II.-Теория-поля (1109679), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Соответственно в (117.1) должно быть теперь хээ = — 1. Уравнения же (117.2), (117.3) не меняются. Векторы пп1, поо в (117.7) становятся комплексными: ппд~ (п' х гпл)/АГ2, где п', пэ — единичные векторы. Выбирая оси х~, х, х в направлениях п', п", п1 1, получим решение в виде 2~' 7 и х1 7 и х1 — кы = 822 = х соз(2р 1п — ), 822 = — х з1П~2р 1п — ), 2~2 2 хзз = -х ", -8 = -коз~8 з~ = х , где а — постоянная (которую уже нельзя устранить выбором масштаба вдоль оси х, не изменив других коэффициентов в написанных выражени- ях). Числа ры рг, рз по-прежнему удовлетворяют соотношениям (117.9), причем вещественное число рз либо меньше — 1/3, либо больше единицы.
2. '1Ь же в случае совпадающих двух главных значений (рг = рз). Р е ш е н и е. Как известно, из общей теории линейных дифференци- альных уравнений, в этом случае система (117.6) может быть приведена к следующему каноническому виду: 2рг . 2рг . 2рг Л 8М= — хгп 82 = — 82, аз = — 82 =а + — 82, а=2,3, х х х х где Л вЂ” постоянная. При Л = О мы возвращаемся к (117.8). При Л ~ О можно положить Л = 1; тогда 822=-х', 8г.=а.хг, 8з„=а„тг 1пх+Ь,„х грг гр2 2рг 2рг Из условия 822 = 822 находим, что аг = О, аз = Ьг Надлежащим выбором масштаба вдоль осей хг, хз окончательно приводим метрику к следующему виду: дз = — Нх — х Р'(дх') х 2х "'дх дх~ хх Р'1и — (дх~) .
Числа рп рг могут иметь значения 1, О или — 1/3, 2/3. 3. Вблизи особой точки 1 = О найти закон изменения со временем плотности материи, равномерно распределенной в пространстве с метрикой (117.8). 520 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. ХГУ Р е ш е н и е. Пренебрегая обратным влиянием материи на поле, исхо- дим из гидродинамических уравнений движения 1 д — (~' — кои*) = О, ,-Уд' (р+е)и ( — — и 1= — —,— и,и »Гди, 1 1дй»11 др» др (1) 1даь 2 да* 7 дл' дз~ ' содержащихся в уравнениях Т;".А = 0 (см. «Гидродинамнка», 3134). Здесь а в плотность энтропии; вблизи особенности надо пользоваться ультраре- лятивистским уравнением состояния р = е/З,н тогда а сс ег'4.
Обозначим временные множители в (117.8) через а = 1»1, 6 = гвг, с = = 1Р». Поскольку все величины зависят только от времени, а чг — 8 = аЬс, уравнения (1) дают — (аЬсиое ) = О, Ы »14 Ж Отсюда аЬсиое ~ = сопэц (2) и е = сопэс. (3) Согласно (3) все ковариантные составляющие и„— одинакового порядка величины. Из контравариантных же компонент наиболее велика (при 1 — » 0) и иг,гс . Сохранив в тождестве и,и' = 1 лишь наибольшие члены, г г получим поэтому иог иги = (иг) /сг и затем из (2) и (3): 1 е ог г г, и„со»гаЬ, а Ь нлн 1Р14»г) 1 ( Рг) и со 10 Риг (4) и со Как и следовало, е стремится при 1 — » 0 к бесконечности для всех значений Рг за нсклвгчением лишь Рг = 1,— в соответствии с тем, что особенность в метрике с показателями (О, О, 1) фиктивна.
Справедливость использованного приближения проверяется оценкой компонент Т,, опущенных в правых частях уравнений (117.2), (117.3). ГлавА ныЕ члЕны в ннх: То еио со 1 Т, 1 Тг сиги сю 1 О»~гг Ргг Тг »гиги Го 1 Все они действительно растут при 1 — » 0 медленнее, чем левые части уравнений, возрастающие как 1 й 118. Колебательный режим приближения к особой точке На примере модели мира с однородным пространством типа 1Х изучим особенность метрики по времени, имеющую колебательный характер (В. А. Белинский, Б. М.
Лифшиц, И. М. Халатников, 1968). Мы увидим в следующем параграфе, что такой характер имеет весьма общее значение. 118 колевательный Режим пРивлижения к ОСОБОЙ тОчке 521 [при этом С 28 = С 81 = С 12 = 1). Из [116.26) видно, что для таких констант и при диагональНОй МатРИЦЕ т)аЬ КОМПОНЕНТЫ В~~ ) тЕНЗОРа РИЧЧИ В СИНХРОН- ной системе отсчета обращаются в нуль тождественно. Согласно [116.24) обращаются в нуль также и недиагональные компоненты Р~айь)). Остальные компоненты УРавнений Эйнпгтейна дают для функций а[2), Ь[1), с[1) систему уравнений: 1аЬс)' 1 [[52 — С2)2 — П4) БЬс 2аЬс 1БЬс) 1- [[ 2 2)2 54] БЬс 2а Ьс 1БЬс)' 1 [[а2 — Ь2)2 — с4] БЬс 2а Ь~сд [118.3) а Ь с — +-+- =0 а Ь с [118.4) ) Соответствующие этим константам реперные векторы: 1 = (з1пх ~ — сОзх з1пх ~0), гп = 1соэх,е1пх з!пх >0)> и = 10, сое х', Ц.
Координаты пробегают значения в интервалах 0 ( х' ( х, 0 ( х~ ( 2л, 0 ( хз ( 4х. Пространство замкнуто и его объем Ъ = / А/9ах ах дх = аЬс~э1БХ Нхта1ххЫх~ = 16х~аЬс. При а = Ь = с оно переходит в пространство постоянной положительной кривизны с радиусом кривизны 2а. Нас будет интересовать поведение модели вблизи особой точки [которую выберем в качестве начала отсчета времени, Ь = 0). Как и в рассмотренном в 8 117 решении Казнера, наличие материи не отражается на качественных свойствах этого поведения, и для упрощения исследования будем предполагать пространство пустым. Положим в [116.3) матрицу величин 4)аь[Ь) диагональной, обозначив ее диагональные элементы через а, Ь, с; три реперных вектора еП), е12), е18) обозначим теперь через 1, тп, и.
Тогда пространственная метрика запишется в виде уол = а 1„)О + Ь тотд + с поп18. [118.1) Для пространства типа 1Х структурные константы'): С11 С22 Сзз [118.2) 522 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. ХГР ((118.3) — уравнения Г1 = В = А( — — 0; (118.4) — уравнение Ло о=О) Производные по времени в системе (118.3), (118.4) принимают более простой вид, если ввести вместо функций а, Ь, с их логарифмы Гт, ф, у Ь = е~, с = е~, (118.5) а = е~, а вместо 1 переменную т согласно аГ = аЬс ГГт. (118.6) Тогда: 27, = (а — Ь2)2 — с4, 1 2 -(ГГ+Р+7)ГИ =ГЕ,,Р, +ГГ, 7, +,8, 7,„ (118.
7) (118.8) (118.10) где рб р, р„числа, связанные соотношениями р1+р +р„= р~~+р~ +р2 = 1 (118.11) (аналог решения Казнера (117.8) для однородного плоского пространства). Мы обозначили здесь показатели степеней как рп р,„, р„, не предопределяя их последовательности в порядке возрастания; обозначение же ры р2, рз из 3117 сохраним за тройками чисел, рас1юложенных в порядке р1 ( рР ( рз и соответственно пробегающими значения в интервалах (117.10). Эти числа могут где индекс т означает дифференцирование по т. Сложив почленно уравнения (118.7) и заменив в левой части сумму вторых производных согласно (118.8), получим а,т(т,т+ ГГ,,'у,т+ фт'7 „= — (а + 64+ с — 2а Ь вЂ” 2а2с — 262с ). 1 4 (118.9) Это соотношение содержит только первые производные и представляет собой первый интеграл уравнений (118.7).
Уравнения (118.3), (118.4) не могут быть решены точно в аналитическом виде, но вблизи особой точки допускают детальное качественное исследование. Прежде всего замечаем, что в отсутствие правых частей в уравнениях (118.3) (или, что то же, в уравнениях (118.7)) система имела бы точное решение, в котором а 1Р1 Ь ГР с 1Р з 118 колккаткльный гкжим пгнвлнжкння к осокой точкк 523 быть представлены в параметрическом виде как н(1+ и) 1 4- и 4- и (118.12) Все различные значения р1, р2, рз (с соблюдением условного порядка) получаются, если параметр и пробегает значения в области и ) 1.
Значения же и < 1 приводятся к той же области согласно р1 ( †) = р1(и), р2( †) = рз(и), рз( †) = р2(и). (118.13) На рис. 25 изображены графики р1, р2, рз в зависимости от 1/и. Предположим, что в некотором р» интервале времени правые части в уравнениях (118.7) действительно з малы, так что ими можно прене- Ц8 бречь и имеет место казнеровский режим (118.10). Такая ситуация не ' р, может продолжаться (при 1 — + О) О4 - .
неограниченно, так как среди указанных членов всегда имеются возрастающие. Так, если отрицательный показатель степени относится . ц2, к функции а(с) (р~ = р1 < О), то: м возмущение казнеровского режима возникает от членов а; остальные 4. Рис. 25 же члены при уменьшении ~ будут убывать. Сохранив в правых частях (118.7) лишь эти члены, получим систему уравнений (118. 14) 4о Д, =у =-е 2 ) Напомним, что мы рассматриваем эволюцию метрики при 4 — » О; поэтому «начальные» условия соответствуют более позднему, а не более раннему времени. Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из «начального» состояния'), в котором оно описывается формулами (118.10) с определенным набором показателей (причем р1 < О); пусть р1 = р1, рп» = рт, р„= рз, так что а=0", б=ггз, с=1Р~ (коэффициенты пропорциональности в этих выражениях можно положить равными 1 без ограничения общности получаемого 524 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.
ХГУ ниже результата). При этом аЬС = 1, т = 1п1+ сопз1, поэтому на- чальные условия для уравнений (118.14) формулируются в виде <~,т = Ры )О,т = Р21 7,т = Рз. Первое из уравнений (118.14) имеет вид уравнения одномер- ного движения частицы в поле экспоненциальной потенциаль- ной стенки, причем СГ играет роль координаты. В этой анало- гии начальному казнеровскому режиму соответствует свободное движение с постоянной скоростью СГ„= Рп Отразившись от стенки, частица будет снова двигаться свободно со скоростью обратного знака: а т = — рь Заметив также, что в силу всех трех уравнений (118.14) ГГ + )8,, = сопз1, ГГ + 7 = сопз1, НайдЕМ, ЧтО )Р,тт И 7 ПрИОбрЕтут ЗНаЧЕНИя,9„= рт+ 2рп 7 = рз + 2Р1 Определив отсюда ГГ, )1, 7 и затем 1 согласно (118.6), получим Π— р1т д 1рт-Ртр1)т у (рз«-зр1)т 1 П-Ртр1)т Р т.е.
а Гр1, Ь 1р, с 1р, где Р~ — Р— 1 РВ— ~РГ~ 1 ЯР1~ — Р1 Р1 — 2~Р1~ ( 1 18 15) 1 — 2)РГ(' 1 — 2)Р1) ' 1 — 2(Р1! Таким образом, воздействие возмущения приводит к смене одной «казнеровской эпохир другой, причем отрицательная сте- пень ~перебрасывается с направления 1на направление тп: если было р1 ( О, то теперь р' ( О. В процессе смены функция а(1) проходит через максимум, а Ь(1) — через минимум; убывавшая прежде величина Ь(Г) начинает возрастать, возраставшая а(Г)— падать, а функция с(1) продолжает убывать. Само возмущение (члены а~ в уравнениях (118.7)), прежде возраставшее, начинает убывать и затухает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
