Е.И. Большакова, Н.В. Груздева - Основы программирования на языке Лисп (1110798), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Говорят, чтоимеет место параллельная рекурсия, если в теле определяемой функциисодержится вызов некоторой функции, не менее двух аргументов которойявляются рекурсивными вызовами определяемой функции. В такихслучаях говорят также, что рекурсия проводится и вширь, и вглубьсписочного выражения.Покажем ход вычисления функции MemberS, используя техникупереписывания:0) (MemberS: A=S, L=(A (Z (D S)) V))1) (or (MemberS: A=S, L=A)(MemberS: A=S, L=((Z(D S))V)))2) (or NIL (MemberS: A=S, L=((Z(D S))V))3) (MemberS: A=S, L=((Z(D S))V)4) (or (MemberS: A=S,L=(Z(D S)))(MemberS: A=S, L=(V)))5) (or (or (Members: A=S, L=Z)(Members: A=S, L=((D S))))(MemberS: A=S, L=(V)))476) (or (or NIL (MemberS: A=S, L=((D S))))(MemberS: A=S, L=(V)))7) (or (MemberS: A=S, L=((D S))))(MemberS: A=S, L=(V))8) (or (or(MemberS: A=S, L=(D S))(MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=(V)))9) (or (or(or(MemberS: A=S, L=D)(MemberS: A=S, L=(S)))(MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=(V)))10) (or (or(or NIL (MemberS: A=S, L=(S)))(MemberS: A=S, L=()))(Member: A=S, L=(v)))11) (or (or(MemberS: A=S,L=(S))) (MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=(V)))12) (or (or(or(MemberS: A=S, L=S)(MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=())) (MemberS: A=S, L=(V)))13) (or (or(or T (MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=(V)))14) (or (or T (MemberS: A=S, L=()))(MemberS: A=S, L=(V)))15) (or T (MemberS: A=S, L=(V)))=> TВ рассмотренной задаче можно было бы обойтись без параллельнойрекурсии, если поместить проверку поддеревьев на разные ветви функции:(defun MemberS (A L)(cond ((atom L)(eql A L))((MemberS A (car L)) )((MemberS A (cdr L)) )))Возможен и другой вариант решения этой задачи – на основерекурсивного определения лисповского списка, а не S-выражения:(defun MemberSL (A L)(cond ((null L) NIL) ;случай пустого списка((atom (car L)) ;анализ 1-го элемента L(cond ((eql (car L) A) T)(T (MemberSL A (cdr L)) )))((MemberSL A (car L))((MemberSL A (cdr L)) )) ))В этом варианте на второй ветви тела функции выполняется анализпервого элемента списка L, и поэтому нужна дополнительная (первая)ветвь, на которой проверяется непустота списка L.
В итоге получаетсяболее длинное и более сложное для понимания определение.48Ещё один пример параллельной рекурсии, которую можнопреобразовать в простую – это функция Equal, проверяющая равенстводвух произвольных S-выражений и выдающая соответственно T или NIL:(Equal '(A (S) D) '(A (S) D)) => T(Equal '(A . B) '(A . B)) => T(Equal '(R T) '(Q R T)) => NILЕё определение с учётом структуры S-выражений:(defun Equal (X Y)(cond ((atom X)(eql X Y))((atom Y) NIL)(T (and (Equal (car X)(car Y))(Equal (cdr X)(cdr Y)) )))Основная идея проверки – одновременный проход по списочнымвыражениям X и Y вместе со сравнением соответствующих их частей.
Наветвях функции последовательно рассматриваются все возможные случаи(Х – атом; Х не атом, а Y – атом; Х и Y – не атомы). Как и в функцииMemberS, для сравнения атомов используется встроенная функция eql,реализующая сравнение как символьных, так и числовых атомов. Заметим,что можно упростить последнюю ветвь cond, записав в качестве условияэтой ветви первый аргумент функции and, а в качестве вычисляемоговыражения – второй аргумент.Рассмотрим теперь задачу, в которой нельзя обойтись безпараллельнойрекурсии.ЗапрограммируемфункциюNumber,подсчитывающую общее количество атомов в произвольном списочномвыражении:(Number '((A (X K) M ()(Z (D S)) V)) => 8Для программирования подсчёта атомов на базе определенияS-выражения желательно сформулировать действие этой функции втерминах бинарного дерева, представляющего обрабатываемое списочноевыражение.
Ясно, что должен вестись подсчёт листьев этого дерева,однако остаётся вопрос, учитывать ли при этом атомы NIL (они могутвстречаться как в левых, так и в правых листьях дерева). Для простотыбудем считать, что функция не будет учитывать атомы NIL. Поэтому вопределении функции Number кроме двух ветвей, соответствующих двумслучаям S-выражения (атом и точечная пара), появляется дополнительная,первая ветвь, соответствующая атомам NIL.Таким образом, вторая ветвь тела функции учитывает атомы,отличные от NIL, а на рекурсивной ветви суммируется число атомов влевом и правом поддереве:49(defun Number (X)(cond ((null X) 0)((atom X) 1)(T (+ (Number (car X))(Number (cdr X)) )) ))Покажем процесс вычисления вызова функции Number:0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18)(Number: X=(A (X K) M ()) )(+(Number: X=A)(Number: X=((X K) M ()) ) )(+ 1 (Number: X=((X K) M ()) ) )(+ 1 (+ (Number: X=(X K) ) (Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ (+ (Number: X=X)(Number: X=(K) ))(Number: X=(M ()) )))(+ 1(+(+ 1 (Number: X=(K) ))(Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ (+ 1 (+ (Number: X=K)(Number: X=() )))(Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ (+ 1 (+ 1 (Number: X=() )))(Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ (+ 1 (+ 1 0))(Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ (+ 1 1)(Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ 2 (Number: X=(M ()) )))(+ 1 (+ 2 (+ (Number: X=M)(Number: X=(()) ))))(+ 1 (+ 2 (+ 1 (Number: X=(()) ))))(+ 1 (+ 2 (+ 1 (+ (Number: X=() )(Number: X=() )))))(+ 1 (+ 2 (+ 1 (+ 0 (Number: X=() )))))(+ 1 (+ 2 (+ 1 (+ 0 0))))(+ 1 (+ 2 (+ 1 0)))(+ 1 (+ 2 1))(+ 1 3)=> 4Так же, как и в случае с функцией MemberS, данное решение,основанное на рекурсивном определении S-выражения, проще и понятнеерешения, полученного на основе определения лисповского списка, вкотором отдельно анализируются случаи с первым элементом списка:(defun NumberL (X)(cond ((null X) 0)((null (car X)) (NumberL (cdr X)))((atom (car X)) (+ 1 (NumberL (cdr X))))(T (+ (NumberL (car X))(NumberL (cdr X)) )) ))50Таким образом, при решении задач, требующих полного просмотрасписочного выражения, опора на рекурсивное определение S-выраженияприводит обычно к более простым и понятным функциям.2.4.
Накапливающий параметрТипичным приёмом функционального программирования являетсявведение и использование функции с дополнительным аргументом,выполняющим роль накапливающего параметра.Рассмотрим задачу одновременного подсчёта суммы и произведениянескольких чисел. Эти числа задаются как элементы входного списка, арезультатом вычисления должна быть списочная пара (S . P),состоящая из суммы S этих чисел и их произведения P. Например:(SumPr '(12 4 3 10)) => (29 . 1440)Одним из решений этой задачи является функция SumPr1:(defun SumPr1 (X)(cond((null X) (cons 0 1))(T(cons(+ (car X) (car (SumPr1 (cdr X))))(* (car X) (cdr (SumPr1 (cdr X))))))))На элементарной ветви этой функции строится точечная пара изсуммы и произведения, соответствующих пустому списку чисел. Вовторой ветви для пересчёта этой точечной пары используется параллельнаярекурсия.
Очевидна неэффективность этого решения: дважды вычисляетсявыражение (car X), а также дважды вычисляется одно и то жерекурсивное обращение к SumPr1 – такое дублирование рекурсивныхвызовов функции даёт экспоненциальный эффект, увеличивая общее числорекурсивных вызовов с n (длина исходного списка) до 2n.Дублирования можно избежать, если сохранять промежуточныерезультаты вычисления – для этого необходимо завести дополнительнуюфункцию или же использовать эквивалентную, но более удобную напрактике конструкцию let, которая вводит локальные переменные длявычисляемых выражений.
В нашем случае в let нужны две переменные:Y – для значения (car X), и Z – для вычисленного рекурсивногообращения. В итоге задача решается простой рекурсией (вместопараллельной):(defun SumPr2 (X)(cond ((null X) (cons 0 1))(T (let ((Y (car X))(Z (SumPr2 (cdr X)))(cons (+ Y (car Z))(* Y (cdr Z))) ))))51При этом для обработки списка длины n потребуется nрекурсивных обращений, а также n+1 обращений к функции cons длясоздания точечных пар, соединяющих сумму и произведение чисел, и nрасщеплений этих пар функциями car и cdr.Можно ещё сократить вычисления, если строить итоговую точечнуюпару только один раз, по завершении подсчёта суммы и произведения, а ихзначения накапливать в специальных параметрах-аргументах.
Для этогопотребуется вспомогательная функция от трёх аргументов, назовем еёAccum. Эта функция выполняет рекурсивный процесс прохода повходному списку чисел X с соответствующим пересчётом суммы ипроизведения. Задача же основной функции SumPr3 – вызвать Accum,передав ей начальные значения её параметров:(defun SumPr3 (X) (Accum X 0 1))(defun Accum (X S P)(cond((null X) (cons S P));итоговая точечная пара(T (Accum (cdr X) (+ S (car X)) ;пересчёт(* P (car X)) )) ))Аргументы S и P рекурсивной функции Accum сохраняют промежуточныерезультаты вычислений, постепенно накапливая сумму и произведениечисел. Тем самым, используя два накапливающих параметра, удаётсяизбежать излишних рекурсивных вызовов и ненужных соединений ирасщеплений точечных пар.
Поскольку в Accum применяется хвостоваярекурсия, вычисления могут быть дополнительно оптимизированы лиспинтерпретатором.В качестве следующего примера использования накапливающегопараметра вновь рассмотрим функцию Reverse, переворачивающуюсвой список-аргумент:(Reverse '(A (B D) C)) => (C (B D) A).Предложенное ранее определение опиралось на функцию append:(defun Reverse (X)(cond ((null X) NIL)(T (append (Reverse (cdr X))(cons (car X) NIL) )) ))Оценим вычислительную сложность этого решения, учитывая числовызовов функции cons (это более затратная операция по сравнению с carи cdr). Если n – длина исходного списка, то требуется n вызововфункции append. В свою очередь append вызывает себя рекурсивно mраз (где m – длина её первого аргумента-списка), копируя элементы своегопервого аргумента с помощью операции cons:52(defun append(L1 L2)(cond ((null L1) L2)(T (cons (car L1)(append (cdr L1) L2)) )))После каждого рекурсивного вызова функции Reverse длина аргументадля append уменьшается; имеем таким образом n вызовов append сдлиной списка m, равной соответственно n-1, n-2, …, 1, 0.
Общее числовызовов cons: n+(n-1)+(n-2)+ …+1+0 = n(n+1)/2 = О(n2).Получающуюся квадратичную зависимость от длины nреверсируемого списка хотелось бы сократить до О(n), и этого можнодостичь при введении накапливающего параметра.Пусть в ходе вычислений накапливающий параметр Res сохраняетпромежуточный результат – часть перевёрнутого списка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
