В.А. Зорич - Вопросы и задачи к коллоквиуму (1111477), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Получаем:J0′′ (x)11+ J0′ (x) + J0 (x) =xπZ1 p1 − t2 cos xt dt−01−πZ10t sin xt√dt =x 1 − t21sin xt ·π!1√1 − t2 = 0.x0(b),(c) Решим уравнение xy ′′ + y ′ + xy = 0 с помощью степенных рядов. Пусть y =∞Xan xn , тогда, диффе-n=0ренцируя и подставляя в уравнение, получаем:a1 +∞P(n2 an + an−2 )xn−1 = 0⇒n=2a1 = n2 an + an−2 = 0.Отсюда легко получить, чтоa2k = (−1)ka2k−1 = 0,a0,(k!)2 22kгде k ∈ N.Поскольку a0 = J0 (0) = 21 , то искомый ряд выглядит так:1J0 (x) =28.∞Xx2n1+(−1)(n!)2 22nn=1n!.а.+∞ZΓ(α, x) =tα−1 e−t dt =x∞= −e−t tα−1 x + (α − 1)=e−x α−1x+ (α − 1)+∞Ztα−2 e−t dt =x−t α−2 ∞−e tx++∞Z+ (α − 1)(α − 2)tα−3 e−t dt = .

. . =x+ (α − 1)xα−2 + (α − 1)(α − 2)xα−3 + . . . ++∞Zα−n−1+ (α − 1) . . . (α − n))x+ (α − 1) . . . (α − n + 1)tα−n e−t dt.=e−xα−1(xxПоскольку+∞Rxtα−n+1 e−t dt = o(tα−n e−x ) при x → +∞ и формально (α − 1) . . . (α − n + 1) =Γ(α)Γ(α−n+1)согласно формуле понижения, то имеет место асимптотическое разложение:Γ(α, x) ≃ e−x∞Xxα−nn=1Γ(α).Γ(α − n + 1)б. Положим u = t2 , тогда получаем:+∞+∞ZZ√ −t11−t2Erf(x) =edt =ue dt = Γ(1/2, x2 ) ≃22xx2≃1 −x2 X 2(1/2−n) Γ(1/2)1 √ −x2 X1ex=πe.2Γ(3/2−n)2Γ(3/2−n)x2n−1n=1n=1∞6∞9.а. Пусть S(x) =+∞R0e−t1+xtdt. Почленным интегрированием получаем, что+∞∞Ze−t e−tS(x) = −− 1!xdt =1 + xt 0(1 + xt)20+∞∞Z−t−tee − 2!x= 1 − x −dt = .

. . =(1 + xt)2 0(1 + xt)302nn= 1 − 1!x + 2!x − . . . + (−1) n!xб. Рядв. Рядчто∞Pe−tdt.(1 + xt)n+10(−1)n n!xn сходится только при x = 0, т.к. иначе общий член ряда не стремится к 0.n=0∞P(−1)n n!xn есть асимптотическое разложение функции S(x) при x → 0. Это следует из того,n=0 +∞ +∞ Z Z−t e−txdt 6 xe dt = |x| = o(1) при x → 0.n(1+xt) 010.+∞Z0а. Пусть аппаратная функция линейного прибораA есть E(t). Рассмотрим входной сигнал f (t) и приPблизим ее ступенчатой функцией lh (t) = f (τi )δh (t − τi )h. lh (t) → f (t) при h → 0, поэтому:ielh = Alh → Af = fe при h → 0.Т.к.

A линеен и сохраняет сдвиги, тоXelh (t) =f (τi )Eh (t − τi )h,где Eh = Aδh .iТаким образом,fe(x) =Zf (τ )E(t − τ ) dτ.Rб. Приведем примеры, когда исходный сигнал f не восстанавливается однозначно.Возьмем A, не зависящий от f .nPdiВозьмем A =ai dxi , тогда на функцию f получается ОДУ степени n, а значит, для функции f естьi=1n параметров.Последняя компиляция: 6 ноября 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.7.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий