В.А. Зорич - Вопросы и задачи к коллоквиуму (1111477)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализВопросы и задачи к коллоквиумуРЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРАЛектор — Владимир Антонович Зорич3 семестр, 2006–2007 г.Программа коллоквиума0. Ряд, примеры появления и использования. (Позиционная система счисления; вопросы приближения иряд Тейлора; распространение экспоненты в комплексную область и формула Эйлера; решение уравненийметодом неопределенных коэффициентов.) Операции с рядами, возникающие вопросы и формулировкиосновных теорем, дающих на них ответы.1.

Сходимость ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные достаточные признаки∞Pсходимости (мажорантный, интегральный, признак Абеля-Дирихле). Ряд ζ(s) =n−s .n=12. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признакиравномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля – Дирихле).3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов.

Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши – Адамара. Теорема Абеля(вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный,Абеля – Дирихле).6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Критерий Коши и основныедостаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля – Дирихле).7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра.8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.9. Эйлеровы интегралы.

Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл Пуассона.10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрассао равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом.Последняя компиляция: 6 ноября 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1Условия задач0. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км.

От второго его конца, который закреплен, к вамсо скоростью 1 см/c ползет букашка. Каждый раз, как только она проползает 1 см/c, вы растягиваетерезинку на 1 км. Доползет ли букашка до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ей на этопотребуется времени?После некоторого размышления для ответа на предыдущий вопрос вам может оказаться полезной суммаRnSn = 1 + 21 + 13 + .

. . + n1 . Вспомните интеграл и покажите, что Sn − 1 < x1 dx < Sn−1 .1d1. P — полином. Вычислите (et dx )P (x).2. Проверьте, что вектор-функция etA x0 решает задачу Коши ẋ = Ax, x(0) = x0 (ẋ = Ax — система уравнений, задаваемая матрицей A).3. Найдите с точностью до o(1/n3 ) асимптотику положительных корней λ1 < λ2 < . . . < λn < . . .

уравненияsin x + 1/x = 0 при n → ∞.4.а. Покажите, что ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − . . .. Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать ln 2 сточностью до 10−3 ?б. Проверьте, чтоx = 1+t1−t .121 31 5ln 1+t1−t = t + 3 t + 5 t + . . . Используя это разложение, удобно вычислять ln x полагаяв. Полагая в (b) t = 1/3, найдите, что11 1ln 2 = +23 3 3 511 1++ ...35 3Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать ln 2 с точностью до 10−3 ? Сравните с тем, чтобыло в (a).

Это один из приемов улучшения сходимости.5. Проверьте, что в смысле Абеляа. 1 − 1 + 1 − . . . = 12 .∞Pб.sin kϕ = 12 ctg ϕ2 , ϕ 6= 2πn, n ∈ Z.k=1в.12+∞Pk=1cos kϕ = 0, ϕ 6= 2πn, n ∈ Z.6. Докажите лемму Адамара:а. Если f ∈ C (1) (U (x0 )), то f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ), где ϕ ∈ C(U (x0 )) и ϕ(x0 ) = f ′ (x0 ).б. Если f ∈ C (n) (U (x0 )), тоf (x) = f (x0 ) +1 ′f (x0 )(x − x0 ) + . . . +1!+где ϕ ∈ C(U (x0 )) и ϕ(x0 ) =1f (n−1) (x0 )(x − x0 )n−1 + ϕ(x)(x − x0 )n ,(n − 1)!1 (n)(x0 ).n! fв. Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда x = (x1 , .

. . , xn ), то-есть когда f —функция n переменных?7.а. Проверьте, что функция1J0 (x) =πZ10cos xt√dt1 − t2удовлетворяет уравнению Бесселя y ′′ + x1 y ′ + y = 0.б. Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.в. Найдите степенные разложения функции J0 (x).28. Проверьте справедливость асимптотических разложенийа. Γ(α, x) :=+∞Rtα−1 e−t dt ≃ e−xxб. Erf(x) :=+∞Re−txпри x → +∞.9.2∞Pk=1Γ(α)α−k,Γ(α−k+1) x∞√2 Pdt ≃ 12 πe−xk=11Γ(3/2−k)x2k−1а. Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 − 1!x + 2!x2 − 3!x3 + . .

. связан с функциейS(x) :=+∞Ze−tdt.1 + xt0б. Сходится ли этот ряд?в. Дает ли он асимптотическое разложение S(x) при x → 0?10.а. Линейный прибор A, характеристики которого постоянны во времени, в ответ на входной сигнал δ(t)в виде δ-функции выдал сигнал (функцию) E(t). Каков будет ответ прибора на входной сигнал f (t),−∞ < t < +∞?б. Всегда ли по преобразованному сигналу f˜ := Af однозначно восстанавливается исходный сигнал f ?Последняя компиляция: 6 ноября 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3Решения задачБудьте внимательны, в решениях могут содержаться ошибки.0.

Поскольку ряд 1 +1213++ ...+1nЛегко видеть, что Sn − 1 и Sn−1+ . . . расходится, то букашка до вашей руки доползет.Rnесть нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла x1 dx на отрезке[1; n], откуда следует искомое неравенство Sn − 1 <Rn 11x1dx < Sn−1 .Время, за которое букашка доползет до вашей руки, оценивается так:Sn ≈Zn151dx = ln n = 105 ⇒ T ≈ e10 c.xd1. По определению et dx имеем:t dt2 d2tn dn++...++ . . .)P (x) =1! dx 2! dx2n! dxntt2tk= P (x) + P ′ (x) + P ′′ (x) + . .

. + P (k) (x) = P (x + t).1!2!k!d(et dx )P (x) = (1 +Это формула Тейлора для полинома P (x) степени k.2. Пусть ẋ = Ax, x(0) = x0 и x = etA x0 . Тогда формальноt2tntA + A2 + . . . + An + . . .)x0 ⇒1!2!n!t 2tn−1ẋ = (A + A + . . . +An−1 + . . .)x0 =1!(n − 1)!ttn−1= A(E + A + . .

. +An−1 + . . .)x0 = AetA x0 = Ax.1!(n − 1)!x = (E +3. Легко видеть, что λn → πn при n → ∞. Поэтому, полагая λn = πn +Ответ: λn = πn +4.an+bn2+cn3+ o(1/n3 ), имеем:λn sin λn + 1 = 0 ⇔abcabcπn + + 2 + 3 + o(1/n3 ) (−1)n++ 3−n nnn n2n!31 abc−++ 3+ o(1/n3 ) = −1 ⇔6 n n2n(−1)n+1(−1)n πa + 1 = 0a=ππb(−1)n=0 ⇔b=0n32n+1π(6c−a)+6a (−1)n c = − 6 − (−1)=0.6n26π 3(−1)n+1πn∞P−6−(−1)n+16π 3 n3+ o(1/n3 ).n(−1)n+1 xn .

Для сходимости этого ряда необходимо, чтобы |x| 6 1, т.к. радиусn=1pсходимости равен R = ( lim n 1/n)−1 = 1. Внутри круга сходимости ряд сходится абсолютно, иn→+∞∞P(−1)n+1его сумма равна ln(1 + x). При x = 1 получается ряд. Этот ряд сходится по признакуnа. Рассмотрим рядn=1Лейбница, а значит, по теореме о непрерывности суммы ряда получаем, что его сумма равна ln 2.4б.∞ n1 1+t11 X tnntln= (ln(1 + t) − ln(1 − t)) =− (−1)=2 1−t22 n=1 nn∞∞X1 X t2n−1t2n−12=.2 n=1 2n − 1 n=1 2n − 1=35в.

Подставляя t = 31 , находим, что 12 ln 2 = 31 + 13 13 + 15 31 + . . . Пусть Rn = | ln 2 − Sn | — остатокряда.1< 10−3 ⇒ n ∼ 103 .В случае (a) Rn 6 n+1∞∞PP2−2n111В случае (b) Rn == 3 2 < 10−3 ⇒ n ∼ 3.2k−1 32k−1 <32k−1k=n+15.∞Pа. Рассмотрим рядk=n+1(−1)n+1 xn . Его сума есть функция f (x) =n=1lim f (x) = 12 .x→1−0б. Необходимо вычислить сумму∞Pk=1+ i sin kϕ) и∞Xk=1Поэтому по Абелю∞Xв. Аналогично (b),∞Pk=1sin kϕ = limx→1−0cos kϕ · xk = Re∞X6.∞P(−1)n+1 =n=1∞Xz k = Imk=1zx sin ϕ=.1−z1 − 2x cos ϕ + x2x sin ϕsin ϕ1ϕ== ctg .1 − 2x cos ϕ + x22(1 − cos ϕ)22∞Pk=1cos kϕ = limz=z k = Re 1−zx→1−0k=1Тогда по Абелюsin kϕ · xk . Положим z = x(cos ϕ + i sin ϕ), тогда z k = xk (cos kϕ +sin kϕ · xk = Imk=111+x .x(cos ϕ−x)1−2x cos ϕ+x2 .Тогда по Абелюcos ϕ − 11x(cos ϕ − x)==− .1 − 2x cos ϕ + x22(1 − cos ϕ)2а.

Пусть f ∈ C (1) (U (x0 )), тогда искомая формула следует из формулы Ньютона-Лейбница: f (x0 + h) −R1R1f (x0 ) = f ′ (x0 + th) dt · h. Полагая F (h) = f ′ (x0 + th) dt, h = x − x0 и ϕ(x) = F (h), по теореме о00непрерывности собственного интеграла ϕ ∈ C(U (x0 )). Кроме того, ϕ(x0 ) = F (0) = f ′ (x0 ).б. Пусть f ∈ C (n) (U (x0 )). Тогда искомая формула получается по индукции: к функции F (x − x0 ) n разприменяем (a).в. Когда f — функция n переменных, для (a) получаем:11nf (x , . . .

, x ) −f (x10 , . . . , xn0 )n ZX∂f 1=(x0 + tx1 , . . . , xn0 + txn ) dt · xi ,i∂xi=10и тогда следует взятьϕ(x) =nXiгде ϕi (x) =ϕi (x)x ,i=1Z1∂f(x0 + tx) dt.∂xi0Для (b) нужно заменить производные на производные по направлению h.7.а. Пусть J0 (x) =1πR10cos xt√1−t2dt. Подинтегральная функция вместе со своей производной по x непрерывнав области {(t, x) | 0 6 t < 1, x ∈ R}, интеграл сходится, например, при x = 0, и5R1 t sin xt0√1−t2dt сходитсяравномерно при x ∈ R, поэтому интеграл можно интегрировать по параметру.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий