7. Графы. Числа Рамсея. Верхняя и нижняя оценки чисел Рамсея (1110922)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7. Графы. Числа Рамсея. Верхняя инижняя оценки чисел Рамсея.Лектор — д.ф.-м.н. Селезнева Светлана НиколаевнаЛекции по «Дискретным моделям».Магистратура, 1-й курс,факультет ВМК МГУ имени М.В. ЛомоносоваЛекции на сайте http://mk.cs.msu.suЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЧисла РамсеяГраф Ḡ = (V , Ē ) — дополнительный к графу G = (V , E ),если Ē состоит из всех тех ребер, которых нет в E , т.е.Ē = {(v , w ) | v , w ∈ V , v 6= w , (v , w ) ∈/ E }.Число R(m, n) — такое наименьшее число x, что для любогографа G с x вершинами:либо в G есть подграф Km ,либо в Ḡ есть подграф Kn .ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЧисла РамсеяРаскраска ребер графа G = (V , E ) в два цвета —отображение ρ : E → {1, 2}.Число R(m, n) — такое наименьшее число x, что при любойраскраске ребер полного графа Kx в два цветалибо в нем найдется подграф Km с ребрами цвета 1,либо в нем найдется подграф Kn с ребрами цвета 2.ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяВерны равенства: R(1, n) = R(m, 1) = 1 и R(m, n) = R(n, m).Теорема 1.

При m, n ≥ 2 справедливо неравенствоR(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1).Доказательство.Положим x = R(m − 1, n) + R(m, n − 1).Рассмотрим произвольную раскраску ребер полного графа Kx вцвета 1 и 2.Из произвольной вершины v графа Kx исходитлибо R(m − 1, n) ребер цвета 1,либо R(m, n − 1) ребер цвета 2.Случаи аналогичны, рассмотрим один из них.Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяДоказательство.1. Пусть из вершины v графа Kx исходит R(m − 1, n) реберцвета 1.Положим V — множество из y = R(m − 1, n) концов этих ребер.Множество V вместе с соединяющими их ребрами образуютполный подграф Ky графа Kx .По определению числа R(m − 1, n) в графе Ky найдется либополный подграф Kn с ребрами цвета 2, либо полный подграфKm−1 с ребрами цвета 1.В первом случае этот полный подграф Kn с ребрами цвета 2есть и в графе Kx .Во втором случае добавим к этому полному подграфу Km−1вершину v и получим полный подграф Km с ребрами цвета 1 вграфе Kx .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяСледствие 1.

При m, n ≥ 1 справедливо неравенствоm−1R(m, n) ≤ Cm+n−1.Доказательство: индукция по m.Базис индукции m = 1 верен.Индуктивный переход: по теореме 1 получаемR(m − 1, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1) ≤m−2m−1m−1≤ Cm+n−2+ Cm+n−2= Cm+n−1.Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиНижняя оценка числа РамсеяТеорема 2 (Эрдеша). При k ≥ 2 справедливо неравенствоR(k, k) ≥ 2k/2 .Доказательство. Рассмотрим k ≥ 3, т.к. R(2, 2) = 2.Оценим долю γ(p, k) графов с p помеченными вершинами, вкоторых найдется полный подграф с k вершинами.Возможных ребер в графах с p вершинами ровно Cp2 , откуда2графов с p вершинами в точности 2Cp .Выбрать k вершин, образующих полный подграф, из p вершинможно Cpk способами.Оставшиеся Cp2 − Ck2 ребра могут быть проведены произвольно.Поэтому число графов с p вершинами, содержащих полный22подграф с k вершинами, не более Cpk · 2Cp −Ck .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаНижняя оценка числа РамсеяДоказательство.

Значит,2γ(p, k) ≤2Cpk · 2Cp −CkCp22=pk2k!2Ck.При p < 2k/2 получаем2γ(p, k) <2k/212k /2=<.2k!2k!2k /2−k/2ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиНижняя оценка числа РамсеяДоказательство.Разобьем все графы с p вершинами на пары (G , Ḡ ).Тогда по доказанному выше при p < 2k/2 в этом разбиениинайдется такая пара графов (G , Ḡ ), что ни G , ни Ḡ несодержат полный подграф с k вершинами.Отсюда R(k, k) ≥ 2k/2 .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаНижняя оценка числа РамсеяСледствие 2. При m, n ≥ 2 справедливо неравенствоR(m, n) ≥ 2min(m,n)/2 .ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаЗадачи1. Найти значение числа Рамсея:1)2)3)4)R(2, 2);R(2, 3);R(2, 4);R(2, 5).Ответ обосновать.2. Обосновать, что:1) R(3, 3) > 5;2) R(3, 4) > 8.Нижняя оценкаЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаКонец лекции 7Задачи.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций