода

1. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода по кривой AB для функций f(x, y) и g(x, y). Пусть a, b – некоторые константы. Тогда: существует криволинейный интеграл первого рода:

2. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода f(x, y) по кривой AB, которая представима в виде совокупности двух кривых AC и CB, по которым криволинейный интеграл первого рода от данной функции также существует.

Тогда выполняется равенство

1. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода ,

тогда существует интеграл ,

причем выполняется неравенство

§3. Правило вычисления криволинейных интегралов первого рода

Опр.: Кривая L называется гладкой на сегменте , если производные , функций , являются непрерывными на сегменте и не равняются нулю одновременно.

Опр.: Кривая L называется кусочно гладкой, если для нее выполняются все требования гладкой кривой за исключением конечного числа точек.

Опр.: Функция f(M) = f(x, y) называется непрерывной вдоль кривой L, если

.

Опр.: Функция f(M) называется кусочно непрерывной вдоль кривой L, если для нее выполнены все требования непрерывности за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода.

Теорема

Пусть L является кусочно гладкой кривой, а функция f(x,y) – кусочно непрерывная функция вдоль кривой L. Тогда существует следующий криволинейный интеграл первого рода, вычисляемый по формуле

Замечания.

1. В том случае, если L является частью графика функции, тогда

,

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций