А.И. Козко - Лекции по математическому анализу (1109350)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекции по математическому анализу.А.И. Козко.27 декабря 2007 г.2Оглавление0.10.20.30.40.5Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . .Несобственные интегралы зависящие от параметраГамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . .

.Решение уравнение теплопроводности . . . . . . . .3..............................................................................................................471316194Оглавление0.1Интегралы, зависящие от параметраО п р е д е л е н и е.fx ⇒ϕ(x) , lim k fy (.) + ϕ(.)kC(E) = 0Exy→y0|{z}sup |fy (x) − ϕ(x)|x∈E∀yn → y0 , yn 6= y0 : kfyn (.) − ϕ(.)k → 0 ⇔ fy(x) ⇒ϕ(x), y → y0EN Предел по Гейне ⇔ предел по Коши К р и т е р и й К о ш иfy (x)⇒ϕ(x), y → y0 ⇔ ∀ε > 0 ∃Ȯδ (y0 ) ∀y1 , y2 ∈ Ȯδ (y0 ) : kfy1 (.) − ϕ(.)kC(E) ≤ εEN ⇒ ∀ε > 0 ∃Ȯδ (y0 ) : ∀y ∈ Ȯδ (y0 ) kfy (.) − ϕ(.)k ≤ ε∀y1 , y2 ∈ Ȯδ (Y0 ) : kfy1 − fy2 k ≤ kfy1 − ϕk + kϕ − fy2 k ≤ 2ε⇐|fy1 (x) − fy2 (x)| ≤ kfy1 − fy2 k ≤ ε{z}|По критерию Коши для одного пере⇓менного,∀x ∈ E ϕ(x) = lim fy (x)y→y0z }| {y2 → y0 , kfy1 (.) − ϕ(.)k ≤ ε f ∈ C [a, b] × [c, d] ∀y0 ∈ [c, d], fy (x)⇒ fy0 , y → y0no x[a,b]no yN f ∈ U C ([a, b] × [c, d]) (равномерно непрерывна, потому что компакт)⇒ sup по всем х от kfy (x) − fy0 (x)k ≤ sup ω |y − y0) | → 0x∈[a,b]pω(δ) = sup |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )|, (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ≤ δ Теорема1.fy (x)⇒O(x0 )ϕ(x), y → y0 .

∃ lim ϕ(x). ⇒ lim lim fy (x) = limx→x0y→y0 x→x0◦2.fy ⇒ϕ(x), y → y0 , ∀y ∈ O (y0 ), ⇒ϕ(x )ϕ(x00)lim fy (x)x→x0 y→y0fy (x) ∈ C (ϕ(x0 )) ⇒ ϕ(x) ∈ C(x0 )◦3.fy (x)⇒ϕ(x), y → y0 , ∀y ∈ O (y0 ), fy (x) ∈ R [a, b] ⇒ ϕ(x) ∈ R[a, b][a,b]004.fy (x), (fy (x)) ∈ C ([a, b] × ϕ(y0 )) (fy (x)) ⇒F (x), y → y0 .[a,b]fy (x) сходится хотя бы в одной точке x0 , ∀y ∈ O(y0 ),тогда fy (x)⇒ϕ(x), y → y0 , y ∈ C 1 [a, b] и ϕ0 (x) = F (x)[a,b]N Это очевидно из утверждения (перевод по Гейне) (см. выше), а для последовательности всё доказано.∀yn → y0 (yn 6= y0 ) kfyn − ϕ(x)k → 0, yn → y0 . 0.1.Интегралы, зависящие от параметра5ЛеммаПусть f (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) ,Zvf (x, y)dx ∈ C ([a, b] × [c, d])тогда функция Ф(u, v, y) =uN |Ф(u + 4u, v + 4v, y + 4y) − Ф(u, v, y)| ≤≤ |Ф(u + 4u, v + 4v, y + 4y) − Ф(u + 4, v + 4, y)| + |Ф(u + 4u, v + 4v, y) − Ф(u, v, y)| = I1 + I2 ,v+4vR|f (x, y + 4y) − f (x, y)| dx ≤ ω (|4y|) · |b − a| → 0, т.к.ω − f непрерывнаI1 ≤u+4u !! v+4v v+4vRRuRRv −f (x, y)dx ≤−I2 = f (x, y)dx = u+4u u u+4uv v+4v Ru Rf dx ≤ C (|u| + |v|) → 0(из того, что f непрерывна) f dx + ≤ vu+4uТеоремаПустьf (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d])ZbZd ZbZb Zd f (x, y)dx dy =  f (x, y)dy  dxтогда F (y) = f (x, y)dx ∈ C[c, d] иacaacN 1.

Непрерывность доказывается по лемме.2. По теореме Фубини. ТеоремаПустьfy0Zbf (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) , тогда F (y) −10Zbf (x, y)dx ∈ C [c, d] и F (y) =af 0 (x, y)dx.a b Z Zb F (y + h) − F (y)f (x,y+h)−f (x,y)N /h − fy0 (x, y) dx = теор. Лагранжа =− fy0 (x, y)dx = h aa bZ Z00=f (x, y + θh) − fy (x, y) dx ≤ f 0 (x, y + θh) − fy0 (x, y) dx ≤ ω fy0 , |θh| |b − a| → 0.a|{z}( непрерывность ⇒ равномерная непрерывность, θ ∈ (0, 1))По предыдущей лемме f непрерывна.6ОглавлениеТеоремаПусть fy0 , f (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) ψ, ϕ : [c, d] → [a, b], ∈ C 1 [c, d], F (y) =ψ(x)Rf (x, y)dx.ϕ(x)Тогда F(y)∈ C 1 [c, d] и F 0 (y) = f (x, ψ(y))ψ 0 (y) − f (x, ϕ(y))ϕ0 (y) +ψ(y)Rf 0 (x, y)dx.ϕ(y)NФ(u, v, y) =Rvf (x, y)dx на множестве [a, b]2 × [c, d]Ф0v= f (x, v) непрерывнаФ0u = −f (x, u) непрерывнаuФ’y =Rvfy0 (x, y)dx непрерывна по лемме ⇒ Ф - дифференцируема.uПо теореме о диф.

функции0F’(y)=(Ф(ϕ(y), ψ(y), y))y = f (x, ψ(y))ψ 0 (y) − f (x, ϕ(y))ϕ0 (y) +ψ(y)Rf 0 (x, y)dx.ϕ(y)Каждое из слагаемых непрерывно, поэтому непрерывна и сама F’(x) 0.2.Несобственные интегралы зависящие от параметра0.27Несобственные интегралы зависящие от параметраО п р е д е л е н и е. F (y)=ω=+∞ω<Cпараметра.RωО п р е д е л е н и е.Rωf (x, y) dx — несобственный интеграл, зависящий отaf (x, y) dx ⇒, если Fb (y) =RaсемействофункцийbaYf (x, y) ⇒мн-во xz }| {∀ε > 0 ∃A [a; ω] Rω∀bε[A; ω) | f (x, y) dx| ≤ ε(|F (y) − Fb (y)|Bigl| ≤ εaТ е о р е м а (Критерий Коши)Несобственный интеграл, зависящий от парамтра, называется сходящимсяравномерно ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A[a; ω) ∀b1 , b2 ε[A; ω) ,чтоbZ 2 f (x, y) dx < εb1ДоказательствоZb2ZaFb (y) =f (x, y) dx = Fb2 (y) − Fb1 (y)f (x, y) dx иbb1С л е д с т в и е.ff: [a, ω) × [c, d] → R C([a; ω) × [c; d])Zωf (x, y) dx – расходится в точке у = С.

Тогда равномерной сходимости на(c;d) нетaJВспомним Критерий Коши для функции, расходящейся в точке у = С.∃ε0 > 0∀A(a; ω)∃b1 , b2 [A, ω)Zb2 f (x, c) dx > ε0b1F (y) =Raf (x, y) dyC([c; d])b⇓ Rb2 f (x, c) dx ≥b1ε02в некоторой окрестности точке С∀y[c; c + δ]⇓Zb2 ε0sup f (x, c) dx ≥2y (c;d)b1Т е о р е м а Признак Веерштрасса1)g, f : [a; ω) × Y → R2)f gинтегрируемы[a, b] ⊂ [a; ω)8Оглавление|f (x, y)| ≤ g(x, y) ∀(x, y)[a; ω) × YRω3) g(x, y) dx равномерно сходяться на Y.aJ Rb2 Rb2Rb2 f (x, c) dx ≤ |f (x, y)| dx ≤ g(x, y) dxb1b1b1Т е о р е м а Признак Абеля – Дирихлеf, g : [a, ω) × [c; d] → R00 )f, g интегрируемы ∀[a; b] ⊂ [a; ω)000 )g(x, y) − монотонная функцию по x[a; ω)для∀y[c; d]RωАбель: 1)f (x, y) dx[c;d]⇒asup |g(x, y)| ≤ C.2)y[c;d]∀x[a;ω)ωRДирихле: 1 ) f (x, ·) dx≤C0∀b[a; ω)a2’) sup |g(x, y)| ⇒ 0 , x → ωy[c;d]ТогдаJRb2Raf (x, y) · g(x, y) dx [c;d]⇒ωf (x, y) · g(x, y) dx = g(b1 + 0, y)b1Rξf (x, y) dx + g(b2 − 0, y)Rb2f (x, y) dxξb1И, как и следовало ожидать, — очевидно по критерию Коши.Т е о р е м а ( Формула Фруллани)f [0; +∞)Z∞иf (x) − Cdx сходяться для некоторой С, a,b > 0xdтогдаR∞0Jf (ax)−f (bx)xdx = ln ab (f (0) − C)+∞Zf (ax) − Ct=axdx =xd+∞Zf (ax) − f (bx)dx =xdZbdf (bx) − Ct=axdx =xRmarkf (x) − Cdxx1 теор.

о среднемadC0f (+∞)+∞Zbdf (x) − Cdxxдалее предельный переход d−→ 0,f (x) − Cdxxadd+∞Z+∞Z=========Zbd(f (ξ) − C)adlim (. . .) =d−→0ξ[ad;bd]dxa=(f (ξ) − C) lnxb0.2.Несобственные интегралы зависящие от параметра9Т е о р е м а : f (x, y) : [a, ω) × Y −→ RRω1) f (x, y) dx ∃ как несобственный интеграл ∀yYa2) f (x, y) ⇒ ϕ(x) βy (y → y0 Y )Rω3) f (x, y) β⇒yaRωRωтогда lim f (x, y) dx = ϕ(x) dxβy aJlim limRbβy b→ω aaf (x, y) dx = lim limRbb→ω βy af (x, y) dx=теорема о свойствах равномернойсходимости параметрических семействRbRωт.п. 2= lim ϕ(x) dx = ϕ(x) dxb→ω aaТ е о р е м а : f (x, y) : [a, ω) × [c, d] −→ R1) f, fy0 (x, y) ∈ C([a, ω) × [c, d])Rω2) fy0 (x, y) dx⇒[c,d]a3)Rωfy0 (x, yo ) dx- сходится при yo ∈ [c, d]aТогда F (y) =F 0 (y) =Rωf (x, y) dx ∈ C 1 [c, d]aRωfy0 (x, y) dxaJFb =Rβf (x, y) dx, β → ωa1.Fb0 (y) =RβΦ(y), β → ω − сходится по формуле для собственного интеграла.fy0 (x, y) dx⇒[c,d]a2.Fb (yo ) =Rβf (x, yo ) dx, β → ω − сходится по формуле для собственного интеграла.a3.Fb (yo ) ∈ C 1 [c, d]Fb (y)⇒ , β → ω[c,d]F 0 (y) = Φ(y)Т е о р е м а : (Непрерывность)1) f ∈ C([a, ω) × [c, d])Rω2) f (x, y) dx⇒[c,d]aТогда F (y) =Rωf (x, y) dx ∈ C[c, d]aJF’b (y) =Rωf (x, y) dx − верно для собственного интеграла.a)1.Fb ∈C[c,d]2.Fb (y)⇒⇒ по принципу семейств параметричкских функций[c,d]Т е о р е м а : (Об интегрируемости )10Оглавление1) f ∈ C([a, ω) × [c, u])Rω2) f (x, y) dx⇒[c,u]aТогда F (y) =Rωf (x, y) dx ∈ R[c, u]aRu RωRω Ru( f (x, y)dx) dy = ( f (x, y)dy) dxcacaacacJRu RβRβ Ru( f (x, y)dx) dy = ( f (x, y)dy) dx − верно для собственного интегралаRuclimβ→ω −Rβ( f (x, y)dx) dy =aRβ1.Fb (y)= f (x,y)dx⇒ , β→ω[c,u]a2.Fb ∈ C[c,u], ∀β∈[c,u]limβ→ω⇓RuRβ Ru( f (x, y)dy) dxac⇒ по теореме о параметрических семействахFβ (x, y) dx =climβ→ω −Ruclimβ→ωFβ (x, y) dxТ е о р е м а : (Об интегрируемости (для несобственного интеграла))1) f ∈ C([a, ω) × [β, $])R$2) Φ(x) = f (x, y) dx⇒F (y) =Ru∀[c,β]⊂ [a,ω)af (x, y) dx⇒∀[c,u]⊂ [c,ω)c3) Если один из интегралов сходится:Rω R$R$ Rω( |f (x, y)|dy) dx, ( |f (x, y)|dx) dyaccaТо тогдаRω R$R$ Rω( f (x, y)dy) dx = ( f (x, y)dx) dyacJlimu→$caRu RωRω( f (x, y)dx) dy =caalimu→$Ru( f (x, y)dy) dxc↑обоснованиеБез ограничения общности:RuΦd (x) = f (x, y) dx⇒, u → $ − по условию 2.[a,β]⊂ [a,ω)cΦd (x) 6R$R$f (x, y) dy = G(x)cG(x)dx − cходитсяa⇓ по признаку ВейерштрассеRωΦd (x) dx ⇒aС л е д с т в и е.

(об интегрируемости (много несобственностей))1) f ∈ C((ω1 , ω2 ) × ($1 , $2 ))$R22) Φ(x) =f (x, y) dx⇒$R1c∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )cf (x, y) dx⇒∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )0.2.$R2Несобственные интегралы зависящие от параметра11f (x, y) dx⇒∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )$13) Один из:$ωR 2 ωR2R2R2 $( |f (x, y)|dx) dy сходится то( |f (x, y)|dy) dx,ω1$1$1ω1ωR2тогда(f (x, y)dy) dx =$R2$1$1ω1J$R2(ωR2f (x, y)dx) dyω1Очевидно, так как достаточно разбить на несколько интегралов и преминить предыдущцю теорему.−I=R∞I=R∞2e−x dx =√π20J2e−u du =0e−x2 2ydx , u = xy0R∞I2 =R∞2e−y dy0R∞e−x2 2y22? R∞ R∞dx = ( ye−y (1+x ) dy) dx =00120R∞0dx1+x2=π4Обоснование(?):221. f (x, y) = ye−y (1+x ) ∈ C(R2 )R222. ye−y (1+x ) dy⇒Re−y2(1+x2 )6 ye−y2По признаку ВейерштрассеR∞ye−y2(1+x2 )22R∞2 2e−xydx равномерно сходится ∀ [c, d] ⊂ (0, +∞).002dx = ye−y2ye−y (1+x ) 6 d e−c(1+x )R∞ R∞223.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций