Visual Basic_Практикум (1108584), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Работы Коши относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики.21Метод ЭйлераМетод Эйлера1 является одним из наиболее простых методов приближенного решения задачи Коши. Приближенные методы применяют к уравнениям, для которых невозможно найти аналитическое решение. Если аналитические методы дают решение ДУ в виде функции,заданной некоторым выражением, то результатом численных методовявляется функция в табличном виде, то есть в виде таблицы значенийпри некоторых значениях аргумента.Пусть нам известно, что в точке 0 функция принимает значение 0 , а ее производная принимает значение ′ 0 .
Тогда, воспользовавшись определением производной, мы можем получить приближенное значение функции в «соседней» точке 1 = 0 + : 1 = 0 + ∙ ′ 0На этой идее и основан метод Эйлера. Начиная с точки 0 , в которойзначение функции нам известно по условию, мы можем получить ееприближенное значение в 1 = 0 + , затем в 2 = 1 + и такдалее. Таким образом, строится решение в любом интервале.Для вычислений требуются не только значения самой функции, но изначения ее производной. Откуда их взять? Из дифференциальногоуравнения – подставив в его правую часть имеющиеся значения и = ( ), мы определим, какое значение производной должноиметь искомое решение в точке : ′ = ( , ).Окончательные формулы для вычислений выглядят так:1Леона́рд Э́йл ер (1707 —1783) — выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.22+1 = + +1 = + , В практических задачах чаще фигурируют не отдельные дифференциальные уравнения, а системы уравнений, решениями которых являются сразу несколько функций 1 , 2 , ...
, :1′ = 1 1 , 2 , … , , ,2′ = 2 1 , 2 , … , , ,⋮′ = 1 , 2 , … , , ,1 0 = 102 0 = 20⋮ 0 = 0В частности, линейные дифференциальные уравнения высших порядков можно свести к системам линейных уравнений первого порядка.Например, уравнение Ньютона можно записать в виде системы издвух уравнений:′ = , ,′ =Решаются подобные системы в точности так же, как и одиночные уравнения, но построение всех функций должно производиться «одновременно».
Это значит, что на каждом шаге метода Эйлера должныбыть известны значения в текущей точке всех функций . Тогда мыможем их подставить в правые части уравнений и получить все производные. Зная для каждой функции ее значение и производную, можно, как и прежде, найти соседнее значение.Однако, отметим, что метод Эйлера дает весьма приближенное решение с большой погрешностью вычислений.23Модифицированный метод ЭйлераЭтот метод обладает точностью на порядок выше, чем метод Эйлера.Суть его в том, что в формуле используется уточненное значение производной в середине элементарного отрезка интегрирования.Для решения задачи Коши′ = , , 0 = 0также как и в рассмотренном выше методе, сначала необходимо задать приращение аргумента . Но для получения значения производной на очередном шаге вначале обычным методом Эйлера оцениваютзначение функции в середине отрезка, в точке + . Это дает возможность вычислить производную в середине отрезка.
В результатеполучаем следующую формулу для шага модифицированного методаЭйлера:+1 = + ∙ + , + ∙ , 22Метод Рунге-КуттаМетоды Рунге1-Кутта2 – важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.Если поставлена задача Коши:′ = , ,12 0 = 0Карл Давид Тольме Рунге (1856 —1927) — немецкий математик, физик.Мартин Вильгельм Кутта (1867 – 1944) — немецкий математик, физик.24то в классическом методе Рунге-Кутта четвертого порядка вычисленияпроизводятся по формуле:1+1 = + ∙ 1 + 22 + 23 + 46где1 = ∙ , 12 = ∙ + , +2223 = ∙ + , +224 = ∙ + , + 3 - величина шага интегрированияПреимущества и недостатки рассмотренных методовМетод Эйлера и модифицированный метод Эйлера можно рассматривать в качестве упрощенных вариантов метода Рунге-Кутта. Метод Эйлера очень прост в вычислениях, но его погрешность достаточно велика. По сравнению с ним, модифицированный метод Эйлера даст погрешность на порядок меньше, но и его точность значительно уступаетметоду Рунге-Кутта четвертого порядка.
Именно благодаря своим наилучшим вычислительным результатам, последнему в большинствеслучаев отдается предпочтение при выборе численного метода решения линейных дифференциальных уравнений.25Вычислительный практикум.Задачи26Вычисление значения по формулеЦелиСоздание и сохранение нового проекта в интегрированной среде программирования Microsoft Visual Basic 2008. Адаптация к работе с интеллектуальным редактором Visual Basic, ввод текста программы.
Создание и отладка программы для расчета по формулам, вывода результатов в консольное окно.Задание 1Написать программу, производящую расчет числового значения согласно формуле в условии задачи. Исходные данные, необходимыедля расчета, задаются непосредственно в программе. Вывод значенийдолжен быть организован согласно образцу, приведенному для конкретного варианта задачи.27Вариант 1.1Вычислить средний свободный пробег молекулы в газе на основе заданных значений температуры, давления и диаметра молекулы поформуле:=12 ∙ 2 Здесь– средний свободный пробег молекулы;– диаметр молекулы;– число частиц в единице объема.Молекулы рассматриваются как жесткие сферические частицы с диаметром .Число частиц в единице объема может быть вычислено из уравнениясостояния идеального газа:= ∙ Для констант используйте такие числовые значения: = 8,2056·10-5 м3·атм/моль/K = 6,022·1023 моль-1Исходные числовые данные и результаты расчета – согласно образцу:При давлениитемпературедиаметре молекулы1 атм293 К3,64E-10 мl = 6,78218409201098E-08 м28Вариант 1.2Распределение скоростей молекул в газе, играющее важную роль вхимической кинетике и термодинамике, задается формулой (распределением Максвелла): = 42232 2 − 2Здесь– константа Больцмана;– температура;– масса молекулы;– скорость молекулы;– плотность распределения частиц: ⅆ – доля частиц, имеющих скорость в интервале от до + ⅆ.Все вычисления в программе должны производиться в одной и той жесистеме единиц (СИ или СГС).
Поэтому значение молярной массы перед подстановкой в формулу следует перевести, соответственно, в кгили г – выбор нужно сделать, посмотрев на образец представлениярезультатов расчетов.Для констант используйте такие числовые значения: = 6,022·1023 моль-1 =1,380662·10-23 Дж/KИсходные числовые данные и результаты расчета – согласно образцу:При температуремолярной массескорости молекулы300 К28 г/моль200 м/сP = 0,000958978597255485 с/м29Вариант 1.3Закон Планка для объемной плотности энергии излучения абсолютночерного тела – наиболее фундаментальный из законов излучения.Плотность распределения энергии с частотой определяется уравнением:=8ℏ∙33ℏ − 1Здесьℏ ⅆ– постоянная Планка;– постоянная Больцмана;– скорость света;– температура;– частота;– энергия на единицу объема в интервале частот от до ⅆ.Для констант используйте такие числовые значения:ℏ = 6,626176·10-34 Дж/с =1,380662·10-23 Дж/K =2,99792558·108 м/сИсходные числовые данные и результаты расчета – согласно образцу:При температуречастоте1000 K10000000000000 1/cР = 1,00343621146733E-24 Дж*с/см330Вариант 1.4Эта задача связана с вычислением диффузионных электрохимическихпотенциалов.
Вычислите потенциал между двумя водными растворами с разной концентрацией электролита по формуле.− − + 1 = +∙∙ln + − 2Здесь– электрохимическая валентность;– температура;−+ ,– подвижности анионов и катионов, соответственно;1 , 2– концентрации 1–го и 2-го растворов, соответственно;– универсальная газовая постоянная;– постоянная Фарадея.Вместо подвижностей анионов и катионов известна безразмерная ве−личина – число переноса − = ++ − . Его значение и должно бытьзадействовано в расчетах по приведенной выше формуле.Для констант используйте такие числовые значения: = 8,31441 Дж/К/моль = 96485 Кл/мольИсходные числовые данные и результаты расчета – согласно образцу:При числе переносатемпературеэлектрохимической валентностиконцентрации 1концентрации 2dE = -0,00591294158041779 Вольт310,4298 К20,10,01Вариант 1.5Скорость истечения идеального газа зависит от внутреннего 0 ивнешнего давления , молярной массы газа, абсолютной температуры внутри сосуда и, в связи с адиабатическим расширением, ототношения теплоемкостей = .Формула такова:=2 1− −10−1Все вычисления в программе должны производиться в одной и той жесистеме единиц (СИ или СГС).
Посмотрев на образец представлениярезультатов расчетов, перед подстановкой значения молярной массыв формулу нужно сделать выбор для единиц ее измерения (кг/мольили г/моль).В вычислениях используйте такое числовое значение константы = 8,31441 Дж/К/мольИсходные числовые данные и результаты расчета – согласно образцу:При температуремолярной массеСp/Cvвнешнем давлениивнутреннем давлении293 K28,96 г/моль1,4021,2 атм.2,4 атм.u = 693,535306594876 м/с32Вариант 1.6Число столкновений молекул А и В с молярной массой и , соответственно, за одну секунду в одном кубическом метре газа при определенной температуре рассчитывается по формуле: = 0 ,где 0 = + 2811+Здесь, соответственно: и – число молекул А и В в единице объема газа; и – радиусы молекул А и В; и – молярные массы А и В;– температура;Число частиц в единице объема может быть вычислено из уравнениясостояния идеального газа: ∙ =Здесь - соответствующее парциальное давление.Рассчитайте 0 и для столкновения H2 c CH4 при заданных температуре и парциальных давлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
